圆的一般方程.ppt

1、4.1.2 圆的一般方程圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：直接看出圆心与半径 复习 x2 y 2dxeyf0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a, b, r均为常数frbaebda= =- -+ += =- -= =- -222,2,2令令结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手1.是不是任何一个形如 x2 y 2dxeyf0 方程都表示的曲线是圆呢？ 思考下列方程表

2、示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0. 022=+feydxyx4422)2(2)2(2fedeydx-+=+-2,2ed将将左边配方，得左边配方，得（1）当）当时时,它表示以它表示以为圆心为圆心,以以为半径的圆为半径的圆;d2+e2-4f02422fedr-+=(2)当当d2e24f0时，方程表示一个时，方程表示一个点点 ；)2,2(ed- - -(3)当当d2e24f0时，方程无时，方程无实数解实数解,不表示任何图形不表示任何图形所以形如x2 y 2dxeyf0 （d2+e2-4f0）可表示圆的方程

3、 圆的一般方程：x2 y 2dxeyf0圆的一般方程与标准方程的关系：(d2+e2-4f0)（1）a=-d/2，b=-e/2，r= fed42122- -+ +没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：x2与y2系数相同并且不等于0；例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是不是1. 已知

4、圆 x2+y2+dx+ey+f=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则d,e,f分别等于2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是3 , 6, 4)(- -a3 , 6 , 4)(- -b3, 6 , 4)(- - -c3, 6, 4)(- - -d21)( aa21)( ab21)(= =ac21)( addd 练习 下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?若是圆则求出圆心、若是圆则求出圆心、半径半径.0112422)1 (22=-+yxyx22(2)20(0)xyaxa+=22222(2)20)0 xyaxxaya+=+=由得（22(1) 224121 0 xyx

5、y+- =解：由2212602xyxy+-=得22211)(3)2xy+-=即：（13-故它表示以（， ）为圆心,422为半径的圆.a,0a-故它表示以（）为圆心， 为半径的圆例例2：(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程一般方程配方展开标准方程标准方程小结一:feded421),2,2(22-+-半径圆心 典例精析例1： 求过三点o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一：yxm1(1,1)m2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点的距离半径：圆心到圆上一点的距离因为o(0,0)

6、,a (1,1),b(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法二：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得 举例例1： 求过三点o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 举例例1： 求过三点o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为o(0,0),a (1,1),b(4,2)都在圆上，则222240) 0(de

7、fxydx ey f+=+-f=0d+e+f+2=04d+2e+f+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法三：f=0d=-8e=6解得 小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 例2.已知一圆过p(4 ,-2) .q(-1 ,3)两点，且在y轴上截到的线段长为4 ，求圆的方程。 33解：设圆的方程为解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0 令令x=

8、0, 得得 y2+ey+f=0 又又|y1-y2|=4 (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=e2-4f=48 将将p ,q两点的坐标代入得：两点的坐标代入得：4d-2e+f=0 d-3e-f=0 由 得:d=-2 ,e=0 ,f=-12 或d=-10 ,e=-8 ,f=-4例3. 已知一曲线是与两定点o(0,0)、a(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 举例2222222( , )(0)(0)12(3)(0)23064( 9)0 x yxyxyxyx-+-=-+-+-=- -解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx .o.

9、（-1，0）a(3,0)m(x,y)直接法 练习：已知点p在圆c： 上运动，求线段op的中点m的轨迹方程。0216822=+-+yxyx练习： 点点p(3 ,0)是圆是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点，内一点，求过点求过点p的最短弦所在直线方程。的最短弦所在直线方程。圆圆c: x2+y2+2x+4y-3=0到直线到直线x+y+1=0的的距离为距离为 的点有几个？的点有几个？ 圆圆x2+y2-4x+2y+f=0与与y轴交于轴交于a b两点，两点，圆心为圆心为c.若若acb=900 ,求求f.已知方程已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆，求该圆半径表示一个圆，求该圆半径r的取值范围。的取值范围。221. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? - -+ += =+ + + + +0402222fedfeydxyx 配方展开2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径) 小结几何