世纪数学概观 IPPT课件

1、国际数学家大会国际数学家大会l 克莱因(德, 1849-1925): 数学现状世界哥伦布博览会:芝加哥18931897年国际数学家大会q 庞加莱(法，1854-1912): 关于纯分析和数学物理的报告具有极高才智的人物在过去开始的事业，我们今天必须通过团结一致的努力和合作以求其实现。 第1页/共42页国际数学家大会国际数学家大会瑞士苏黎世工业大学（1897年ICM在此举行）第2页/共42页国际数学家大会国际数学家大会 揭开隐藏在未来之中的面纱, 探索未来世纪的发展前景, 谁不高兴? 我们下一代的主流数学将追求怎样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域, 新世纪将会带来怎样的新方法和新成就? 2

2、3个数学问题 外尔外尔( (德德, 1885-1955): , 1885-1955): 希尔伯特就像穿杂色希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手衣服的风笛手, , 他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠的老鼠, , 跟着他跳进了数学的深河。跟着他跳进了数学的深河。 魏伊魏伊( (法法, 1906-1998): , 1906-1998): 希尔伯特问题就是一希尔伯特问题就是一张航图张航图, , 过去过去5050年间年间, , 数学家总是按照这张航图数学家总是按照这张航图来衡量他们的进步。来衡量他们的进步。 2000年国际数学年 希尔伯特(德, 18621943)：数学问题1900

3、ICMq 希尔伯特（德，18621943年）1880年柯尼斯堡大学，1885年博士，1893年教授q 1895年哥廷根大学教授，1900年发表“数学问题”的著名演讲，1910年鲍约奖，1930年退休q 不变量理论（18851893年）、代数数域理论（18931898年）、几何基础（18981902年）、变分法与积分方程（18991912年）、物理学（19121922年）、一般数学基础（1917年以后）q柯朗（德，18881972年）：希尔伯特那有感染力的乐观主义，即使到今天也在数学中保持着他的生命力。唯有希尔伯特的精神，才会引导数学继往开来，不断成功。 第3页/共42页国际数学家大会国际数学家

4、大会莫斯科1966赫尔辛基1978华沙1983京都1990希尔伯特：我们必须知道，我们必将知道。 第4页/共42页国际数学家大会国际数学家大会北京2002第5页/共42页国际数学家大会国际数学家大会第6页/共42页国际数学家大会国际数学家大会马德里2006第7页/共42页菲尔兹奖(1936- ) 菲尔兹(加, 1863-1932) l 1924 1924年多伦多年多伦多ICMICM主席，强调数学主席，强调数学发展的国际性发展的国际性 l 19321932年苏黎世年苏黎世ICMICM通过通过l 19361936年奥斯陆年奥斯陆ICMICM颁发颁发l 19741974年温哥华年温哥华ICMICM规

5、定只授予规定只授予4040岁岁以下的数学家以下的数学家l 1936-20061936-2006年年, 49, 49人获奖人获奖 国际数学家大会国际数学家大会第8页/共42页菲尔兹奖(1936- )菲尔兹奖章(正面)(超越人类极限, 掌握宇宙世界)菲尔兹奖章(反面)(全世界数学家聚会共同嘉奖对知识的卓越贡献)国际数学家大会国际数学家大会第9页/共42页菲尔兹奖(1936- )19361936年阿尔福斯年阿尔福斯( (芬芬- -美美, 1907-1996), 1907-1996)关于关于复分析获奖复分析获奖19361936年道格拉斯年道格拉斯( (美美,1897-1965),1897-1965)关

6、关于极小曲面获奖于极小曲面获奖国际数学家大会国际数学家大会第10页/共42页 19831983年丘成桐年丘成桐( (中中- -美美, 1949- ), 1949- )关于微分几何获奖关于微分几何获奖菲尔兹奖(1936- )国际数学家大会国际数学家大会第11页/共42页 2002年ICM江泽民主席与获奖者 菲尔兹奖(1936- )国际数学家大会国际数学家大会第12页/共42页菲尔兹奖(1936- )国际数学家大会国际数学家大会 2006年陶哲轩(澳, 1975- )关于偏微分方程、组合学、调和分析和加性数论的贡献获奖1983年7岁的陶哲轩和10年级学生一起参加数学考试第13页/共42页国际数学家

7、大会国际数学家大会菲尔兹奖(1936- )2006年8月23日央视报道第14页/共42页结构数学与统一的数学结构数学与统一的数学 20 20世纪的数学大致可以分成两部分。世纪的数学大致可以分成两部分。2020世纪前半叶世纪前半叶被我称为被我称为“专门化的时代专门化的时代”，这是一个希尔伯特的处理，这是一个希尔伯特的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。布尔巴基的名各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。布尔巴基的名字是与这种趋势联系在一起的。在这种趋势下，人们把字是与这种趋势联系在一起的。在这种趋势下

8、，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么。它系统能获得什么。2020世纪后半叶更多地被我称为世纪后半叶更多地被我称为“统统一的时代一的时代”，在这个时代，各个领域的界限被打破了，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总结了我们看到的于简单的说法，但是我认为这简单总结了我们看到的2020世纪数学的一些

9、方面世纪数学的一些方面 。20世纪的数学( 2000年10月)阿蒂亚(英, 1929 )19661966年获得菲尔兹奖年获得菲尔兹奖20042004年获得阿贝尔奖年获得阿贝尔奖第15页/共42页更高度的抽象更高度的抽象集合论观点与公理化方法 集合对象的抽象 推动数学研究的工具 20世纪数学抽象的范式l 实变函数实变函数l 泛函分析泛函分析l 抽象代数抽象代数 l 拓扑学拓扑学l 概率论概率论纯粹数学的发展第16页/共42页实变函数论n 分析的“分水岭” n1930年尼古丁(波, 1887-1974)的抽象测度论勒贝格n1902年勒贝格(法, 1875-1941)的积分, 长度与面积建立了测度论

10、和积分论波莱尔n1898年波莱尔(法, 1871-1956)的测度论n1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了黎曼积分第17页/共42页泛函分析n 创始时期创始时期(19(19世纪世纪8080年代至年代至2020世纪世纪2020年代年代):): 1906年弗雷歇(法, 18781973), 1922年列维(法, 1886-1971)出版泛函分析n 发展时期发展时期(20(20世纪世纪2020至至4040年代年代):):1932年巴拿赫(波, 1892-1945)的线性算子论, 1940年盖尔范德(苏, 1913- ,W)的巴拿赫代数理论n 成熟时期成熟时期(20(20世纪世纪4040年

11、代起年代起):):施瓦兹(法, 1915-2002, F)的广义函数理论, 格罗登迪克(法, 1928- , F)的核空间理论巴拿赫巴拿赫 巴拿赫(波, 1892-1945) : 1910年中学毕业后自修数学, 后就读于利沃夫工学院, 1917年发表关于傅里叶级数收敛的论文 1920年利沃夫工学院助教, 取得博士学位 1927年利沃夫工学院教授, 形成利沃夫学派 1929年创办数学研究, 1932年出版线性算子论 1936年奥斯陆ICM上作大会报告, 1939年波兰数学会主席, 1939-1941年利沃夫大学校长 德国占领波兰期间, 寄生虫饲养员, 后得胃癌去逝第18页/共42页抽象代数 希尔

12、伯特(德, 1862-1943)的抽象思维及公理方法的产物 经典代数学: 求解代数方程和代数方程组 抽象代数学: 公理化方法研究具有代数结构的集合 创立者: 诺特(德, 1882-1935)与阿廷(奥, 1898-1962) 范德瓦尔登(荷, 1903-1996)近世代数学(1930-1931)第19页/共42页抽象代数阿廷范德瓦尔登诺特 诺特(德, 1882-1935) : 父亲是埃尔朗根大学数学教授, 1902年进入埃尔朗根大学, 1903年在哥廷根大学学习, 1907年通过博士论文答辩, 从事不变量研究 1916-1933年在哥廷根大学, 开创“近世代数”, 1932年苏黎世ICM上作一

13、小时报告 1933年9月到美国宾州布林莫尔女子学院 “根据现在的权威数学家们的判断, 诺特小姐是自妇女开始受到高等教育以来有过的最杰出的富有创造性的数学天才. 在最有天赋的数学家辛勤研究了几个世纪的代数学领域中, 她发现了一套方法, 当前一代年轻数学家的成长已经证明了这套方法的巨大意义.”(爱因斯坦于纽约时报)第20页/共42页拓扑学七桥问题七桥问题多面体多面体n 1752年欧拉示性数V-E+F=2李斯廷李斯廷n 1847年李斯廷(德, 1808-1882)拓扑学引论欧拉欧拉n 1736年欧拉(瑞, 1707-1783)解决哥尼斯堡七桥问题形成第21页/共42页1736年欧拉(瑞, 1707-

14、1783)解决哥尼斯堡七桥问题拓扑学形成第22页/共42页拓扑学形成 默比乌斯默比乌斯 1858年默比乌斯(德, 1790-1868)带 1874年克莱因(德, 1849-1925)瓶克莱因克莱因 1895年庞加莱(法, 1854-1912)发表位置分析庞加莱庞加莱第23页/共42页拓扑学默比乌斯带第24页/共42页拓扑学克莱因瓶第25页/共42页拓扑学发展豪斯道夫 1914年豪斯道夫(德, 1868-1942)集合论纲要布劳威尔莱夫谢茨 布劳威尔(荷, 1881-1966)和莱夫谢茨(俄-美, 1884-1972)的不动点定理E嘉当吴文俊 拓扑不变量第26页/共42页 来源来源概率论概率论n

15、16571657年惠更斯年惠更斯( (荷荷, 1629-1695), 1629-1695)在在“论赌博中的论赌博中的机会机会”中提出数学期望中提出数学期望l 研究随机现象数量规律的数学分支帕斯卡帕斯卡( (法法, 1962), 1962)惠更斯惠更斯( (荷兰荷兰, 1929), 1929)n 赌博问题赌博问题16541654年帕斯卡年帕斯卡( (法法, 1623-1662), 1623-1662)与与费马费马( (法法, 1601-1665), 1601-1665)通信讨论通信讨论“点问题点问题”第27页/共42页概率论概率论 拉普拉斯拉普拉斯( (法法, 1749-1827): 1774,

16、 1749-1827): 1774年提出概率的年提出概率的严格定义严格定义, 1812, 1812年出版年出版分析概率论分析概率论, , 严格证严格证明了棣莫弗明了棣莫弗- -拉普拉斯积分极限定理拉普拉斯积分极限定理( (中心极限定中心极限定理理), ), 研究了统计问题研究了统计问题 雅格布雅格布伯努利伯努利: 1713: 1713年出版年出版猜度术猜度术, , 伯努利大数定律伯努利大数定律 棣莫弗棣莫弗( (法法, 1667-1754) : 1738, 1667-1754) : 1738年出版年出版机机会的学说会的学说, , 发现二项分布的极限形式为正态发现二项分布的极限形式为正态分布分布

17、第28页/共42页概率论概率论柯尔莫哥洛夫n 柯尔莫哥洛夫(苏, 1903-1987)概率论基本概念(1933)n 20世纪40年代后: 法国学派、苏联学派、日本学派、美国学派 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫: : 幼年由姨妈抚育幼年由姨妈抚育 19201920年进入莫斯科大学年进入莫斯科大学, 1922, 1922年成为鲁金（苏，年成为鲁金（苏，1883188319501950）的学生）的学生, 1929, 1929年研究生毕业年研究生毕业 19311931年任莫斯科大学教授年任莫斯科大学教授, 1933, 1933年任数学所所长年任数学所所长, 1939, 1939年当年当选苏联科学院院士并任科

18、学院斯捷克洛夫数学所所长选苏联科学院院士并任科学院斯捷克洛夫数学所所长, 1980, 1980年年获得沃尔夫奖获得沃尔夫奖 研究工作几乎遍及一切数学领域研究工作几乎遍及一切数学领域, , 主要有调和分析、概率论、主要有调和分析、概率论、遍历论和动力系统遍历论和动力系统, , 发表学术论文发表学术论文488488篇篇 2020世纪苏联最有影响的数学家、世纪苏联最有影响的数学家、2020世纪为数极少的几个最世纪为数极少的几个最有影响的数学家之一有影响的数学家之一 第29页/共42页数理逻辑弗雷格(德, 1848-1925) 1879年概念语言提供数理逻辑的体系, 一切数学可以化归为逻辑, 成为数理

19、逻辑和逻辑主义的奠基人和创始人 1884年算术基础作为逻辑的延展建立数学, 从逻辑推出算术 由于罗素(英, 1872-1970)的工作, 弗雷格的工作受到重视逻辑代数 施罗德(德, 1841-1902)逻辑代数讲义(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰 施罗德数学基础第30页/共42页数理逻辑皮亚诺(意, 1858-1932) 以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面 1889年算术原理新方法完成了整数的公理化处理, 给出了自然数公理 1895-1908年5卷本的数学公式汇编试图从逻辑记号的若干基本公理出发, 建立整个数学体系, 希望将数理逻辑的概念应用在数学各分支

20、的所有已知结果上 对罗素(英, 1872-1970)及布尔巴基学派的工作产生影响数学基础第31页/共42页数学基础逻辑主义罗素(英, 1872-1970) 受弗雷格(德, 1848-1925)和皮亚诺(意, 1858-1932)的影响 1903年数学的原理, 19101913年数学原理 数学就是逻辑 1920年来中国讲学一年, 1950年获得诺贝尔文学奖 直觉主义 布劳威尔(荷, 1881-1966) 受庞加莱(法, 1854-1912)的影响 1907年论数学基础 数学独立于逻辑，数学的基础是“原始知觉” 构造主义 第32页/共42页数学基础形式主义纲领 1900年希尔伯特问题: 连续统假设

21、；算术公理的相容性 1922年提出希尔伯特纲领: 将数学形式化, 构成形式系统, 通过有限的证明方法, 借助超限公理, 导出无矛盾的数学系统 1928年提出4个实施步骤: 希尔伯特(德, 1862-1943) 分析的无矛盾性 选择公理的无矛盾性 算术及分析形式的完全性 一阶谓词逻辑的完全性第33页/共42页数学基础数学原理论数学基础数理逻辑基础 第34页/共42页 1903年罗素悖论. 把集合分成两类 ： 凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合设M表示第一类集合全体所成的集合若M是第一类集, 则MM, 由M的定义, M

22、M, 矛盾; 若M是第二类集, 则MM, 由M的定义, MM, 矛盾. 数学基础公理集合论 康托(德, 1845-1918)意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾 . 1900年巴黎ICM上庞加莱(法, 1854-1912)说: 绝对的严密性已经达到了. 集合论矛盾的出现，形成第三次数学危机，动摇了整个数学的基础, 导致了策梅罗系统的诞生.罗素(英, 1872-1970) 第35页/共42页策梅罗(德, 1871-1953)数学基础公理集合论 1963年柯恩(美, 1934-2007, F)证明了连续统假设的独立性 哥德尔(奥-美, 1906-1978)科恩(美, 1934-2007)

23、公理集合论的主要开创者 1904年发表“每一集合都能够被良序地证明”, 提出了良序定理, 选择公理 1908年给出策梅罗系统 1921-1923年费兰克尔(德 , 1891-1965)提出“替换公理”, 1925年冯 诺伊曼(匈-美, 1903-1957)提出“正则公理” 1929-1930年策梅罗确定为“策梅罗-费兰克尔公理系统”(ZF系统, ZFC系统) 1938年哥德尔(奥-美, 1906-1978)证明了选择公理、连续统假设的相容性 第36页/共42页数学基础哥德尔时代哥德尔(奥-美, 1906-1978) 亚里士多德、莱布尼茨以来最伟大的逻辑学家 数学家、哲学家 19061924年：捷克布尔诺，“为什么先生” 19241939年：奥地利维也纳，博士，不完备性定理、连续统假设，3次赴美国讲学，维也纳大学无薪讲师； 19401978年：美国普林斯顿，教授，研究哲学 1951年“爱因斯坦勋章”，1975年美国“总统奖”第37页/共42页数学基础爱因斯坦与哥德尔第38页/共42页第十一讲思考题第十一讲思考题 1 1、以抽象代数为例谈谈数学的抽象性。、以抽象代数为例谈谈数学的抽象性。2 2、代数学的发展经历了哪几个不同的阶