泰勒定理课件

1、泰勒定理第三节第三节泰勒展式泰勒展式第四章第四章 解析函数的幂级数表示法解析函数的幂级数表示法泰勒定理定理4.1：定理4.1设函数f(z)在圆盘在内解析，那么在U内，RzzU|:|0.)(!)(.)(! 2)( )(! 1)( )()(00)(200000nnzznzfzzzfzzzfzfzf泰勒定理定理4.1的证明：证明：在U内任取一点z。以z0为心，在U内作一个圆C，使z属于其内区域。我们有由于当 时，又因为Cdzfizf,)(21)(C100qzzz) 1|.(|.1112n泰勒定理定理4.1的证明：所以上式的级数当)(1100zzzz0100000)()(111nnnzzzzzzzC时

2、一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得泰勒定理定理4.1的证明：其中.)(.)()(0010nnzzzzzf) 1! 0,.;2 , 1 , 0(,!)()()(210)(1nnzfdzfiCnnn由于z是U内任意一点，定理的结论成立。 泰勒定理定理4.2：定理4.2、函数f(z)在一点z0解析的必要与充分条件是：它在的某个邻域内有定理4.1中的幂级数展式。注解1、在定理4.1中，f(z)在U内的幂级数展式我们称为它在U内的泰勒展式。注解2、我们得到一个函数解析的另外一个刻画。注解3、泰勒展式中的系数与z0有关。泰勒定理系4.1、系4.1 幂级数.)(.)()()(

3、020201000nnnnnzzzzzzzz是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式，即,.).2 , 1 , 0(!)(),(0)(00nnzfzfnn泰勒定理系4.2、因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理：系4.2 在定理4.1中，幂级数的和函数f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果一定相同。泰勒定理例1、求函数 在z=0的泰勒展式。解：由于zzezcos,sin,zzee)(所以1|)(0)(znze因此.!1.! 2112nzznzze泰勒定理例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展

4、式 解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为)1arg()1arg(|1 |ln)1ln(zzizz)!1() 1(nn泰勒定理例2、因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：其收敛半径1。.) 1(.32)1ln(132nzzzzznn泰勒定理例3、 求的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中a不是整数）， 解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶导数为a，二阶导数为a(a-1)，n阶导数为 a(a-1) (a-n+1)因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：)1 (z.)(.)2(12)1ln(nzznzze泰勒定理例3、其中 其收敛

5、半径为1。注解、这是二项式定理的推广，对a为整数的情况也成立。!) 1).(1(nnn泰勒定理例4、函数sec z 在内解析，求它在这个园盘内的泰勒展式。解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰勒展式，设2|z),2|.(|.sec2210zzczczccznn但是，我们有,.! 4! 211cos1sec42zzzz泰勒定理例4、因此，.! 4! 21.1422210zzzczczccnn故可以通过比较系数法或直接除法确定这些系数，可以得到).2|.(|! 45! 21sec42zzzz泰勒定理解析函数的零点设函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且0)(0zf那么称z0为f(z)的零点。设

6、f(z)在U内的泰勒展式是：.)(.)()()(020201nnzzzzzzzf现在可能有下列两种情形：（1）如果当n=1,2,3,时，0n那么f(z)在U内恒等于零。泰勒定理解析函数的零点（2）如果,.,.,21n不全为零，并且对于正整数m，, 0m而对于n1，我们说z0是f(z)的单零点或m阶零点。如果z0是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在它的一个邻域U内, 0)(),()()(00zzzzzfm其中 在U内解析。)(z泰勒定理解析函数的零点定理5.1 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零点，那么或者f(z)在z0的一个邻域内恒等于零，或者存在着z0的一个邻域，在其中z

7、0是f(z)的唯一零点。因此存在一个正数 ，使得当 0|00zz时， 。于是0)(z. 0)(zf换而言之，存在着z0的一个邻域，其中z0是f(z)的唯一零点。注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。泰勒定理解析函数的唯一性 我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。引理6.1 设f(z)是区域D内的解析函数。如果f(z)在D内的一个圆盘内恒等于零，那么f(z)在D内恒等于零。泰勒定理引理6.1的证

8、明：证明：设在D内一个以为z0心的圆盘K0内，. 0)(zf我们只需证明在K0以外任一点. 0) (,zfDz用D内的折线L连接z0与z ，存在着一个正数.在L上依次取，011210, ,.,Kzzzzzzznn使而其他任意相邻两点的距离小于 ；使得L上任一点与区域D的边界上任一点的距离大于泰勒定理引理6.1的证明：作每一点zj的 邻域DKzjj1),.,2 , 1(njKj显然，当jn时，有由于f(z)在K0内恒等于零，,.)2 , 1(0)(1)(nzfn于是f(z)在K1内泰勒展式的系数都是零，从而f(z)在K1内恒等于零。一般地，已经证明了f(z)在) 1( njKj内恒等于零，就可推

9、出它在Kj+1内恒等于零，而最后就得到f(z)=0，因此引理的结论成立。泰勒定理定理6.1、2：定理6.1 如果f(z)在区域D内解析，并且不恒等于零，那么f(z)的每个零点z0有一个邻域，在z0其中是f(z)唯一的零点。定理6.2（解析函数的唯一性定理）设函数f(z)及g(z)在区域D内解析。设zk是D内彼此不同的点(k=1,2,3,)，并且点列zk在D内有极限点。如果，,.)3 , 2 , 1)()(kzgzfkk那么在D内，f(z)=g(z)。泰勒定理定理6.2的证明：证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然,.)2 , 1(0)(kzF

10、k设z0是点列zk在D内有极限点。由于F(z)在z0 连续，可见, 0)(0zF可是这时找不到z0的一个邻域，在其中z0是F(z)唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。泰勒定理例1、例1、在复平面解析、在实数轴上等于sinx的函数只能是sinz.解：设f(z)在复平面解析，并且在实轴上等于sinx，那么在复平面解析f(z)-sinz在实轴等于零，由解析函数的唯一性定理，在复平面解析上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz。泰勒定理例1、注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析，如第3段例1及例2，由解析函数的唯一性定理，都不存在另一个解析函数，在收敛圆内与和函数恒等，而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内，与它不恒等。泰勒定理例2、例2、是否存在着在原点解析的函数f(z)，满足下列条件：（1）、;21)21(, 0)121(nnfnf（2）、.1)1(nnnf其中n=1,2,3,。解：（1）、由于,.)3 , 2 , 121121nnn（及泰勒定理例2、的唯一的