非线性系统初步

1、第七章非线性系统初步71 引言在物理世界中， 理想的线性系统并不存在。严格来讲， 所有的控制系统都是非线性系统。例如， 由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。当由电动机作为执行元件时， 由于摩擦力矩和负载力矩的存在， 只有在电枢电压达到一定值的时候， 电动机才会转动， 存在死区。实际上， 所有的物理元件都具有非线性特性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。本章首先介绍典型非线性环节的特性，然后介绍描述函数法分析非线性系统。72 典型非线性环节在控制系统中， 典型的非线性特性包括饱和特性

2、、死区特性、间隙特性和继电器特性等。了解这些典型非线性特性的物理概念及输入输出关系，是分析实际的非线性系统的前提。本节从物理概念入手，定性地分析几种典型非线性环节的特性。7 21 饱和特性控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性， 其静特性如图7 1 所示。图中 e(t ) 为输入信号， x(t ) 为输出信号。 可以看出当ae(t)a 时，输入输出关系为线性关系，增益为k 。而当 e(t ) a 时，进入饱和区。饱和特性的数学表达式为xke(t )e(t)akx(t)kae(t)a（7 1）akae(t)aae0从图 7 1 和式（ 71）可以看出，当输入信号超

3、过线性区以后， 输出量将会固定为一常量。 放大器以及限幅器、限位器都具有这样的特性。图 7 1 饱和特性7 22 死区特性控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感， 电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。死区特性如图7 2 所示，图中 e(t) 为输入信号，x(t) 为输出信号。可以看出当ae(t)a 时，输出量保持恒定的零值，这个区域称为死区。而当e(t ) a 时，进入线性区。死区特性的数学表达式为x0e(t )akx(t)signe(t )e(t )（7 2）k e(t) aaa0 ae其中1e(t )0（7 3）signe

4、(t)e(t )01图 7 2 死区特性从图 7 2 以及式（ 7 2）、（ 7 3）可以看出，只有在输入信号超过某一值以后，输出信号才会随输入信号线性变化。一般说来， 在控制系统的前向通道中， 信号会沿着输入到输出的方向被逐级放大。所以，靠近输入端的环节的死区特性对系统造成的影响较大，而靠近输出端的环节的死区特性则对系统的影响较小。7 23 间隙特性控制系统中的机械传动装置一般都具有间隙特性。例如齿轮传动装置中，主动轮改变转动方向时， 由于间隙的存在， 从动轮不会立即改变转动方向，而是等到间隙消除后才随主动轮改变转动方向。间隙特性如图7 3 所示，图中 e(t ) 为输入信号， x(t )

5、为输出信号。死区特性的数学表达式为x2ab signe(t )x(t )0x(t )k e(t)ax(t )0（ 74）a0kk e(t)ax(t )0ae从图 7 3 可以看出，间隙的宽度为2a ，线性段的斜率为 k ，输入输出关系不是单值对应，而是形成了一个回环。 而式（ 7 4）表明，输出信号 x(t)图 73 间隙特性不仅与输入信号e(t) 的大小有关，而且还与 e(t ) 的变化方向有关。控制系统中的间隙特性，常常引起系统的自持振荡和稳态误差的增加。7 24 继电器特性x(t )x(t )x(t)x(t )bbbbaamaa0e(t )0 ae(t)0 ae(t)a0 mae(t)b

6、bbb（ a）（ b）（ c）（ d）图 7 4 继电器特性继电器在控制系统中应用广泛。而继电器的类型较多，从输入输出关系看，有理性继电器，如图7 4（ a）所示；具有死区的继电器，如图7 4（b）所示；具有滞环的继电器，如图 7 5（ c）所示；具有死区与滞环的继电器，如图 74（ d）所示。死区的存在是由于继电器在输入电流达到一定值的时候， 才能执行吸和动作。 而滞环的存在是因为特磁元件的磁滞特性使继电器的吸和电流与释放电流不相等。73 非线性系统的特点非线性系统与线性系统相比，有许多独有的特点：1)线性系统的稳定性由系统的闭环极点决定， 也就是说一旦系统确定， 其稳定性也随即确定，与初始

7、条件和输入信号无关。 而非线性系统的稳定性除了与系统的闭环极点相关外，还与初始条件和输入信号相关。 对于某一个确定的非线性系统， 在一种初始条件下是稳定的，而在另一种初始条件下则可能是不稳定的，或者在一种输入信号作用下是稳定，而在另一种输入信号作用下却是不稳定的。2) 线性系统的运动状态不是收敛与平衡状态，就是发散。理论上说，当系统处于临界时，会出现等幅振荡。 但是在实际情况下， 这种状态不可能维持， 外界环境或系统参数稍有变化，系统就会趋于平衡状态或发散状态。 而非线性系统的运动状态除了收敛和发散以外，还有等幅振荡的状态。这种振荡状态在没有外界作用的情况下，也会存在，而且保持一定的幅度和频率

8、， 称为自持振荡、 自振荡或自激振荡。 自持振荡由系统结构和参数决定，是非线性系统独有的现象。3) 线性系统在输入某一频率的正弦信号时， 输出的稳态分量是同频率的正弦信， 系统只会改变输入信号的幅度和相位。 而在非线性系统中， 当输入信号是某一频率的正弦信号时，输出信号不仅含有同频率的正弦分量， 还含有高次谐波分量。 因此， 在分析线性系统时采用的频率特性、传递函数等方法不能应用于非线性系统的分析。4) 线性系统满足叠加原理。而非线性系统不满足叠加原理。对非线性系统的分析， 重点是系统的稳定性， 系统是否产生自持振荡， 自持振荡的频率和幅度是多少，如何减小和消除自持振荡等。74 描述函数法描述

9、函数法是一种基于谐波线性化概念，将分析线性系统的频率响应法移植到分析非线性系统中的一种工程近似方法。其基本思想是： 当系统满足某种条件时，系统中非线性环节的输出信号中的高次谐波分量可以忽略，用基波近似输出信号，由此导出非线性环节的近似频率特性， 即描述函数。 此时的非线性系统就近似为一个线性系统，可以用线性系统分析方法中的频率响应法对其进行分析。描述函数法主要用于分析非线性系统的稳定性，是否产生自持振荡，自持振荡的频率和幅度，消除和减弱自持振荡的方法等。7 41 描述函数的基本概念1. 描述函数的概念设非线性环节的输入信号为正弦信号e(t )Asint则非线性环节的输出信号x(t ) 含有 e

10、(t) 的基波和高次谐波，可以展开成傅立叶级数的形式x(t) A0( An cosntBn sin n t )n 1A0X n s i nn(tn )（7 5）n 1式中， A0 为直流分量，且有12A0x(t )dt2012x(t) cos ntdtAn012x(t) sin ntdtBn0X nAn2Bn2ntg 1 AnBn如果非线性环节的输入输出关系是奇对称的，则式（75）中的A0 0 。一般高次谐波比基波小， 并且控制系统中的线性环节一般都具有低通滤波的特性，使得高次谐波在系统中传输过程中大大衰减。 因此，可以近似认为非线性环节的输出信号中，只有基波分量可以沿闭环回路反馈到非线性环节

11、的输入端构成正弦输入e(t) 。输出的基波分量为x1 (t) A1 cos tB1 sintX1 sin( t1 )（7 6）式中，12x(t ) costdt（7 7）A1012x(t) sintdt（7 8）B10X1A12B12（7 9）1tg 1A1（ 7 10）B1定义非线性环节的描述函数为一复函数，其幅度为非线性环节输出信号的基波分量与输入信号幅度之比， 其相位为输出信号基波分量与输入信号相位之差。描述函数用符号 N ( A)表示，即N(A)X 1 e j 1（ 7 11）A式中， N ( A) 为非线性环节描述函数； A 为输入正弦信号的幅度； X1 为输出信号基波分量的幅度；

12、1 为输出信号基波分量相对与输入正弦信号的相移。常见的非线性环节的描述函数见表 71。表 71非线性类型静特性描述函数N ( A)饱和特性死区特性间隙特性理想继电器特性有死区的继电器特性有滞环的继电器特性有死区与滞环的继电器特性KaKaKaMMaMaMma a2K sin 1 aa 1a2, A aAAA2Ksin 1 aa 1a2, A a2AAA2Ksin 1A 2aA 2a1A 2a2AAAj 4Ka(aA)A2Aa4MA4M2a1, A aAA24M1aj a, A aAAA222M1a1maj a(m 1), A aAAAA2. 多个非线性环节输入输出关系的计算1) 非线性环节并联若

13、两个非线性环节并联，并且非线性特性都是单值函数，则他们的描述函数N1( A) 和N 2 ( A) 都是实函数，见图 7 5。当输入信号 e(t) A sint 时，两个环节输出信号的基波分量分别为x11N1 ( A) Asinte(t)N1(A)x(t )x11N1 ( A) AsintN2(A)所以并联环节的描述函数为N(A) N1(A) N2(A)图 75 非线性环节并联（ 7 12）当 N1 ( A) 和 N 2 ( A) 是复函数时，也能得出相同的结论。总之，并联非线性环节的描述函数等于各非线性环节描述函数的和。2) 非线性环节串联xyk112e(t) N 1 ( A) x(t ) N

14、 2 ( A)y(t)1k22-3 -2 -12 3e-3 -2 -10 1 23x0 1-1-2N1(A)N2(A)图 76 非线性环节串联当两个非线性环节串联时，总的yy环节的描述函数不是各环节的描述函22数的乘积，下面我们做详细的讨论。1k221k22要求总的环节的描述函数，需要首先-3 -2 -1-3 -2 -1e0 1 23 x0 123计算出串联环节的输入输出关系。如-1-1-2图 7 6 所示，两个非线性环节串联，-2其中 N1 ( A) 为死区非线性环节，而（ a）（ c）N 2 ( A) 为饱和非线性环节。 将前一个-3环节的输入输出特性顺时针转90 度，-2x重新绘制于后一

15、个环节的正下方，使-1得前一环节的输出坐标轴与后一环节1k11的输入坐标轴平行，如图77（ a）、2（b）所示。用图解的方法可以得出，3e前一环节的输入信号由变化到（ b）时，后一个环节的输出信号，如图 7 7（ c）所示。图解法中，关键 图 77 串联非线性环节的图解是计算前后非线性环节曲线中转折点处的对应关系。 如果两个非线性环节的的前后次序调换， 用图解法计算可以得出等效的非线性特性与调换次序前并不相同，这是非线性环节和线性环节一个明显的区别。7 42 描述函数法分析非线性系统的稳定性应用描述函数法， 将非线性环节进行谐波线性化后，可以利用线性系统理论中的频域稳定判据分析非线性系统的稳定

16、性，是否产生自持振荡， 确定自持振荡的频率和振幅等。当使用描述函数法分析非线性系统稳定性时，通常令输入信号r (t) 0 ，将非线性系统简化成一个等效线性部分G (s) 和一个等效非线性部分N ( A) 在闭环回路中串联的形式。如图 78 所示，将原系统中的各线性环节等效成G (s)G1 ( s)G 2 (s) H (s) 。如果系统中有不止非线性环节串联或并联，也要计算出等效的非线性部分的描述函数。r (t ) 0e(t )x(t )N(A)y(t )c(t )xyG1 (s)G2 ( s)N(A)H ( s)G( s)图 78非线性系统的结构化简1. 非线性系统的稳定性分析用描述函数法分析

17、非线性系统的稳定性，首先将系统化简成图7 9 所示的形式。 系统的频率响应r (t )e(t) N ( A) x(t) G( s) c(t )为C ( j)N ( A)G ( j )R( j（ 7 13）) 1 N ( A)G ( j )可以看出，当 sj 时，系统的特征方程为图 7 9 非线性系统1 N ( A)G ( j ) 0（ 7 14）或者写成G ( j)1（ 7 15）N(A)其中， 1/ N (A) 称为非线性环节的负倒描述函数。G ( j ) 与1/ N ( A) 之间的相对位置就决定了非线性系统的稳定性，证明略去。判断非线性系统的稳定性，首先应在s 平面上画出 G ( j)

18、与 1/ N(A)轨迹，并在G ( j) 上标明增大的方向，在1/ N ( A) 上标明 A 增大的方向。如果非线性系统中的线性部分满足最小相位条件，则非线性系统稳定性的判定规则如下：1)如果 G ( j) 不包围 1/ N ( A) 的轨迹，如图7 10（ a）所示，则系统稳定。 G ( j ) 离1/ N ( A) 越远，系统的相对稳定性越好。2)如果 G ( j) 包围 1/ N ( A) ，如图 7 10（b）所示，则系统不稳定。3) 如果 G ( j) 与1/ N ( A) 相交，如图7 10（ c）所示。若交点处0，而 AA0 ，设某一时刻有 e(t) A0 sin0 t 。可以看

19、出，此信号经过系统闭环回路一周回到输入端仍然为 A0sin0 t ，系统中存在一个等幅振荡。该振荡可能是自持振荡，也可能在一定条件下收敛或发散。1ImImImN(A)A0ReReAReG ( j)1G ( j)N(A)G ( j)A1N(A)（ a）（ b）（ c）图 7 10 非线性系统稳定性分析2. 自持振荡的确定当 G ( j ) 与 1/ N ( A) 相交时，方程G( j)Im1N(A)的解对应着一个周期运动的信号的振幅和频率。若这个等幅振荡在系统受到轻微扰动作用后偏离原来的运动状态， 而当扰动消失后，系统又回到原来频率和振幅的等幅持续振荡，则这种等幅振荡称为非线性系统的自持振荡。自

20、持振荡是一种稳定的等幅振荡，而不稳定的等幅振荡在系统受到扰动的时候，会收敛、发散或转移倒另一个稳定的周期运动状态。bReA ef10Ada cN ( A)G ( j)图 711 自持振荡分析如图 7 11 所示， G ( j) 与1/ N ( A) 有两个交点 a 和 b 。假设系统工作在a 点，当受到轻微的扰动时， 使非线性环节的振幅增加，即工作点沿1/ N ( A) 的曲线向 A 增大的方向运动到 c 点。由于 c 点被 G ( j) 包围，属于不稳定点，系统的响应发散。此时，工作点会继续沿1/ N ( A) 的曲线向 A 增大的方向运动至b 点。若系统受到轻微扰动使工作点沿1/ N (A) 的曲线向A 减小的方向运动到d 点。由于 d 点不被 G ( j) 包围，属于稳定点，系统的响应收敛。 此时， 工作点会继