第二章理论力学二

1、2-3、平面任意力系的简化、平面任意力系的简化平面任意力系实例平面任意力系实例1、力的平移定理、力的平移定理FdFMMOO)(一一 平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向作用面内一点简化Theorem of translation of a forceReduction of a general coplanar force system to a given pointFMd 。逆过程： 平面内的一个力和一个力平面内的一个力和一个力偶总可以等效地被同平面偶总可以等效地被同平面内的一个力替换，但作用内的一个力替换，但作用线平移一段距离线平移一段距离2 2、平面任意力系向作用面内一点简化、

2、平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主主矢和主矩矩)(10111FMMFF)(0nnnnFMMFFiiRFFF能否称能否称 为合力？为合力？RF)(iOiOFMMM能否称能否称 为合力偶？为合力偶？OM若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？iRFF主矢主矢)(iOOFMM主矩主矩ixixRxFFFiyiyRyFFF如何求出主矢、主矩如何求出主矢、主矩? ?大小大小: : 22)()(iyixRFFF方向方向: :RixRFFiF ),cos(RiyRFFjF),cos(作用点作用点: : 作用于简化中心作用于简化中心主矩：主矩：主矢：主矢：)

3、yx()(iiixiyioOFFFMM即主矢 R= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有：MD = MB = M - F31 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m )N(21F)N(132 FF例F2F3F1MABC3m1 m1 m1 m1 mXY3121FF02112FF 03 3、平面固定端约束、平面固定端约束AA A AA简化图形A 二、二、 平面任意力系的简化结果分析平面任意力系的简化结果分析=Result of reduction of a general coplanar force systemROFMddFMRoRRRFFF 其中其中)

4、()(iOORoFMMFM合力矩定理合力矩定理若为若为O1点，如何点，如何?0RF0OM主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明0OM合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心ROFM0OM0OM合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关 合力对合力对 A A 点的矩可由合力矩定理得：点的矩可由合力矩定理得：qldxqPlx210320qlxdxqPhlxlh32例例: : 水平梁水平梁 AB AB 受三角形分布载荷作用，载荷的最大载荷集受三角形分布载荷作用，载荷的最大载荷集度

5、为度为 q q，梁长，梁长 l l 。求合力作用线的位置。求合力作用线的位置。h思考题水平梁水平梁 AB AB 受梯形分布载荷作用，载荷受梯形分布载荷作用，载荷的最小载荷集度为的最小载荷集度为 q q1 1，载荷的最大载荷集度为，载荷的最大载荷集度为q q2 2，梁长梁长 l l 。求合力。求合力F FR R作用线的位置。作用线的位置。见后续h将梯形分布载荷分解为均布载荷和将梯形分布载荷分解为均布载荷和三角形分布载荷。三角形分布载荷。均布载荷lqFR111h2h三角形载荷lqqFR)(2112221lh 321lh 梯形载荷的合力21RRRFFF由合力矩定理，有2211hFhFhFRRRlqq

6、qqh)( 322121lqqFR)(2121即一、平面任意力系平衡的充要条件一、平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零力系的主矢和对任意点的主矩都等于零00oRMF 2-4、平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因为因为有有000oyxMFFConditions and equations for the equilibrium of a general coplanar force system（一般式）（一般式）平面任意力系平衡方程的三种形式平面任意力系平衡方程的三种形式一矩式一矩式000AyxM

7、FF二矩式二矩式000BAxMMF连线不得与投影轴垂直连线不得与投影轴垂直BA ,三矩式三矩式000CBAMMM不得共线不得共线CBA , ？为什么会有二力矩、三力矩形式的？为什么会有二力矩、三力矩形式的平衡方程呢平衡方程呢？ABx例例 已知：已知：14,P kN210,P kN求：求：BCBC杆受力及铰链杆受力及铰链A A受力。受力。解解: :取取AB AB 梁，画受力图。梁，画受力图。0ixF 0cos300AxTFF0iyF012sin300AyTFPPF0AM021sin306430TFPP 又可否列下面的方程？又可否列下面的方程？210sin306430ATMFPP 1206320B

8、AyMFPP120340CAxMFACPP可否列下面的方程：可否列下面的方程：0ixF0cos300AxTFF0AM021sin306430TFPP 0BM126320AyFPP 二、二、平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 0 xFEquilibrium equations of a coplanar system of parallel forces平面平行力系的方程有两个，有两种形式平面平行力系的方程有两个，有两种形式00AyMF各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直00BAMM两点连线不得与各力平两点连线不得与各力平行行BA,例:塔式起重机如图，P1=700kN，P2=200

9、kN，试问：6m12m2m2mABP2P1P3保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷 P3 应为多少？ 6m12m2m2mABP2P1P3当当 P P3 3 =180kN =180kN 时，求满载时，求满载时时 A A、B B 的反力。的反力。6m12m2m2mABP2P1P32-5 2-5 物体系的平衡物体系的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题The equilibrium of a body system The concepts of statically determinate and statically indeterminate problems 例例: 已知：已知：,

10、 , ,;P q a Mpa求：求：支座支座A A、B B处的约束力处的约束力。解：取解：取ABAB梁，画受力图。梁，画受力图。 0 xF0AM 0yF0AxF解得解得0AxF4220BFaMPaqa a解得解得3142BFPqa20AyBFqaPF 解得解得342AyPFqa已知已知：20,M kN m100,P kN400,F kN20,q kNm1 ;l m例例求求： 固定端固定端A A处约束力。处约束力。解：解：取取T T型刚架，画受力图。型刚架，画受力图。其中其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF316.4AxFkN060cosFPFAy0360

11、sin60cos1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AM例例: :三铰刚架如图，自重不计，求支座三铰刚架如图，自重不计，求支座 A A、B B 和和中间铰中间铰 C C 的约束反力。的约束反力。pQaaaACB解：以整体结构为研究对象解：以整体结构为研究对象pQaaaACB以以ACAC为研究对象为研究对象QaaAC例例已知已知：OA=ROA=R，AB= AB= l, ,F不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦, ,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡; ;求求: :力偶矩力偶矩M M 的大小，的大小，轴承轴承O O处的约束力，处的约束力，连杆连杆ABAB受力，冲头受力，冲头给导轨的

12、侧压力。给导轨的侧压力。解解: :取冲头取冲头B B, ,画受力图画受力图. . 0iyF0cosBFF22cosRlFlFFB 0ixF0sinBNFF22tanRlFRFFN取轮取轮, ,画受力图画受力图. . 0ixF0sinAoxFF22RlFRFox 0iyF0cosAoyFFFFoy 0oM0cosMRFAFRM 例例 已知已知: :F F=20kN,=20kN,q q=10kN/m,=10kN/m,20mkNML L=1m;=1m;求求: :A,BA,B处的约束力处的约束力. .解解: : 取取CDCD梁梁, ,画受力图画受力图. . 0cM0230cos260sin00lFlq

13、llFB解得解得 F FB B=45.77kN=45.77kN 0iyF030cos260sin00FqlFFBAy 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBA取整体取整体, ,画受力图画受力图. . 0ixF030sin60cos00FFFBAx已知各杆均铰接，已知各杆均铰接，B B端插入地内，端插入地内，P P=1000N=1000N，AEAE= =BEBE= =CECE= =DEDE=1m=1m，杆重不计。杆重不计。 求求AC AC 杆内力？杆内力？B B点的反力？点的反力？例例2a2a2a2aaaABCDpqQP静定组合梁如图，已知静定组合梁如图，已知 Q = 10

14、kN，P P = 20kN = 20kN，p p = 5kN/m= 5kN/m，q q = 6kN/m= 6kN/m和和 2 2a a = 1m = 1m。梁自重不计，求。梁自重不计，求A A，B B的支座反力。的支座反力。解：解：1 1、以、以CDCD为对象为对象BDCqQ2a2aa0)232(221aaaq032221aaq2 2、再以、再以ACAC为对象为对象AC2a2aaPpA C校验：以整体为研究对象?2a2a2a2aaaABCDpqQP例例已知已知: :P P=60kN,=60kN,P P2 2=10kN,=10kN,P P1 1=20kN,=20kN,风载风载F F=10kN,=

15、10kN,求求: :A,BA,B处的约束力。处的约束力。解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0AMkN5 .77ByF 0iyFkN5 .72AyF05246101221FPPPPFBy0221PPPFFByAy 0ixF0BxAxFFF取吊车梁取吊车梁, ,画受力图画受力图. . 0DM024821PPFE解得解得kN5 .12EF取右边刚架取右边刚架, ,画受力图画受力图. . 0CM04106EBxByFPFF解得解得kN5 .17BxFkN5 . 7AxF例例 已知已知: :DC=CE=CA=CB=2l,DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,R=2r=l,450P

16、P, ,各构件自重不计。各构件自重不计。求求: :A,EA,E支座处约束力及支座处约束力及BDBD杆受力。杆受力。解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0EM02522lPlFAPFA825 0ixF045cos0AExFFPFEx85 0iyF045sin0AEyFPFPFEy813取取DCEDCE杆杆, ,画受力图画受力图. . 0CM02245cos0lFlFlFExKDB解得解得PFDB823( (拉拉) ) 一般情况下，先选整体为研究对象（不牵涉到内力）一般情况下，先选整体为研究对象（不牵涉到内力）,然后再将物系拆开。然后再将物系拆开。 有时直接将物系拆开，逐个研究。有时

17、直接将物系拆开，逐个研究。 总之，在选择研究对象和列平衡方程时，应使每一总之，在选择研究对象和列平衡方程时，应使每一个方程中未知量的个数尽可能的少。个方程中未知量的个数尽可能的少。例例 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D点的反力研究梁CD再研究整体研究起重机例例已知：已知：F, aF, a , ,各杆重不计；各杆重不计；求：求：B B 铰处约束反力。铰处约束反力。解：解： 取整体，画受力图取整体，画受力图0CM20ByFa解得解得0ByF取取DEFDEF杆，画受力图杆，画受力图0DMsin4520EFaFa0ixFcos450EDxFFBM

18、o20DxFaFa得得2DxFF对对ADBADB杆受力图杆受力图0AM20BxDxFaFa得得BxFF 例、例、 一组合梁一组合梁ABC ABC 的支承及载荷如图示。已知的支承及载荷如图示。已知F F1 1KNKN，M M0.50.5KN.mKN.m，求固定端，求固定端A A 的约束力。的约束力。 DEDE、DFDF、DG DG 杆为二力杆杆为二力杆 EFG整体受力分析整体受力分析A 为固定端为固定端D 受水平力受水平力以以BC 杆为对象杆为对象0)(1iniBFMKNFDG125以节点以节点D 为对象为对象01niixF0DFDGFCosFKNFDF3102sinFMDG回到整个系统回到整个

19、系统01niixF0DFAxFFKNFAx3101niiyF0 FFAyKNFAy10)(1iniAFM034ADFmFMFmKNmA5 . 3例：例： ABAB、BCBC、DE DE 三杆铰接后支承如图示。求当三杆铰接后支承如图示。求当DEDE杆的一端杆的一端有一力偶作用时，杆上有一力偶作用时，杆上D D与与F F 两点所受的力。设力偶矩的大小两点所受的力。设力偶矩的大小为为 1 1KNKN. .m m，杆重不计。，杆重不计。 BDAFECM450X0BxF因为只要求因为只要求D D、F F 的内力，可以不求的内力，可以不求其他约束反力。其他约束反力。分析分析AB 杆的受力杆的受力 0)(1

20、iniAFM0DAFBAFDXBx0DxF再以再以DE 杆为对象杆为对象01niixF0FxDxFF0FxF0)(1iniDFM0FDFMFyKNFFy201iyniF0FyDyFFKNFDy2例例已知：已知：a ,b ,Pa ,b ,P, , 各杆重不计，各杆重不计，C,EC,E处光滑；处光滑；求证：求证：ABAB杆始终受压，且大小为杆始终受压，且大小为P P。解：解： 取整体，画受力图。取整体，画受力图。0ixF0AxF0EM()0AyPbxFb得得()AyPFbxb取销钉取销钉A A，画受力图画受力图0ixF0AxADCxFF0ADCxF得得取取ADCADC杆，画受力图。杆，画受力图。取

21、取BCBC，画受力图。画受力图。0BM0CFbPx 得得CxFPb对对ADCADC杆杆0DM022ADCyCbbFF得得ADCyCxFFPb对销钉对销钉A A0yF0ABAyADCyFFF0ABxxFPPPbb解得解得(ABFP 压）例例 已知：已知：P P=10kN ,=10kN ,a a , ,杆，轮重不计；杆，轮重不计；求：求：A ,CA ,C支座处约束力。支座处约束力。解：解：取整体，受力图能否这样画？取整体，受力图能否这样画？取整体，画受力图。取整体，画受力图。0AM48.50AxTaFaPF a解得解得20AxF kN0AxCxFF20CxFkN解得解得对整体受力图对整体受力图0i

22、yF0AyCyTFFFP解得解得10AyF kN取取BDCBDC 杆（不带着轮）杆（不带着轮）取取ABEABE（带着轮）带着轮）取取ABEABE杆（不带着轮）杆（不带着轮）取取BDCBDC杆（带着轮）杆（带着轮）104340BCyTTCxMaFFaFaFa解得解得15CyFkN例例已知：已知：q ,a ,Mq ,a ,M , ,2,Mqa且P P作用于销钉作用于销钉B B上；上；求：求： 固定端固定端A A处的约束力和销钉处的约束力和销钉B B对对BCBC杆杆, ,ABAB杆的作用力。杆的作用力。解：解： 取取CDCD杆，画受力图。杆，画受力图。0DM02CxaFaqa得得12CxFqa取取B

23、CBC杆（不含销钉杆（不含销钉B B) )，画受力图。画受力图。0ixF0BCxCxFF解得解得12BCxFqa0CM0BCyMFa解得解得BCyFqa取销钉取销钉B B，画受力图。画受力图。0ixF0ABxBCxFF解得解得12ABxFqa则则12ABxFqa 0iyF0AByBCyFFP解得解得AByFPqa则则()AByFPqa 取取ABAB杆（不含销钉杆（不含销钉B B），），画受力图。画受力图。0ixF1302AxABxFqaF 解得解得AxFqa 0iyF0AyAByFF解得解得AyFPqa0AM31302AABxaAByMqa aFFa 解得解得()AMPqa a例、图示结构例、

24、图示结构，由由AG、GB、DE三杆连接而成三杆连接而成，杆重不计杆重不计。已已知知：Q=4=4 2 20.50.5kN，M=10=10kNm，l=1m， = =45 。试求试求：1)支座支座A、B的约束力的约束力；2)铰链铰链C、D的约束力的约束力(20分分)。 解：以整体为研究对象0sin0)(AGQACYMBAFkN19BY0sin0QYYFBAykN15AY0cos0QXFAxkN4AX以ACDG为研究对象0sin0)(CGQCDYMDCFkN5 . 2DY以BC为研究对象00)(DEXMCEF0CCXX再次以ACDG为研究对象0sin0QXXXFDCAx0DX0cos0yACDFYYY

25、Q 13.5CY 2-6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算Analysis of internal force of simple plane truss桁架的连接方式1 1、各杆件为直杆，、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；各杆轴线位于同一平面内；2 2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3 3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4 4、各杆件自重不计或平均分布在节点上。、各杆件自重不计或平均分布在节点上。在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆。在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆。关于理想桁架的几

26、点假设：关于理想桁架的几点假设：无余杆桁架无余杆桁架从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。从桁架中任意除去一根杆件，结构就活动变形。总杆数总杆数mn总节点数总节点数33nm32 nm=2( )32 nm平面复杂（超静定）桁架平面复杂（超静定）桁架32 nm平面简单（静定）桁架平面简单（静定）桁架32 nm非桁架（机构）非桁架（机构）节点法与截面法：节点法与截面法：1 1、节点法：、节点法：例例已知已知: :P P=10kN,=10kN,尺寸如图；尺寸如图；求求: :

27、桁架各杆件受力。桁架各杆件受力。解解: : 取整体，画受力图。取整体，画受力图。 0ixF 0iyF 0BM0BxF042AyFPkN5AyF0PFFByAykN5ByF取节点取节点A A，画受力图。画受力图。 0iyF030sin01 FFAy解得解得kN101F( (压压) ) 0ixF030cos012 FF解得解得kN66. 82F( (拉拉) )取节点取节点C C, ,画受力图画受力图. . 0ixF030cos30cos0104 FF解得解得kN104F( (压压) ) 0iyF030sin0413FFF解得解得kN103F( (拉拉) )取节点取节点D D, ,画受力图。画受力图。 0ixF025 FF解得解得kN66. 85F( (拉拉) )例例已知：已知：荷载与尺寸如图；荷载与尺寸如图；求：求：每根杆所受力。每根杆所受力。解：解： 取整体，画受力图。取整体，画受力图。0ixF0AxF0BM85*8 10*6 10*4 10*20AyF得得20AyFkN0iyF400AyByFF得得20ByFkN求各杆内力求各杆内力取节点取节点A A00iyADixACFFFF取节点取节点000iyCFixCDFFFF取节点取节点0,0iyDFDEixFFFF取节点取节点00iyEGixEFFFFF 2 2、截面法：、截面法：例例 已