线性代数与几何：3-6 空间直线及其方程

1、第六节 空间直线及其方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx

2、000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztyt

3、x例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和y轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置

4、关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例 4 4 求过点求过点)3

5、, 1 , 2(M且与直线且与直线12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程.解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角

6、角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 5 5 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpB

7、nAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角五. 空间两条直线共面的条件 设空间两条直线为则它们共面的充分必要条件是,:,:22222221111111pzznyymxxLpzznyymxxL0222111121212pnmpnmzzyyxx6平面束方程 设过 ， 的所有平面方程的集合称为由 ，确定的平面束方程。可表示为其中不相互平行）(0:0:2222211111DzCyBxADzCyBxA21120)()(22221111DzCyBxADzCyBxA., 不全为零例6 求过x+2y-z+1=0,2x-3y+z+1=0的交线且过点（1，1，1）的平

8、面方程。解：设所求平面为将点（1，1，1）代入得所求平面为0) 132() 12(zyxzyx3103，得取02-4z-11yx50) 132(3) 12(既zyxzyx例7 求从原点到直线的距离.解：先求过原点且以直线方向为法向量的平面 x+2y+3z=0 再求此平面与直线的交点. 将直线方程化为参数形式代入x+2y+3z=0，可解得t=-3/7代入参数形式,可解得交点(4/7,1/7,-2/7)交点到原点距离= ,312111:zyxLtztytx31;21;1721)72()71()74(222空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数

9、方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）五、小结思考题思考题 在直线方程在直线方程pznymx 6224中，中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行都平行.思考题解答思考题解答,6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故当故当 时结论成立时结论成立, 0 m6 p, 0 n一、一、 填空题：填空题：1 1、 通过点通过点)3,1,4( 且平行于直线且平

10、行于直线5123 zyx的直线方程为的直线方程为_；2 2、 直线直线 012309335zyxzyx与直线与直线 0188302322zyxzyx的夹角的余弦为的夹角的余弦为_；3 3、 直线直线 003zyxzyx和平面和平面01 zyx在平在平面面012 zyx上的夹角为上的夹角为_；4 4、点点)0,2,1( 在在平平面面012 zyx上上的的投投影影为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、 直直线线723zyx 和和平平面面8723 zyx的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 直直线线43123

11、2 zyx和和平平面面3 zyx的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 用用 对对 称称 式式 方方 程程 及及 参参 数数 方方 程程 表表 示示 直直 线线L： 421zyxzyx . .三三、 求求过过点点)2,1,3( 且且通通过过直直线线12354zyx 的的平平面面方方程程 . .四、四、 求直线求直线 0923042zyxzyx在平面在平面14 zyx上上的投影直线的方程的投影直线的方程 . .五、五、 求与已知直线求与已知直线1L：13523zyx 及及2L： 147510zyx 都相交且和都相交且和3L： 137182 zyx平行的直线平行的直线

12、L . .六、设一平面垂直于平面六、设一平面垂直于平面0 z, ,并通过从点并通过从点)1,1,1( A 到直线到直线L： 001xzy的垂线， 求此平面的方程的垂线， 求此平面的方程 . .七、七、 求两直线求两直线1L：1101zyx 和和2L：0212 zyx的公垂线的公垂线L的方程，及公垂线段的长的方程，及公垂线段的长 . .八、求过点八、求过点)4,0,1( 且平行于平面且平行于平面01043 zyx又与直线又与直线31311zyx 相交相交的直线方程的直线方程 . .九、九、 求点求点)2,1,3( P到直线到直线 04201zyxzyx的距的距离离 . .一、一、1 1、531124 zyx； 2 2、0 0； 3 3、0 0； 4 4、)32,32,35( ； 5 5、垂直；、垂直； 6 6、直线在平面上、直线在平面上. .二、二、311121