南航戴华《矩阵论》第七章_矩阵函数与矩阵值函数

1、第第7 7章章 矩阵函数与矩阵值函数矩阵函数与矩阵值函数7.1 7.1 矩阵函数矩阵函数7.2 7.2 矩阵值函数矩阵值函数7.3 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用矩阵值函数在微分方程组中的应用7.47.4* * 特征对的灵敏度分析特征对的灵敏度分析7.1 7.1 矩阵函数矩阵函数7.1.1 7.1.1 矩阵函数的幂级数表示矩阵函数的幂级数表示7.1.2 7.1.2 矩阵函数的另一种定义矩阵函数的另一种定义7.1.1 矩阵函数的幂级数表示矩阵函数的幂级数表示幂幂级级数数的的能能够够展展开开为为一一元元函函数数设设zzfCAnn)(, 定义定义7.1.1 0)(kkkzczf即即记记为为为

2、为矩矩阵阵函函数数的的和和定定义义则则将将收收敛敛矩矩阵阵幂幂级级数数时时的的谱谱半半径径当当矩矩阵阵径径为为并并且且该该幂幂级级数数的的收收敛敛半半),(,)(.0AfAcRAARkkk 0)(kkkAcAf时有时有因为当因为当 | z nzznzze!1! 2112 1253)!12(1)1(! 51! 31sinnnznzzzz nnznzzz242)!2(1)1(! 41! 211cos矩矩阵阵幂幂级级数数对对任任意意可可知知由由推推论论,2 . 3 . 6nnCA 1253)!12(1)1(! 51! 31nnAnAAA nnAnAAI242)!2(1)1(! 41! 21即即他们的

3、和分别记为他们的和分别记为都是收敛的都是收敛的,cos,sin,.AAeA nAAnAAIe!1! 212 1253)!12(1)1(! 51! 31sinnnAnAAAA nnAnAAIA242)!2(1)1(! 41! 21cos.cos,sin,为为矩矩阵阵三三角角函函数数为为矩矩阵阵指指数数函函数数称称AAeA nAnAAI!1! 212定理定理7.1.1则则如如果果设设,BAABCAnn AAAAeeiAeeAAiAeiAiAiAiAiAsin)sin(cos)cos()(21sin)(21cossincosBAABBAeeeee 的定义，可得的定义，可得和和由由AAeAcossin

4、,推论推论 7.1.1则则设设,nnCA ;)(,)1(1AAAAAAeeIeeee .)(,)2(mAmAeem 则则为为整整数数设设定理定理7.1.2则则如如果果设设,BAABCBAnn ;cossin)1(22IAA 则则如如果果,)2(BAAB AAABABABAAAABABABA22sincos2cossinsincoscos)cos(cossin22sinsincoscossin)sin(7.1.2 矩阵函数的另一种定义矩阵函数的另一种定义设矩阵设矩阵A的最小多项式为的最小多项式为)16. 1 . 7()()()()(2121kmkmmm 如如果果对对任任意意函函数数个个互互异异特

5、特征征值值的的为为其其中中),(.,21zfkAk kifffimiii, 2 , 1, )(,),(),()1( .)()(), 2 , 1)(,),(),(,)()(,)1(上上的的值值的的谱谱在在为为并并称称有有定定义义的的谱谱在在则则称称函函数数存存在在AAzfkifffAAzfimiii .)()()()()(,)()(,212121上具有相同的值上具有相同的值谱谱的的在在和和的充分必要条件是的充分必要条件是则则是两个多项式是两个多项式和和设设AAppApApppCAnn 定理定理7.1.3 定义定义7.1.2满足满足如果存在多项式如果存在多项式上有定义上有定义的谱的谱在在数数函函的

6、最小多项式为的最小多项式为设矩阵设矩阵)(,)()(),16. 1 . 7( pAAzfCAnn 1, 2 , 1, 2 , 1),()()()( iijijmjkifp 则定义矩阵函数则定义矩阵函数 f (A)为为)()(ApAf 给给定定一一组组数数个个正正整整数数且且是是个个互互异异数数是是设设.,12121 kiikkmmkmmmk 定理定理7.1.4kifffimiii, 2 , 1,1,1 ,0, 使使得得的的多多项项式式则则存存在在次次数数小小于于)( pm)20. 1 . 7(1, 1 , 0, 1,)(,)( ijiijmjkifp .)()20. 1 . 7(插插值值多多项

7、项式式称称为为的的多多项项式式通通常常把把满满足足条条件件Hermitep 则则有有定定义义上上的的谱谱在在如如果果函函数数是是一一个个块块对对角角矩矩阵阵设设矩矩阵阵,)()().,(1AAzfAAdiagACAsnn 定理定理7.1.5)(,),()(1sAfAfdiagAf 定理定理7.1.6则则上有定义上有定义的谱的谱在在并且函数并且函数使得使得如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵设设,)()(,1AAzfPAPBPCBAnn 1)()( PAPfBf其中其中 )()(! 11)()()!1(1)(! 11)()()1(iiiiniiiiffffnffJfi 且且(7.1.25)给出的矩阵

8、函数给出的矩阵函数f (A)与与 A的的Jordan标准形标准形 J中中Jordan块的排列次序及变换矩阵块的排列次序及变换矩阵P 的选取均无关的选取均无关。则则上上有有定定义义的的谱谱在在若若函函数数标标准准形形为为的的设设矩矩阵阵,)()(),13. 1 . 7(AAzfJordanCAnn 定理定理7.1.7)25. 1 . 7()(,),()()(111 PJfJfPdiagPJPfAfs).(,)(),()(,)()(,2121nnnnfffzfAAzfCA 为为的特征值的特征值则则上有定义上有定义的谱的谱在在函数函数的特征值为的特征值为设矩阵设矩阵 定理定理 7.2

9、 矩阵值函数矩阵值函数7.2.1 7.2.1 矩阵值函数矩阵值函数7.2.2 7.2.2 矩阵值函数的分析运算矩阵值函数的分析运算7.2.1 矩阵值函数矩阵值函数 定义定义7.2.1矩矩阵阵则则上上的的实实函函数数定定义义在在区区间间都都是是设设nmbanjmixaij ,),(), 2 , 1, 2 , 1)(nmmnmmnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxA )()()()()()()()()()(212222111211称为定义在称为定义在(a,b)上的上的矩阵值函数矩阵值函数。 特别地，当特别地，当n = 1时，得到时，得到向量值函数向量值函数。通常用通常用 等形式表示等形式表示

10、。)(x定义定义7.2.2 区间区间(a,b)上上 mn 矩阵值函数矩阵值函数 A(x)不恒等于不恒等于零的子式的最高阶数称为零的子式的最高阶数称为A(x)的的秩秩，记为，记为rank (A(x) )。特别地，如果特别地，如果A(x)是区间是区间(a,b)上上 n 阶矩阵值函数，并阶矩阵值函数，并且且rank( A(x) ) = n，则称，则称A(x)为为满秩满秩的的。 定义定义7.2.3都有都有对任何对任何使得使得阶矩阵值函数阶矩阵值函数如果存在如果存在函数函数阶矩阵值阶矩阵值上上是区间是区间设设),(),()(,),()()(baxxbxBnnbaxaxAijij IxAxBxBxA )(

11、)()()(则称则称 A(x)在在(a,b)上上可逆可逆，并称，并称 B(x)为为 A(x)的逆矩阵，的逆矩阵，记为记为A-1(x) 。定理定理7.2.1 n 阶矩阵值函数阶矩阵值函数 A(x)在区间在区间(a,b)上可逆的上可逆的充分必要条件是充分必要条件是| A(x)|在在(a,b)上处处不为零，并且上处处不为零，并且)()(1)(1xAadjxAxA 其中其中 )()()()()()()()()()(212221212111xAxAxAxAxAxAxAxAxAxAadjnnnnnn是是 A(x)的伴随矩阵值函数，的伴随矩阵值函数， Aij(x)是是A(x)中元素中元素aij (x)的的代

12、数余子式。代数余子式。7.2.2 矩阵值函数的分析运算矩阵值函数的分析运算 定义定义7.2.4即即处有极限处有极限在在的所有元素的所有元素如果如果矩阵值函数矩阵值函数阶阶上的上的是区间是区间设设,),()()(,),()()(0baxxaxAnmbaxaxAijij ), 1, 1()(lim0njmiaxaijijxx 记记为为处处有有极极限限在在则则称称为为固固定定常常数数其其中中,)(,0 xxxAaij AxAxx )(lim0.)(nmijRaA 其其中中), 1, 1()()(lim00njmixaxaijijxx ).()(lim,)(000 xAxAxxxAxx 且且记记为为处

13、处连连续续在在则则称称则则并并且且数数矩矩阵阵值值函函上上的的是是区区间间如如果果,)(lim,)(lim),(,),()(),(000BxBAxAbaxnmbaxBxAxxxx ;)()(lim)1(0BAxBxAxx .)(lim)2(0kAxkAxx 则则并且并且矩阵值函数矩阵值函数上的上的是区间是区间矩阵值函数矩阵值函数上的上的是区间是区间若若,)(lim,)(lim),(,),()(,),()(000BxBAxAbaxqnbaxBnmbaxAxxxx 即即处处连连续续在在的的所所有有元元素素如如果果,)()(0 xxxaxAij .)()(lim0ABxBxAxx 定义定义7.2.5

14、并且并且可导可导内内或在或在处处在在则称矩阵值函数则称矩阵值函数导导可可内内或在或在处处在点在点的所有元素的所有元素如果如果阵值函数阵值函数矩矩上的上的是区间是区间设设,),()(,),(),(), 1, 1)()(.),()()(00baxxxAbabaxxnjmixaxAnmbaxaxAijij )()()(000 xadxxdAxAijxx .)(,), 2 , 1, 2 , 1)()(,.)(000处处解解析析在在则则称称矩矩阵阵值值函函数数的的解解析析函函数数处处都都是是元元素素的的所所有有若若特特别别地地处处的的导导数数在在称称为为xxxAxxnjmixaxAxxxAij .),(

15、)(,),()(上上的的解解析析矩矩阵阵值值函函数数区区间间为为则则称称内内任任一一点点都都解解析析在在区区间间如如果果baxAbaxA矩阵值函数的导数运算具有下列性质矩阵值函数的导数运算具有下列性质：; 0)()()1( dxxdAxA条件是条件是是常数矩阵的充分必要是常数矩阵的充分必要;)()()()()2(dxxdBdxxdAxBxAdxd ;)()()()()()()3(dxxdAxkxAdxxdkxAxkdxd .)()()()()()()4(dxxdCxAxCdxxdAxCxAdxd 则则的的可可微微函函数数是是如如果果,)()5(ttfx dxxdAtftfdxxdAxAdtd)

16、()()()()( 因为因为矩阵乘法没有交换律矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数，一般地，对正整数 m1和可导的和可导的 n 阶矩阵值函数阶矩阵值函数 A(x)dxxdAxAmxAdxdmm)()()(1 定理定理7.2.2 如果如果 n 阶矩阵值函数阶矩阵值函数 A(x)在在(a,b)上可逆且上可逆且 可导，则可导，则)()()()(111xAdxxdAxAdxxdA 定义定义7.2.6并称并称上可积上可积在在则称矩阵值函数则称矩阵值函数上可积上可积在区间在区间的所有元素的所有元素如果如果阵值函数阵值函数矩矩上的上的是区间是区间设设,)(,), 1, 1)()(.,)()(baxAbanj

17、mixaxAnmbaxaxAijij baijbadxxadxxA)()( 为为 A(x)在在a,b上的上的积分积分。矩阵值函数的积分具有如下性质：矩阵值函数的积分具有如下性质：;)()()()()1( bababadxxBdxxAdxxBxA;)()(,)2( babadxxAkdxxkARk有有对常数对常数 (3) 对常数矩阵对常数矩阵 A和和C，有，有CdxxBAdxCxABbaba)()( (4) 如果矩阵值函数如果矩阵值函数 A(x)在在a,b上连续，则上连续，则)()(xAdttAdxdxa (5) 如果矩阵值函数如果矩阵值函数 A(x)在在a,b上连续，则上连续，则)()()(a

18、AbAdxxAba 定义定义7.2.7令令的的多多元元函函数数是是可可微微的的作作为为的的所所有有元元素素函函数数矩矩阵阵值值的的是是设设.), 1, 1)()(,)()(qpijqpijRXnjmiXfXFnmRXXfxF )4 . 2 . 7()()(212222111211 pqppqqnqmpijxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFdXXdF.)()(), 1, 1()(的导数的导数对对为为则称则称其中其中XXFdXXdFqlpkxXfxFklijkl 矩阵值函数的导数具有如下性质：矩阵值函数的导数具有如下性质：则则矩矩阵阵值值函函数数的的都都是是设设,)(),(nmRXXGxFq

19、p ;)()()()()1(dXXdGdXXdFXGXFdXd .)()(,)2(dXXdFkXkFdXdk 有有对对常常数数qpijxfdXdf 的的导导数数为为向向量量对对则则的的可可微微函函数数是是向向量量如如果果xfRxxffn,)( nxfxfdxdf1的的导导数数为为对对矩矩阵阵则则微微的的的的多多元元函函数数是是可可作作为为如如果果XfRXXffqp,)( 7.3 7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用矩阵值函数在微分方程组中的应用) 1 . 3 . 7()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(221122222121211212111

20、1tftxtatxtatxtadtdxtftxtatxtatxtadtdxtftxtatxtatxtadtdxnnnnnnnnnnn一阶线性微分方程组 可以表示成函数与向量值函数引进矩阵值的未知函数是知函数的已都是其中) 1 . 3 . 7( ,.), 2 , 1)(,), 2 , 1)(), 2 , 1,)(tnitxtnitfnjitaiiij)2 . 3 . 7()()()()(tftxtAdttdx其中)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatAnnnnnn,)()()()(21txtxtxtxn) 3 . 3 . 7()()

21、()()(21tftftftfn方程组(7.3.1)的初始条件)4 . 3 . 7()(,)(,)(0020021001nnxtxxtxxtx可以表示成)5 . 3 . 7(),()(0201000Tnxxxxtx定理定理7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组)6 . 3 . 7()(tAxdtdx的解为满足初始条件00)(xtx)7 . 3 . 7()(0)(0 xetxttA定义定义7.3.1 设 A是 n 阶常数矩阵，如果对任意的 t0和 x0，初值问题)8 . 3 . 7()()(00 xtxtAxdtdx.)(, 0)(lim)(的解是渐近稳定的则称微分方程组满足的解tA

22、xdtdxtxtxt定理定理7.3.2 对任意的 t0和 x0，初值问题(7.3.8)的解 x(t) 渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A的特征值都有负实部。定义定义7.3.2 设 A是 n 阶矩阵，如果 A的特征值都有负实部，则称 A为稳定矩阵稳定矩阵。定理定理7.3.3 设 A是 n 阶常数矩阵，则微分方程组)9 . 3 . 7()()(tftAxdtdx的解为满足初始条件00)(xtx)10. 3 . 7()()(00)(0)(dfexetxtttAttA7.47.4* * 特征对的灵敏度分析特征对的灵敏度分析 定理定理7.4.1并且变量的解析函数个复原点的某个领域内是在如果复函数,), 2

23、 , 1(),(11nmCmifnmnmi0|),(),(), 2 , 1(0)0 , 0(), 1(0), 1(011njmimmijiffmif则方程组mifnmi, 2 , 1, 0),(11. 0,0), 2 , 1)(,(111mnniinmigC有时并且当唯一的解析解的原点的某个领域内有在并且变量的解析函数个实原点的某个领域内是在如果实值函数,), 2 , 1(),(11nmRmifnmnmi 定理定理7.4.20|),(),(), 2 , 1(0)0 , 0(), 1(0), 1(011njmimmijiffmif则方程组mifnmi, 2 , 1, 0),(11. 0,0),

24、2 , 1)(,(111mnniinmigR有时并且当唯一的解析解的原点的某个领域内有在证明证明使得则存在矩阵的单位特征向量特征值对应于是的一个单特征值是因为)1(2111,)0(,)0(nnCXAxA)2 . 4 . 7(,21XxX 是非奇异矩阵，并且)3 . 4 . 7()(,00)0(221211AAXAX令)4 . 4 . 7(,)(211YzXYT则其中,)1(21nnnCYCz)5 . 4 . 7(IXYT 定理定理7.4.3则并且的右和左特征向量是对应于特征值值的一个单特征是内的解析矩阵值函数域的原点的某个领是设, 1, 1,)0(,)0()(,11211111xyxyxANC

25、CcACcTmnnm;)(,)(),()() 1 (11011cNCcccAm并且内的解析矩阵值函数原点的某个领域的是使得存在一个单特征值.)0(,)0(,)()()()()2(11110111yyxxNcycxccA且数内的解析向量值函可定义为和左特征向量的右特征向量对应于单特征值于是所以数外是唯一的常征向量除相差一个非零为对应于单特征值的特因并且满足从而.,.)0(1)(1111111111yzzAzxzeXzTTTT)6 . 4 . 7(,)(211YyXYT由(7.4.3)和(7.4.6)得)7 . 4 . 7()(,00)0(22121AAXAYT)8 . 4 . 7()(,)(,)

26、()()()()()(1211122211211nTTCcaCcacAcacacaXcAYcA令)9 . 4 . 7()()()()(),(,),(1211222111zcazzIcacAcaczfczfTTn.),(111nTnCz其中),1, 2 , 1)(0 , 0()9 . 4 . 7()7 . 4 . 7(,),(,),(),0(111nifczfczfNcCziTnn知并且由是解析的和对0)det(|),(),(12001111IAffcznn由定理7.4.1知，方程组)10. 4 . 7(1, 2 , 1, 0),(niczfi. 0)0(),()0()(0(1zczzNNCm并

27、且析解内有唯一的解的原点的某个领域在)11. 4 . 7()0(,)(1)()()()(1)(11211NcczczcacaczcAT令)12. 4 . 7()()(),()()()(21112111czXxcxczcacacT由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有)13. 4 . 7()0(),()()()(1111NccxccxcA内解析，并且满足在和可见，由)0()()()12. 4 . 7(111Ncxc)14. 4 . 7()0(,)0(1111xx的一个单特征值是分小使得对充可以假定领域的一个单特征值我们是充分小所以只要是矩阵元素的连续函数而矩阵的特征值的一个单特

28、征值是因为)()(),0()0()()(,)0(111121cAcNcNcAccA)15. 4 . 7()()()()(),(,),(2111221211TTTTnwcawIcacAwcacwgcwg.),(111nTnCwww其中),1, 2 , 1)(0 , 0()15. 4 . 7(),8 . 4 . 7(),7 . 4 . 7(,) 1, 2 , 1)(,(),0(,11nignicwgNcCwin知由析的是解和对显然0)det(|),(),(12001111IAwwggcznn由定理7.4.1知，方程组)16. 4 . 7(1, 2 , 1, 0),(nicwgi. 0)0(),()0()(0(2wcwwNNCm并且析解内有唯一的解的原点的某个领域在)17. 4 . 7()0(,)(1)()()()()(122111NccwcacwcacAcwTTT令)18. 4 . 7()()(),()()()(2112111cwYycycacwcacT由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18