第十一章 流体力力学

1、第十一章 流体力学 流体及研究历史 流体： 包括气体：液体. 特点： 连续介质任何宏观小的体元内,仍然包含大量分子.具有流动性.可发生形变和体积改变.具备体积压缩弹性,不具备保持原形状的弹性(流体性),举例 研究情况：公元前： 阿基米德：流体静力学浮力定律 西门豹：流体力学研究模型： 李冰父子：都江堰近 代： 伯努利：流体动力学 欧拉：理论流体力学 雷诺：层流，湍流判据 茹可夫斯基：翼型理论航空 周培源，钱学森：空气动力学 研究模型： 研究内容： 1.理想流体2.实际流体：粘滞流动固体在流体中的阻力. 机翼的升力a.粘滞定律 (力)b.雷诺数, 层流与湍流c.泊肃叶公式d.功能关系11.1 理

2、想流体(粘滞性有大小：内摩擦力,水,油,蜂蜜)表示了加上剪切力时,是否容易产生相对滑动若要长时间保持不滑动,就需要有剪切应力成对平衡,粘稠到这种情况,这时象沥清,就不是流体了.流体流动性静态中不可能维持切应力 实际流体： 可压缩,有粘滞性. 理想流体： 不可压缩,无粘滞性.液体： 可压缩性很小,可视为不可压缩常数气体： 一定条件下常把流动着的气体视为不可压缩.定量判定时,引入马赫数若1,可视为不可压缩,若流速接近或超过声速,应注意可压缩性. 若流体的流动性占主要地位，粘性居于次要地位时，（即流体很稀），可视为无粘性。（称为“干水”，“湿水”实际流体）11.2 静止流体内的压强 一、静止流体内一

3、点的压强。 流体内的力：1 在静止流体内取一假想截面，研究通过截面两侧流体的力， 流体不可能产生剪切应力。（否则不流动）内摩擦力粘滞力，是流体层相对运动时产生的（实际流体），理想流体无此力。 静态流体的剪切应力为零。（实际流体有内摩擦力，理想流体之内摩擦力）静态流体无静摩擦力 静态流体在重力作用下，液面保持水平就是一个例证。 只需考虑正压力（作为理想流体内摩擦力滞粘力为零） 2.正压力：与压强 推论：流体中某一点的压强各向同性，与面元S的取向无关。证明：隔离如图所示的三棱直角柱体。 重量： 由静止流体的力平衡条件 若时，则得： 由于任选，所以过静止流体内一点在各不同方向无穷小面之上的压力大小相

4、等。 单位： （帕） 另一单位（巴） 量纲： 二、静止流体内不同点的压强公布： 1等高处的压强相等。 如图，选一等高的截面为的小柱体（水平方向） 由于柱体平衡： 方法二：1. 流体微团受的力 2.压强公布关系：如图： 各点切线与体积力重合,各点切线与体积力垂直. 取一正六面体,建立如图坐标： 六面体坐标： ,坐标：。则： 左右端面： 与体积力垂直在同一曲线上 各点压强才能等压面。（与体积力正交）。2高度差为的两点间压强差为。 方向： 如图：A、B两点压强差：选向上为正 3托利折利气压计 大气压强 水银蒸气压强0 4帕斯卡原理： 作用在密闭容器中流体上的压强等值地传到流体各处和器壁上。 5例题【

5、见】 三、相对于非惯性系静止的流体。 1直线加速参考系中的流体： 直线加速参考系中，观察者除观察到真实的相互作用如重力，支持力以外，还有惯性力为直线加速参考系中的加速度。 2在与转动参考系一起转动，相对转动参考系静止的流体中，从转动参考看，还存在一个离心惯性力 例题：【例题4】 解：以水桶为参考系（非惯性系）。建立如图所示的坐标系，由于对称性，求出水面与坐标面的交线方程，就算是了解了液面的形状： 如图，选一流体微团，稳定时，从非惯性来看，受力： 所在处水表面曲线切线的斜率 抛物面 ： 11.3 流体运动学的基本概念 一、流迹，流线，流管：研究流体运动的两种方法：1拉格朗日法：（质点系动力学的方

6、法研究流体运动） 划分许多无穷小微元了解所有微团的运动规律流迹：一定流体微团的运动轨迹。所以是以为参量的流迹的参数方程。2欧勒法：注意力集中到各空间点，观察流体微团经过各点时的，寻求的空间分布和时间演化规律。即： a. 流速场，每一点均有一定的流速矢量与之相对应的空间。b. 流线：流速场中画的曲线，曲线上每一点的切线方向和位于该处的流体微团的速度方各一致。，给定点的流速是的函数，流线只反映某一瞬时的情况，即流线也随时间变化。空间一点在某一时刻的流速只有一个值，所以流线不会相交。若流迹与流线不重合c.流管：流体内通过一个封闭曲线上各点的流线所围成的细管。由于流线不相交，流管内的液体不能穿越到管外

7、，管外的流体也不能穿越到管内。 二、定常运动。 若空间任意点的流速不随时间变化，这种流动称为定常流动。1 定常运动的流线，流管保持固定形状和位置。2 定常流的流线和流迹重合。 三、不可压缩流体的连续性方程。 1流量：单位时间通过面元的流体体积（或质量） 如图： （1） （2） 如图， ，定义面元矢量 ，大小：，方向，则： （3） （4） 通过有限曲面S的流量 （5） （6） 2连续性原理： 在一定常的流速场中取一如图所示的流管，为简单，设面，的法 平行，由于理想流体不可压缩则从流入的流量等于从流出的流量。且由于不可压缩 故： （7） （8）或： 连续性原理：对于不可压缩流体，通过流管各横截面的

8、质量流量（或体积流量）都相等。 连续性原理体现了流体流动中的质量守恒。利用连续性原理可以求流速。S小，大，流线密，S大，小，流线疏，所以流线的疏密反映了流速的大小。11.4 伯努利方程本节研究惯性系中,理想流体在重力场中作定常流动时一流线上的压强,流速和高度的关 系.这一关系是机械能守恒定律表述成适合流体的形式. 一、伯努利方程： 1无粘性流体加速流动中，空间一点的压强各向同性，取图11.1所示隔离体，处于加速度为a的运动状态，根据牛顿第二定律 令： 则： （1） 2伯努力方程： 在惯性系中，讨论理想流体在重力作用下的定常流动，如上两个图示，初流体微团，初态：高处， 两面元上压强 流速 末态：

9、高处， = （2） 流体微团与所经路径相比，可视为质点，则由质点系的功能原理 （3） （4） （5） 对理想流体，无粘性，且由于压强与截面垂直，所以侧压强力不作功，只有作用微团前后两底面处压力作功，由于面由移动到时，（移动），面与所以 （6） 将（4）（5）（6）代入（3）中有： （7） 或： 恒量 （8） 讨论： 令流管变为流线，上式对于流线也成立。工程上： 恒量 （9） 压强头+速度头+高度头=恒量一般而言，不同流线上的恒量不等，仅当某处流体微团均以相同连率沿同一方向作匀速运动时，不同流线上的恒量相等。证明：如图，在流体中选一隔离体，上下底面分别包括A，B两点，过这两点的流体微团以相同速率

10、V沿相同方各作匀速流动，取B处为势能零点。A，B两点间高差为，则： （10） 将（10）代入（12）中与（11）A点所在流线： （11） 比较B点所在流线： （12） 若 若，此时，伯努利方程只能在同一流线上成立。 二、应用 1将伯努利方程应用到水平流管： 恒量a文特利流量计，见图 b .皮托管测气体流速的原理。（见） 如图：皮托管的端点2处为驻点， 对1、2两点： 点1、2高度差很小，可以认为高度相同 2其它应用： 例题：【例题3】见图 水面处 出口处选为高度起点则： 例题：射程与孔高，求孔高何处，射程最大。 解：如图，设在处开小孔，射程最大 在垂直方向，从出口处到地满足 出口处在方向速度，

11、由上题可知： 要射程最大，即： 例：两船靠近时，之间水流加快，压强低于处缘，在外侧与内侧压强差作用下，会发生相撞。 同一高度处 11.5 流体的动量和角动量 一、流体的动量。 1理想流体在弯管内定常流动。设密度为，流量为Q，取间流体为研究对象，内，流到处。定常流动内，间动量不变，所以流体在内动量的变化为 2受力分析：不考虑研究对象内部的内力，外力：其它部分流体的压力。，管壁压力。用表示外力矢量和在内平均值。由动量定理： 时， 流量密度有关 （1）定常流动或不变， 3流体对弯流管的反作力：（经弯管改变方向时，对弯管反作用力）相比之下，若重力可忽略不计，即： （2）为管壁对流体的作用力。利用（1）

12、式 （3） 故流体对管壁的反作用力为 （4） 讨论：流体对弯管的反作用力的大小与入、出口处压力及流速均有关与弯管形状有关。（即的方向夹角） 二、流体的角动量 取图11.20为研究对象和模型。 分析：微团仅受重力，重力对于圆筒中轴线的力矩为零（力矩方向垂直中轴线） 所以微团对中轴线旋转的角动量守恒。轴力矩为零 (5) 沿圆周面向内，减小，切向速度愈来愈大，在液体表面取流线则： 则： （6） 桶内液面不能保持水平 分析方法2： 由常数 （7）由角动量守恒，据（7）式： 由此可知：液面不能为平面，应呈漏斗型。 例题：【见习题11.4.3】 已知：左方容器很大，液面无显著下降。 求证： 证明：从左侧容

13、器水面到水平流管出口处作以流线，在该流线上取三点：水面上，截面处，出口处，则： 由连续性原理： 故： 由于 11.6 粘滞流体的运动 一、粘滞定律：1 分析表明：流体只有动摩擦力，没有静摩擦力2 粘滞定律： 为粘滞系数。单位：牛 帕斯卡秒 此式对气体，液体均成立。两者虽宏观规律相同，但微观机制不同，表现 应用： 润滑油。气垫船 二、雷诺数 1相似性原理：尺度大小的变换叫“标度变换”。通常的物理系统不具备标度变换不变性，即几何上相似的物体，并不见得物理上相似。例大人国比小人国的人易骨折。如何保证缩小了的模型在物理上保持相似性？由于无量纲方程是一个数，没有尺度问题，所以把物理方程无量纲化以后，可适

14、应一切尺度，故：物理上的相似条件是在有关的无量纲组合量具有相同数值。 2雷诺数 特征流速V 直圆管流动中：轴线上的V，圆管直径 特征长度L 飞机机翼：能通过机翼，一来自无穷运处的流速，机翼，宽度 密度： 定义：雷诺数 （2） （3） 3流体的相似性原理： 两种流动边界状况或边界条件相似，且具有相同的雷诺数时，则流体有相同的动力学规律 三、层流和湍流 层流：各层之间不相混杂的分层流动。 粘性较大的流体在直径较小的管中慢慢流动时，出现层流。 湍流：流动具有混杂，紊乱的特征。 判别：临界雷诺数。 层流； 湍流。 是一个区间范围，不是一个明确定值。 四、泊肃叶公式：研究水平放置的圆管中，粘性流体层流流

15、量公式。 1求层流流速与半径的关系。圆管半径 长 中心流速最大，管壁上，流速为零。压强一定时： 求： 如图，隔离出半径为，薄园桶：内侧面面积：；外侧面积：； 端面积： 内侧面受到粘滞力（带动力）与同向 同方向。外侧面受到粘滞力（阻碍力）与反向。 左端受的压力，与同方向 右端面受的压力，与反向 定常流动情况下，粘滞力的合力与两端面的压力差平衡。 从到积分得： 再从 由于管壁上 所以 （4） 2求泊肃叶公式： （5） 讨论：水平圆管内定常流动 端面应用：此式层流下可用，例：血液流动；石油在输油管中流动。可用泊肃叶公式测量。 五、不可压缩粘性流体定常流动时的动能关系： 1功能关系： （6）表示单位体

16、积的流体微团由点1沿流管流到点2时，由于耗散力（粘滞力）作用引起的能量损失。（此机械能转变为流体的内能）。 2水平圆管层流时的因为定常流动，水平圆管， 与无粘性流体比较，增加压强（力）差。 即为单位流体微团运动中所耗散的能量。 又 （8） 联解（7）（8）可得： （9） 3水平圆管湍流时： （10） 此式为实验结果。与管长直径，雷诺数，管壁粗糙程度有关。 4沿程能量损失：能量损失均匀分布在全部流动的路程上。局部能量损失：能量损失发生在某些部位。 11.7固体在流体中受到的阻力 一、粘滞阻力，密立根油滴实验 1斯托克斯公式。（球形物体） （1）可测，当质量为的小球（半径为），在液体中匀速下落时

17、（2）临床医学上测血沉： 2密立根油滴实验，油滴不带电，匀速下落时 （3） 油滴带电，在重力，粘滞力，电场力，浮力作用下，匀速上升时 （4） 利用（3）式： （5） 由（4）式： （6） 将（5）式中的第一项代入（6）式，可得： （7） 将（5）式代入（7）式得： （8） 二、涡旋的产生，压差阻力。 1置于理想流体中的圆柱体前后（水平）受力情况圆柱体前后两点为驻点，流速为零，上下两点，流速最大，流线最密，前后两点在同一高度： 2涡旋产生压差阻力：粘性流体增大雷诺数时，附面层处受粘滞影响大，流速慢，外层相对流速快。因此，当外层流体到达圆柱体后时，内附面层的流体还未到达，留下空间。外层流到圆柱体后

18、的流体便回旋补充此空间，形成涡旋。压差阻力：有涡旋产生时，柱前压力大于柱后压力，称为压差阻力，流速较大时 3兴波阻力：船舶在水中航行时，在水面激起水波，使般受到另一种阻力，称为兴波阻力。产生机制：船舶的前进使水面微团离开平衡位置，高于水面，重力力图使其恢复到平衡位置，形成振动，振动的传播形成兴波。 11.8 机翼的升力 飞机飞行快慢用马赫数描述： 飞行速度， 讨论飞机升力问题时，以飞机为参考系。 1冲角和粘滞力形成起动涡旋翼弦与气流方向的夹角叫冲角。紧靠下侧气流流过路积短，且面积小，滞粘力影响小，较小，上侧气流流过路积较长，且面积大，滞粘力影响大。于是在机翼尾部汇合时，下侧流速大，上侧流速小，

19、形成图示起动涡旋。 2由于角动量守恒，围绕机翼形成反向的环流。流体最初没有角动量，起动涡旋使之形成一定角动量。而气流不受外力力矩，角动量应保持守恒，故必然产生围绕机翼的反向环流。 3升力的产生：如图（1）：选择一环形流线，忽略机翼上，下高差。则对于点1，2，由伯努利方程 （1） 如图（2）所示，设u为气流相对机翼速度，为反向环流速度。则： （2） （3） （4） 空气对机翼产生升力作用。 4讨论：a.由（4）式知，升力也有关，所以飞机要起飞，速度必须达一定值。b.升力与有关，与机翼有形状，构造有关。c.升力与冲角有关，冲角自零增大时，升力增大，但冲角超过一定值时，升力反而下降。第十一章 小结 一、流体静力学：1 压强分布