241平面向量的数量积

1、平面向量的数量积平面向量的数量积一、复习回顾一、复习回顾x1 + x2y1 + y2x1 - x2y1 - y2 x1 y11、若向量、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 则向量则向量a+b=（ ， ）向量向量a-b=（ ， ）向量向量a=（ ， ）2、若已知点、若已知点a(x1,y1) ， b(x2,y2) 则向量则向量ab=（ ， ） x2 x1 y2- y1 3、向量、向量a、b（b0）共线的充要）共线的充要 条件是什么？条件是什么？ a =b若若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，则共线的充，则共线的充要条件是什么？要条件是什么？x1 y2 - x2 y1=0 直

2、线直线l上两点上两点 、 ，在，在l上取不同于上取不同于 、 的的任一点任一点p，则，则p点与点与 的位置有哪几种情形？的位置有哪几种情形？ 1p2p1p2p21ppp在在 之间，之间，21pp1p2ppp在在 的延长线上，的延长线上，21pp1p2ppp在在 的延长线上的延长线上. . 12pp1p2pp 存在一个实数存在一个实数，使，使 ，叫做点叫做点p分分有向线段有向线段 所成的比所成的比21pppp21pp0 1 01 能根据能根据p点的三种不同的位置和实数与向点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定量的积的向量方向确定的取值范围吗？的取值范围吗？ 设设 ， ，p分分 所成的比

3、为所成的比为 ，如何求如何求p点的坐标呢？点的坐标呢？ ),(111yxp),(222yxp21pp),(111yyxxpp ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxpp 21pppp )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 112121yyyxxx有向线段有向线段 的的定比分点坐标公式定比分点坐标公式21pp有向线段有向线段 的的中点坐标公式中点坐标公式21pp 222121yyyxxx例例1、如图如图 abc三顶点的坐标分别为三顶点的坐标分别为a( x1,y1), b(x2 , y2 ) ,c(x3 ,y3 ),d是边是边ab的中点，的中点，g是是cd

4、上一点，且上一点，且 ，求点，求点g的坐标。的坐标。cggd=2 ocabdxyg解：解： d是是ab的中点的中点 点点d的坐标为的坐标为 （ ， ） x1+ x2 2y1+ y22gdcg=2cg=2gd由定比分点坐标公式可得由定比分点坐标公式可得g点的坐标为：点的坐标为： x1+ x2 2x=x3+21+2 =x1+x2+x3 3y=1+2 y322y1y2 =3y1y2 y3 x1+x2+x333y1y2y3 即点即点g的坐标为（的坐标为（ ， ），），也就是也就是 abc 的重心的坐标公式。的重心的坐标公式。aboab当当=00 a b同向同向当当=1800 a b反向反向当当=900

5、 a b垂直垂直 记记:a b ,0aboaa obbaobab 已已知知非非零零向向量量 与与作作叫叫做做 与与的夹角的夹角说出下列两个向量说出下列两个向量 a a 和和 b b 的夹角的大小是多少？的夹角的大小是多少？ba( 1 )4040o( 2)abab( 3) ab( 5 )ab60o(6)60oba(4)1 1平面向量数量积的定义：平面向量数量积的定义： 已知非零向量 ,它们的夹角是,则数量 叫做 的数量积，记作 ,即有ba,cos|ba ba,cos|bababa 规定：规定：零向量与任何向量的数量积为0.注意注意：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号一般由cos的符

6、号所决定；（2）两个向量的数量积应写成a a b b；书写时符号“ ” 不应省略，也不能用“”代替.当当 为锐角时投影为锐角时投影为正值为正值 当当 为直角时为直角时投影为投影为0 当当 为钝角为钝角时投影为负时投影为负值值 思考：思考：当当 0或或 时投影为？时投影为？ 2.2.向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义投影的概念：投影的概念：|b|cos 叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影 3、数量积的几何意义：数量积的几何意义：.cos 的的乘乘积积的的方方向向上上的的投投影影数数量量在在与与的的长长度度等等于于数数量量积积 babaaba cos|b4、数量积的物理意义：、

7、数量积的物理意义：:,可用公式计算所做的功那么力的作用下产生位移如果一个物体在力wfsffscos|sfsfwab bao cos babacosfabba cosabba 5、数量积的主要性质、数量积的主要性质是是两两个个非非零零向向量量设设ba,02 baba .点积为零是判定两向量垂直的充点积为零是判定两向量垂直的充要条件要条件用于计算向量的模用于计算向量的模?,000 bbaa时时当当3.3.ba ba baba,同同向向时时和和当当 baba,反反向向时时和和当当 2aaa,特别地特别地2aaaa 1.cose aa ea baba cos. 4用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,

8、以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状baba . 56数量积的运算律：数量积的运算律：cba、是任意三个向量，是任意三个向量，r )()(cbacba )()()(bababa cbcacba )(abba (1)交换律交换律(2)数乘结合律数乘结合律 (3)分配律分配律 bacbca 注意：注意：例例1 判断正误，并简要说明理由判断正误，并简要说明理由a00；0a；0abbaabab；若若a0，则对任一非零，则对任一非零b有有ab；ab，则，则a与与b中至少有一个为中至少有一个为0；对任意向量对任意向量a，b，c都有都有（ab）ca（bc）；）；a与与b是两个单位向量，则是两个单位向量，

9、则ab 例例2：已知已知a，b，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求ab ,1:平行且方向相同与因为解bcad.0的夹角为与bcad91330cosbcadbcad 且方向相反平行与,.2cdab180的夹角是与cdab16144180coscdabcdab ,60.3的夹角是与adab120的夹角是与daab62134120cosdaabdaab进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92adbcad或162abcdab或120例例3、 bcaddabadababcd.1:,60, 3, 4,求已知中在平行四边形如图 cdab.2 daab.3bacd60例例5已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：)3)(2(baba例例6 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例例4对任意向量 ,是否有结论: (1) (2) ba ,2222)(bbaaba22)(bababa作业：作业