高等数学总结

1、说 明数学，特别是高等数学，一提到这里，我估计会有一部分人开始头痛了。如何学好数学？等等类似的问题浮于脑海之中。记得在我大学期间，看到这样一本书，书名是数学的领悟。书中有这样一段描述：真正要对数学入迷，必须深入数学本身：不仅是学者，而且是作者；不仅是观众，而且是演员。他必须克服一个又一个的困难，不断地有新的发现，新的创造。其入也愈深，所见也愈奇。观前人所未观，发前人所未发，这才算的是进入登堂入室，回顾无峰的高级境界。知识的学习一定有方法，但无捷径。如果说，学知识真有捷径的话，就是你找到属于自己的方法，并且把这种方法与自己本身融会贯通，这就是捷径。学习要得法，万物生长皆有属于它们的自己的规律。如

2、果违反了万物生长之规律，只能是徒劳的。下面我就以专升本的高等数学为例，来谈谈在专升本的高等数学学习时的注意之处。本文档整理不是很完整，还请谅解！高等数学易错点总结（一）微积分1.函数:函数的概念、函数的几种常见性态、反函数与复合函数、初等函数；提醒：1.1函数的几种性质：函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。（往往出题方向在选择题目和填空题中，例如：比较大小可能会用到奇偶性，试卷最后的证明题可能会用到单调性）2.极限与连续:极限的概念及运算、极限存在准则、两个重要极限、无穷大量与无穷小量、函数的连续性；提醒：2.1灵活运用两个重要极限 2.2无穷小的性质性质1：有限个无穷小的代数和仍为无穷小；

3、 性质2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小; 性质3：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。2.3函数的极限与无穷小的关系：在自变量的统一变化过程中(）中，的充要条件是：。2.4无穷小量的阶；（出题方向选择题）2.5常用的等价无穷小；（牢记）2.6等价代换定理；2.7掌握求极限的常用的方法：（牢记，对于求极限题目大部分用下面方法都可以解决掉）（1） 约去零因式法（适用于时，“”型）；（2） 除去适当无穷大法（适用于时，“”型）（3） 有理化（适用于带根式的极限问题）；（4） 通分法（适用于“”型）；（5） 运用两个重要极限；（6） 无穷小量性质法（两个无穷小量之际仍为无穷小量，无穷小量与有界变量之积仍

4、为无穷小量）；（7） 等价无穷小代换法；（注意:等价无穷小代换只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换。）（8） 利用左右极限与极限关系求分段函数在分段点处的极限；（9） 洛必达法则。2.8函数连续的三个条件（也是判断是否是间断点的条件） 条件1：函数在点及其近旁有定义； 条件2：存在； 条件3：函数在时的极限值等于在点的极限值。2.9函数的间断点：两类分别是第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点、震荡间断点），掌握间断点之间的区别。例如：是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是 的震荡间断点。2.10熟练掌握闭区间上连续函数的性质：（1）有界性定理；（2

5、）最大、最小值定理；（3）介值定理；以及推论：零点定理：如果在上连续，且，则内至少有一点，使。（往往证明题会用到零点定理）3.导数与微分:导数的概念、基本公式与运算法则、隐函数的导数、高阶导数、函数的微分；提醒：3.1牢记可导必连续，连续不一定可导，连续是可导的必要条件；3.2对于一些幂指函数和若干个因子的幂的连乘积，可以利用对数求导法；4.导数的应用:微分中值定理（Rolle定理,Lagrange中值定理）洛必达法则、函数的单调性及其极值、函数的最大值和最小值、曲线的凹凸性与拐点；提醒：4.1了解拉格朗日中值定理可以看作罗尔定理的推广，牢记两大中值定理（有时间的话，还可以了解下柯西中值定理）

6、；4.2洛必达法则主要记住在什么情形下使用，例如：求的极限就不可以用洛必达法则；4.3要记住拐点是连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点；4.4补充知识：曲线的水平渐近线与垂直渐近线（1）水平渐近线如果函数的定义域是无穷区间，且（或），则直线为曲线的水平渐近线。例如直线与都是曲线的水平渐近线；（2）垂直渐近线如果（或），则直线为曲线的垂直渐近线。例如：直线都是曲线的垂直渐近线；直线都是曲线的垂直渐近线；5.不定积分:不定积分的概念、性质与基本积分公式、换元积分法、分部积分法、简单的有理函数积分；提醒：5.1牢记，其中为在区间上的一个原函数；5.2不定积分的性质与基本积分公式熟记；补充积分公式（可以直接

7、引用） 5.3不定积分的方法：（一）直接积分法；（二）第一换元积分法，即：凑积分法；（三）第二换元积分法，常见是三角代换或或或；（四）分部积分法，常见几种类型，其中（1）求解的积分；（2）求解的积分；（3）求解的积分；（五）简单的有理数积分有理数的一般形式为，其中分别为n,m次多项式；6.定积分及其应用:定积分的概念、性质、定积分与不定积分的关系、定积分的换元积分法和分部积分法、无穷区间上的广义积分、定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积）；提醒：6.1牢记积分中值定理：如果函数在上连续，则内至少有一点，使得成立；6.2理解定积分的几何意义；6.3熟练掌握变上限积分与其导数设函数在区间上连

8、续，则在上可导，且说明就是在上的一个原函数。推广形式：设可导，连续，则；6.4灵活运用偶函数与奇函数在对称区间上积分设函数在对称区间上连续，则有（1）当为偶函数时，有；（2）当是奇函数时，有；6.5熟记平面图形的面积与旋转体的体积的公式；7.多元函数微分法:多元函数的概念、偏导数、全微分、复合函数的微分法；提醒：7.1如果函数在点处可微，则它在该点必连续；8.二重积分:二重积分的概念、性质与计算（直角坐标与极坐标）；提醒：8.1二重积分可类比不定积分，加深掌握理解；8.2极坐标谨记求解二重积分，重在找定义域9.微分方程:微分方程的基本概念、一阶微分方程（分离变量、齐次、线性）；提醒：9.1常微

9、分方程解题方法：（1）对于可分离变量方程，移项，两边积分，即可；（2）对于齐次方程，令求解；（3）对于一阶线性方程，方程形式为原方程的通解：（可作为公式使用），只要找到代入通解公式即可10.无穷级数:数项级数的概念和性质、正项级数及其审敛法、幂级数的收敛半径及收敛域.提醒：10.1熟练掌握判断正项级数的审敛性的方法（二）线性代数1.行列式与矩阵:行列式及其基本性质、行列式的按行（列）展开定理、矩阵及其基本运算、矩阵的初等变换与初等方阵、方阵的逆矩阵、矩阵的秩；提醒：1.1矩阵的初等变换与初等矩阵的关系设是矩阵，对施行一次初等行变换得到的矩阵，等于用同种初等矩阵左乘；对施行一次初等列变换得到的矩

10、阵，等于用同种初等矩阵右乘。例题：设，则下列等式成立的是（ ）解：由题意知而是由交换第一行与第二行，再交换第一列与第二列得到，所以，故选思考题： 2.线性方程组:线性方程组解的研究、n元向量组的线性相关性、齐次线性方程组的基础解系.提醒：2.1（1）1个零向量线性相关，1个非零向量线性无关；（2）向量组线性相关的充要条件是的分量对应成比例；2.2向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定；例题设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，则该方程组的通解为 解：为非齐次方程组的解都是齐次方程组的解，也是齐次方程组的解；由于齐次方程组的基本解系的个数为4-3

11、=1（），所以齐次方程组的通解为非齐次方程组的通解为（三）概率论初步1.随机事件:事件的概率、概率的加法公式与乘法公式、事件的独立性 全概率公式和贝叶斯公式；提醒：1.1两个互相对立的事件与一定为不相容事件，但是两个不相容事件未必是对立事件；1.2独立事件：对于两个事件与，如果，则称事件与独立；如果事件与独立，则事件与，与，与也独立；1.3对于概率方面的出题，全概率与贝叶斯都可能出现，即：题目有两问，第一问就是求全概率、第二问就是求贝叶斯；所以说，对于要达到融会贯通，举一反三；2.一维随机变量及其分布:随机变量的概念、离散型、连续型随机变量、几种常用的离散分布与连续分布、分布函数；提醒：2.1

12、分布函数的性质2.2概率密度函数的性质2.3正态分布的性质3.一维随机变量的数字特征:数学期望、方差.分布类型分布律（离散型）概率密度（连续型）数学期望方差1.01分布2. 二项分布3. 泊松分布4. 均匀分布5. 指数分布6. 正态分布矩阵方面一：利用分块矩阵求矩阵（三个公式）公式1：公式2：或 公式3：（）下面给出公式2的推导过程：设由得解之得下面就检查下自己的学习能力-习题1：习题2：答案：习题1：习题2：二：利用定义求矩阵例1：设阶方阵满足，求证可逆并求证明：由，得：即，从而可逆且例2：设为同阵且满足，证明可逆并求其逆，进一步证明证明：，故从而有即可逆且故即从而例3：已知阶方阵满足，求证明：由，得所以从而有即下面就检查下