基本不等式课件比赛

1、普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学数学 （必修）（必修）第一课时第一课时 在北京召开的第在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会的会标是根据中国古代学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的数学家赵爽的弦图设计的, ,它看上它看上去像一个风车，代表中国人民热去像一个风车，代表中国人民热情好客。情好客。22ba 1、正方形、正方形abcd的的面积面积s=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和s = =ab2、s与与s有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究：ss即即问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？22ba ab2能否

2、推广到对于任意实数a,b,a2+b22ab都成立？ 探究探究2：思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以时当ba 时当ba 222abab证明：（作差法）证明：（作差法） 2)(ba重要不等式：一般地，对于任意实数重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立222abab文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围：a,br0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什

3、么结论？0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：) 0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba特别地，若特别地，

4、若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?rtacdrtdc

5、b，bcdc所以dcac2dcbc acab所以如图如图, ab是圆的直径是圆的直径, o为圆心，为圆心，点点c是是ab上一点上一点, ac=a, bc=b. 过点过点c作垂直于作垂直于ab的弦的弦de,连接连接ad、bd、od.如何用如何用a, b表示表示cd? cd=_如何用如何用a, b表示表示od? od=_2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示cd? cd=_如何用如何用a, b表示表示od? od=_2ababod与与cd的大小关系怎样的大小关系怎样? od_cd如图如图, ab是圆的直径是圆的直径,

6、 o为圆心，为圆心，点点c是是ab上一点上一点, ac=a, bc=b. 过点过点c作垂直于作垂直于ab的弦的弦de,连接连接ad、bd、od.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bra0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式变式变式2：x -1, 当当 x 取什么值时取什么值时

7、, 的值最小的值最小? 最小最小值是多少值是多少?11xx42思考：当思考：当 x0 时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。4xx基本不等式的应用基本不等式的应用2(8)yxx例 ：求的最大值那你能从刚才的两个例题的解答过程中总结出什那你能从刚才的两个例题的解答过程中总结出什么规律吗？么规律吗？结论结论1.两个正数积为定值，则和有最两个正数积为定值，则和有最_值值小小即：即：x0,y0,当当xy的值是常数的值是常数p时，时，当且仅当当且仅当_时，时， x+y有最有最_值值_.小小2 px=y结论结论2.两个正数和为定值，则积有最两个正数和为定值，则积有最_值值大大即：即：x0,y

8、0,当当x+y的值是常数的值是常数s时，时，当且仅当当且仅当_时，时， xy有最有最_值值_.214s大大x=y注意：各项皆为正数；注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值；和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件注意等号成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”注：注：应用此不等式求最值的关键是配凑应用此不等式求最值的关键是配凑和定和定或或积定积定（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100 m2 的矩的矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，能使形菜园，如何设计篱笆的长和宽，能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？基本不等式的应用基本不等式的应用例例2、

9、解决以下问题：、解决以下问题：解：（解：（1）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为x m，宽为宽为y m， 等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是40m. 则面积为则面积为xy=100 m2 ，篱笆的周长为，篱笆的周长为2（x+y）m. xy2yx40y)2(x1002yx基本不等式的应用基本不等式的应用例例2、解决以下问题：、解决以下问题：（2）一段长为）一段长为36 m的篱笆围成一个矩的篱笆围成一个矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，菜形菜园，

10、如何设计篱笆的长和宽，菜园的面积最大？最大面积是多少园的面积最大？最大面积是多少?解：解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x m, ,宽为宽为y m , , 当且仅当当且仅当x= =y, ,即即x=9=9，y=9=9时等号成立。时等号成立。 则则2(2(x+ +y)=36,)=36,x+ +y=18, =18, 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m . m .2 2 因此，这个矩形的长、宽为都9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2 92182yxxy81xy 课堂练习：课堂练习：误：判断以下解题过程的正. 12yx2,xyyx2xyyx0 xy, 0yxy, xxyyxy, x)(原式

11、有最小值时取等号。当且仅当都是正数，解：的最值都是正数，求已知1 . 2, 2121:;1, 0)(原原式式有有最最小小值值解解的的最最值值求求已已知知xxxxxxx2. 221,11,2121:;1,21)(22222xxxxxxxxx有有最最小小值值时时即即当当且且仅仅当当解解的的最最小小值值求求时时已已知知3.,2,4. 4, 4424:.4, 3)(等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当原原式式有有最最小小值值解解的的最最小小值值求求已已知知xxxxxxxxxx4课堂小结：课堂小结： 20ab代数证明代数证明( ,)a br 222abab形形数数(0,0)2abab ab 代数证明代数证明几何解释几何解释 时等号成立ab 几何解释几何解释 时等号成立ab 应用基本不等式求最值时，要把握基本不等应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的式成立的三个三个条件：条件：一、是一、是正数正数条件，即条件，即a、b都是正数；都是正数；二、是二、是定值定值条件