信息论与编码-第五章

1、信息论与编码-信源编码 通信的实质是信息的传输。而高速度、高质量地传送信息是信息传输的基本问题。 将信源信息通过信道传送给信宿，怎样才能做到尽可能不失真而又快速呢？这就需要解决两个问题： 第一，在不失真或允许一定失真的条件下，如何用尽可能少的符号来传送信源信息； 第二，在信道受干扰的情况下，如何增加信号的抗干扰能力，同时又使得信息传输率最大。为了解决这两个问题，就要引入信源编码和信道编码。信息论与编码-信源编码 一般来说，提高抗干扰能力（降低失真或错误概率）往往是以降低信息传输率为代价的；反之，要提高信息传输率常常又会使抗干扰能力减弱。二者是有矛盾的。 然而在信息论的编码定理中，已从理论上证明

2、，至少存在某种最佳的编码或信息处理方法，能够解决上述矛盾，做到既可靠又有效地传输信息。这些结论对各种通信系统的设计和估价具有重大的理论指导意义。信息论与编码-信源编码 编码分为信源编码和信道编码， 信源编码又分为无失真和限失真。 由于这些定理都要求符号数很大才能使它的值接近所规定的值，因而这些定理被称为极限定理。 无失真信源编码定理为第一极限定理； 信道编码定理（包括离散和连续信道）称为第二极限定理； 限失真信编码定理称为第三极限定理。 信息论与编码-信源编码由于信源符号之间存在分布不均匀和相关性，使得信源存在冗余度，信源编码的主要任务就是减少冗余，提高编码效率。具体说，就是针对信源输出符号序

3、列的统计特性，寻找一定的方法把信源输出符号序列变换为最短的码字序列。信源编码的基本途径有两个，一是使序列中的各个符号尽可能地互相独立，即解除相关性；二是使编码中各个符号出现的概率尽可能地相等，即概率均匀化。 信息论与编码-信源编码 编码的定义编码的定义 编码实质上是对信源的原始符号按一定的数学规则进行的一种变换。 讨论无失真信源编码，可以不考虑干扰问题，所以它的数学描述比较简单。5.1 编码的定义编码的定义信源信源编码器编码器信道信道码表码表图图5-1 信源编码器示意图信源编码器示意图5.1 编码的定义编码的定义将信源消息分成若干组，即符号序列将信源消息分成若干组，即符号序列xi， xi(xi

4、1xi2xilxiL)， xil A=a1，a2，ai，an每个符号序列每个符号序列xi依照固定码表映射成一个码字依照固定码表映射成一个码字yi， yi(yi1yi2yilyiLi)， yil B=b1，b2，bi，bm这样的码称为这样的码称为分组码分组码，有时也叫块码。只有，有时也叫块码。只有分组码才有对分组码才有对应的码表应的码表，而非分组码中则不存在码表。，而非分组码中则不存在码表。 信息论与编码-信源编码 输出的码符号序列称为码字，长度 称为码字长度或简称码长。 编码就是从信源符号到码符号的一种映射。 若要实现无失真编码，则这种映射必须是一一对应的，并且是可逆的。 码字长度有无限长（卷

5、积码）、定长和变长（分组码）。 码元符号通常使用二进制来表示Li信息论与编码-信源编码 信源符号取值概率码 表码1码2a1a2a3a4p(a1)p(a2)p(a3)p(a4)00011011001001111变长码与定长码信息论与编码-信源编码 信源符号信源符号概率码1码2a1a2a3a41/21/41/81/801100110100001码的不同属性码3码411010010001010010001信息论与编码-信源编码即时码（非延长码）非即时码唯一可译码非唯一可译码非奇异码奇异码分组码非分组码码码符号的分类码符号的分类：下图是一个码分类图信息论与编码-信源编码下面，我们给出这些码的定义。1.

6、 二元码若码符号集为 ，所有码字都是一些二元序列，则称为二元码。二元码是数字通信和计算机系统中最常用的一种码。2. 等长码：若一组码中所有码字的码长都相同，即 ，则称为等长码。3. 变长码：若一组码组中所有码字的码长各不相同，则称为变长码。1 , 0X),2, 1(qilli信息论与编码-信源编码4. 非奇异码：若一组码中所有码字都不相同，则称为非奇异码。5. 奇异码：若一组码中有相同的码字，则称为奇异码。6. 唯一可译码：若码的任意一串有限长的码符号序列只能唯一地被译成所对应的信源符号序列，则此码称为唯一可译码，否则就称为非唯一可译码。信息论与编码-信源编码例如0,10,11是一种唯一可译码

7、。因为任意一串有限长码序列，如100111000，只能被分割成 10，0，11，0，0。任何其他分割法都会产生一些非定义的码字。显然，奇异码不是唯一可译码，而非奇异码中有非唯一可译码和唯一可译码。上表中码3是唯一可译码，但码2不是唯一可译码。例如10000100是由码2的（10，0，0，01，00）产生的序列，译码时可有多种分法，如10，0，00，10，0，此时产生歧义。信息论与编码-信源编码7. 非即时码和即时码： 如果接收端收到一个完整的码字后，不能立即译码，还要等下一个码字开始接收后才能判断是否可以译码，这样的码叫做非即时码 如果收到一个完整的码字以后，就可以立即译码，则叫做即时码。即时

8、码要求任何一个码字都不是其他码字的前缀部分，也叫做异前缀码信息论与编码-信源编码上表中码3是非即时码，而码4是即时码。码4中只要收到符号1就表示该码字已完整，可以立即译码。即时码又称为非延长码，任意一个码字都不是其他码字的前缀部分，有时叫做异前缀码异前缀码。在延长码中，有的码是唯一可译的，主要取决于码的总体结构，如表中码3的延长码就是唯一可译的。信息论与编码-信源编码码树码树：即时码的一种简单构造方法是树图法。对给定码字的全体集合可以用码树来描述它。所谓树，就是既有根、枝，又有节点，如图所示。图中，最上端A为根节点，A、B、 C、D、E皆为节点，E为终端节点。 A、B、C、D为中间节点，中间节

9、点不安排码字，而只在终端节点安排码字.,21qWWWCABCD000E11111010010001信息论与编码-信源编码每个终端节点所对应的码字就是从根节点出发到终端节点走过的路径上所对应的符号组成。如图3.2中的终端节点E，走过的路径为ABCDE，所对应的码符号分别为0、0、0、1，则E对应的码字为0001。可以看出，按树图法构成的码一定满足即时码的定义（一一对应，非前缀码）。 从码树上可以得知，当第i阶的节点作为终端节点，且分配码字，则码字的码长为i。信息论与编码-信源编码 任一即时码都可以用树图法来表示。当码字长度给定后，用树图法安排的即时码不是唯一的。如图中，如果把左树枝安排为1，右树

10、枝安排为0，则得到不同的结果。对一个给定的码，画出其对应的树，如果有中间节点安排了码字，则该码一定不是即时码。每个节点上都有 个分支的树称为满树，否则为非满树。r5.1 编码的定义编码的定义 0 1 0 1 0 1二进制码树二进制码树 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 5.1 编码的定义编码的定义 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 20 1 20 1 2三进制码树三进制码树码树与码字对应关系图 树根树枝数节点终端节点节数非满树满树码字的起点码的进制数码字或码字的一部分码字码长变长码等长码信息论与编码-信源编码克拉夫特（Kr

11、aft）不等式 对于码符号为 的任意唯一可译码，其码字为 ，所对应的码长为 ，则必定满足克拉夫特不等式 反之，若码长满足上面的不等式，则一定存在具有这样码长的即时码。,21rxxxXqWWW,21qlll,2111qilir信息论与编码-信源编码注意：克拉夫特不等式只是说明唯一可译码是否存在，并不能作为唯一可译码的判据（可以排除，不能肯定）。如0，10，010，111满足克拉夫特不等式，但却不是唯一可译码。例题：设二进制码树中 ，对应的 ，由上述定理，可得 因此不存在满足这种码长的唯一可译码。可以用树码进行检查。),(4321xxxxX 3, 2, 2, 14321llll1892222232

12、2141ili例题：将各码字长度改为 由上述定理，可得 因此存在满足这种码长的唯一可译码。如（0，10，110，111）。可以用树码进行检查。 但0，10，010，111满足克拉夫特不等式，却不是唯一可译码。信息论与编码-信源编码122222332141ili3, 3, 2, 14321llll信息论与编码-信源编码 定长编码定理定长编码定理 前面已经说过，所谓信源编码，就是将信源符号序列变换成另一个序列（码字）。设信源输出符号序列长度为L，码字的长度为 ，编码的目的，就是要是信源的信息率最小，也就是说，要用最少的符号来代表信源。LK信息论与编码-信源编码在定长编码中，对每一个信源序列， 都是

13、定值，设等于K，我们的目的是寻找最小K值。要实现无失真的信源编码，要求信源符号 与码字是一一对应的，并求由码字组成的符号序列的逆变换也是唯一的（唯一可译码）。LK), 2 , 1(qiiX信息论与编码-信源编码定长编码定理定长编码定理：由L个符号组成的、每个符号熵为 的无记忆平稳信源符号序列 ，可用 个符号 （每个符号有m中可能值）进行定长编码。对任意 ，只要则当L足够大时，必可使译码差错小于)(XLHLXXX,21LKLKYYY,210, 0)(logXLLHmLK信息论与编码-信源编码反之，当时，译码差错一定是有限值，当L足够大时，译码几乎必定出错。2)(logXLLHmLK信息论与编码-

14、信源编码式中，左边是输出码字每符号所能载荷的最大信息量上述定理的条件可改写成上式大于号左边为KL 长码字所能携带的最大信息量，右边为L长信源序列携带的信息量。 XHLHmKLLXlogmLKLlog信息论与编码-信源编码所以等长编码定理告诉我们，只要码字传输的信息量大于信源序列携带的信息量，总可以实现几乎无失真的编码。条件是所取得符号数L足够大。 信息论与编码-信源编码例如，某信源有8种等概率符号，L1，信源序列熵达到最大值： H1(X)=log8=3bit/符号 即该信源符号肯定可以用3比特的信息率进行无失真的编码。这就是说，如果采用二进制符号作为码字输出符号，则用3个比特就可以表示一个符号

15、。信息论与编码-信源编码 当信源符号输出概率不相等时，如， p(xi)=.4,.18,.1,.1,.07,.06,.05,.04 则此时，H1(X)=2.55bit/符号因22.55=5.856，即若用2.55bit来表示，只有5.856种可能码字，还有部分符号没有对应的码字 这些符号一旦出现，被传输至接受端，就没有对应的码字译码，因而引起译码差错。所以定长编码一般都存在译码差错，只是差错大小不同。 当L足够大时，有些序列发生的概率很小，因此可使得译码差错达到足够小。 设 是信源序列的样本矢量， ，则共有 种样本 我们把它分成两个互补的集 和 集中的元素（样本矢量）有与之对应的不同码字 而集

16、中的元素没有对应的输出码字，因而会在译码时发生差错。信息论与编码-信源编码),(21LlixxxxX nilaaaax,21 LnACAACA信息论与编码-信源编码 如果允许一定的差错 ，则编码时只需对属于 中的 个样本矢量赋予相应的不同字码，即输出码字的总个数 只要大于 就可以了。 在这种编码方式下，差错概率 即为集 中元素发生的概率 , 此时要求 ， 因而 集中的样本都应是小概率事件。 当L则增大时虽然样本数也随着增多，但小概率事件的概率将更小，有望使 更小。AMKmMePCACAPCAPCACAP设差错概率为 ，信源序列的自方差为根据契比雪夫不等式，得：当 和 均为定值时，只要L足够大，

17、 可以小于任一整数 ，即信息论与编码-信源编码)(2XP22() ( )()iXEI xH X22)(LXP 2P22)(LX信息论与编码-信源编码此时要求： 只要 足够小，就可以几乎无差错地译码，当然代价是L变得更大。22)(XL 信息论与编码-信源编码令为码字最大平均符号信息量。定义编码效率为：最佳编码效率为mLKKLlog()()()()logLLLLLHXHXHXKKHXmL)()(XHXHLL信息论与编码-信源编码无失真信源编码定理从理论上阐明了编码效率接近于1的理想编码器的存在性，它使输出符号的信息率与信源熵之比接近于1，但要在实际中实现，则要求信源符号序列的L非常大进行统一编码才

18、行，这往往是不现实的。信息论与编码-信源编码例题：设离散无记忆信源概率空间为信源熵为自信息方差为04. 005. 006. 007. 01 . 01 . 018. 04 . 087654321xxxxxxxxPX符号/55. 2log)(812bitppXHiii信息论与编码-信源编码82. 7)()(log)(log)(2)(log)(log)(2)(log)(log)()()(812228181812222812222812222iiiiiiiiiiiiiiiiiiiXHpppXHppXHppXHpXHppXHppXHxIEX信息论与编码-信源编码对信源符号采用定长二元编码，要求编码效率

19、，无记忆信源有 ，因此可以得到如果要求译码错误概率 ，则%90)()(XHXHL%90)()(XHXH28. 0610872210108 . 9(）XL信息论与编码-信源编码由此可见，在对编码效率和译码错误概率的要求不是十分苛刻的情况下，就需要 个信源符号一起进行编码，这对存储和处理技术的要求太高，目前还无法实现。如果用3比特来对上述信源的8个符号进行定长二元编码，L=1，此时可实现译码无差错，但编码效率只有2.55/3=85%。因此，一般说来，当L有限时，高传输效率的定长码往往要引入一定的失真和译码错误。解决的办法是可以采用变长编码。810L信息论与编码-信源编码 变长编码定理变长编码定理在

20、变长编码中，码长是变化的。对同一信源，其即时码或唯一可译码可以有许多种。究竟哪一种好呢？从高速传输信息的观点来考虑，当然希望选择由短的码符号组成的码字，就是用码长来作为选择准则，为此我们引入码的平均长度。设信源为)(,),(,),(,2211qqxpxxpxxpxPX信息论与编码-信源编码编码后的码字为其码长分别为因为对唯一可译码来说，信源符号与码字是一一对应的，所以有则这个码的平均长度为它是每个信源符号平均需用的码元数。qWWW,21qlll,21), 2 , 1)()(qixpWpiiqiiilxpK1)(信息论与编码-信源编码 对某一信源来说，若有一个唯一可译码，其平均长度小于所有其它的

21、唯一可译码的平均长度，则该码称为紧致码，或称最佳码。 无失真变长信源编码的基本问题就是要找最佳码。信息论与编码-信源编码单个符号变长编码定理单个符号变长编码定理：若一离散无记忆信源的符号熵为H(X)，每个信源符号用m进制码元进行变长编码，一定存在一种无失真编码方法，其码字平均长度 满足下面的不等式K1log)(log)(mXHKmXH信息论与编码-信源编码离散平稳无记忆序列变长编码定理（香农第一离散平稳无记忆序列变长编码定理（香农第一定理）定理）：对于平均符号熵为 的离散平稳无记忆信源，必存在一种无失真信源编码方法，使平均信息率 满足下面的不等式其中， 为任意小正数。)(XLHRLLHRH）X

22、(信息论与编码-信源编码上面的两个定理实际上是一样的，可以由第一个推导出第二个。设用m进制码元做变长编码，序列长度为L个信源符号，则该序列所对应的码字的平均长度 满足下面的不等式而平均输出信息率为LK1log)(log)(mXLHKmXLHLLLmLKRLlog信息论与编码-信源编码故有当L足够大时，可使因此LmXHRXHLLlog)()(Lmlog)()(XHRXHLL信息论与编码-信源编码编码效率为剩余度（冗余度）为KXHL)(11LmXHXHKXHLLLlog)()()(信息论与编码-信源编码 用变长编码来达到相当高的编码效率，一般所要求的符号长度L可以比定长编码小得多。 编码效率的下界

23、： 例如用二进制，m=2，logm=1，仍用前面的例子，H（X）=2.55比特/符号，若要求 90%，则，LmXHXHKXHLLLlog)()()(428. 01, 9 . 0155. 255. 2LL信息论与编码-信源编码香农第一编码定理给出了码字的平均长度的下界和上界。但并不是说大于这上界不能构成唯一可译码，而是因为我们总是希望 尽可能短。定理说明当平均码长小于上界时，唯一可译码也存在。也就是说，定理给出的是最佳码的最短平均码长，并指出这个最短的平均码长与信源熵是有关的。LK信息论与编码-信源编码例题：设离散无记忆信源的概率空间为414321xxPX信息论与编码-信源编码其信源熵为若用二元定长编码（0，1）来构造一个即时码： ，这时平均码长为编码效率为符号/811. 034log434log41)(22bitXH1, 021xx信源符号二元码符号/1K811. 0)(KXH信息论与编码-信源编码输出的信息率为再对长度为2的信源序列进行变长编码，其即时码如下表所示：符号/811. 0bitR 序列序列概率即时码 序列序列概率即时码 9/16 0 3/16 110 3/16 10 1/16 11111xx21