高等代数(第3版)：第四章线性方程组

1、 坐标变换矩阵坐标变换矩阵在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系转轴标系转轴 (反时针方向转轴反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变，那么平面直角坐标变换的公式为换的公式为) 1 (,cossin,sincosyxyyxx其中其中 为为 x 轴与轴与 x 轴的夹角轴的夹角.显然，新旧坐标之显然，新旧坐标之2 2 矩阵矩阵)2(cossinsincos表示出来表示出来. 通常，矩阵通常，矩阵 (2) 称为坐标变换称为坐标变换 (1) 的矩阵的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式有公式)3(

2、.,333231232221131211zayaxazzayaxayzayaxax间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的如下间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的如下同样，矩阵同样，矩阵)4(333231232221131211aaaaaaaaa就称为坐标变换就称为坐标变换 (3) 的矩阵的矩阵. 二次曲线的矩阵二次曲线的矩阵二次曲线的一般方程为二次曲线的一般方程为ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 . (5)(5) 的左端可以用表的左端可以用表xy1xy1abdbcedef来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应来表示，其中每一个数就是它所在的行

3、和列所对应的的 x , y 或或 1 的乘积的系数，而的乘积的系数，而 (5) 的左端就是按这的左端就是按这样的约定所形成的项的和样的约定所形成的项的和. 换句话说，只要规定了换句话说，只要规定了x , y , 1 的次序，二次方程的次序，二次方程 (5) 的左端就可以简单地的左端就可以简单地用矩阵用矩阵)6(fedecbdba来表示来表示. 通常，通常，(6) 称为二次曲线称为二次曲线 (5) 的矩阵的矩阵.ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 xy1xy1abdbcedef从方程到矩阵的过程如下：从方程到矩阵的过程如下：fedecbdba 经济中的矩阵经

4、济中的矩阵在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有有 s 个产地个产地 A1 , A2 , , As 和和 n 个销地个销地B1 , B2 ,Bn ,那么一个调运方案就可用一个矩阵那么一个调运方案就可用一个矩阵snssnnaaaaaaaaa112222111211来表示，其中来表示，其中 aij 表示产地表示产地 Ai 运到销地运到销地 Bj 的数量的数量. 向量是特殊的矩阵向量是特殊的矩阵n 维向量也可以看成是矩阵的特殊情形维向量也可以看成是矩阵的特殊情形.n

5、维维行向量就是行向量就是 1 n 矩阵矩阵.n 维列向量就是维列向量就是n 1 矩阵矩阵.以后我们用大写的拉丁字母以后我们用大写的拉丁字母 A，B，或者，或者( aij ) , ( bij ) , 来代表矩阵来代表矩阵.有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把把 s n 矩阵写成矩阵写成 Asn , Bsn , , 或者或者( aij )sn , ( bij )sn , ( 注意矩阵的符号与行列式的符号的区别注意矩阵的符号与行列式的符号的区别 ) .设设 A = ( aij )mn , B = ( bij )lk , 如果如果 m = l , n =

6、k ,且且 aij = bij ，对，对 i = 1, 2, , m; j = 1 ,2 , n 都成立都成立,则则，记为，记为 .只有只有两个完全一样的才叫相等两个完全一样的才叫相等.现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系矩阵之间一些最基本的关系. 下面要定义的运算是下面要定义的运算是矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置置.为了确定起见，我们取定一个数域为了确定起见，我们取定一个数域 P，以下所，以下所讨论的矩阵全由数域讨论的矩阵全由数域 P 中的数组成的中的数组成的. ,

7、)(212222111211snssnnijaaaaaaaaaaAsnssnnijbbbbbbbbbbB212222111211)(snijijsnijbacC)()(snsnssssnnnnbababababababababa221122222221211112121111 , 在不引起含混的时候，可简单地记为在不引起含混的时候，可简单地记为 O .snssnnaaaaaaaaa212222111211 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ; A + B = B + A； A + O = A； A + ( - A ) = O； A - B = A + (-B ) .

8、)6(.12211nkkjiknjinjijiijbabababac ,431102311014,20121301BA 已知已知求求 AB. 因为因为 A 是是 24 矩阵矩阵, B 是是 43 矩阵矩阵, A 定义有定义有其乘积其乘积 AB = C 是一个是一个 23 矩阵矩阵, 由矩阵乘积的由矩阵乘积的的列数等于的列数等于 B 的行数的行数, 所以矩阵所以矩阵 A 与与 B 可以相乘可以相乘,43110231101420121301ABC9219911 求矩阵求矩阵63422142B,A的乘积的乘积 AB 及及 BA. 由定义有由定义有63422142AB21426342BA,168321

9、6.0000 线性方程组的矩阵形式，设有方程组线性方程组的矩阵形式，设有方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若令若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbB则上述线性方程组可写成如下矩阵形式则上述线性方程组可写成如下矩阵形式: OkmAmp=Okp , AmpOpn=Omn ; ( B + C ) A = BA + CA; ( AB )C = A( BC ); A( B + C ) = AB + AC,只证结合律只证结合律设设 A = ( aij )sn , B = ( b

10、jk )nm , C = ( ckl )mr ,下面我们证明下面我们证明( AB ) C = A ( BC ) .令令 V = AB = ( vik )sm , W = BC = ( wjl )nr ,其中其中njjkijikmksibav1, ), 2 , 1;, 2 , 1(mkkljkjlrlnjcbw1. ), 2 , 1;, 2 , 1(因为因为( AB ) C = VC中中 VC 的第的第 i 行第行第 l 列元素为列元素为mkklikcv1klnjjkijmkcba11njkljkijmkcba11)7(,而而A( BC ) = AW中中 AW 的第的第 i 行第行第 l 列元素

11、为列元素为njjlijwa1mkkljknjijcba11mkkljkijnjcba11)8(,由于双重连加号可以交换次序，所以由于双重连加号可以交换次序，所以 (7) 与与 (8) 的的结果是一样的，这就证明了结合律结果是一样的，这就证明了结合律. 100010001 如果如果 A 是是 n n 级级矩阵矩阵, 那么那么, AA 有定义有定义, AAA个m也有意义也有意义, 因此有下述定义因此有下述定义: AmmAAAA个另外还规定，另外还规定， 0 = E. 设设 A 为方阵为方阵, k, l 为正整数为正整数, 则则级矩阵级矩阵 A 与与 B , 一般来说一般来说 (AB)k AkBk

12、.又因矩阵乘法一般不满足交换律又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个所以对于两个 n AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl .snssnnkakakakakakakakaka212222111211( k + l ) A = kA + lA , k (A + B ) = kA + kB , k ( lA ) = ( kl ) A , 1 A = A , k ( AB ) = ( kA ) B = A ( kB ) . kkkkE000000设设 A 是一是一 n n 矩阵，则有矩阵，则有 kA = ( kE ) A = A ( kE ) .这个式子说明，这个式子说明，可以证

13、明：如果一个可以证明：如果一个 n 级矩阵与所级矩阵与所有有 n 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵是数量矩阵. 关于数量矩阵，还有以下运算性质：关于数量矩阵，还有以下运算性质：kE + lE = ( k + l ) E ,( kE ) ( lE ) = ( kl ) E ,这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法加法与乘法. ,212222111211snssnnaaaaaaaaaA.212221212111snnnssaaaaaaaaaA矩阵矩阵 A 的转置矩阵也可记为的转置矩

14、阵也可记为 AT . 利用下列模型求矩阵的转置矩阵利用下列模型求矩阵的转置矩阵.( AT )T = A ,( A + B )T = AT + BT ,( AB )T = BTAT ,( k A )T = k AT .,B,A102324171231102 设设102324171231102AB 因为因为验证验证 ( AB )T = BTAT .,1013173140所以所以.AB1031314170)(T,131027241,213012TTBA213012131027241TTBA.1031314170又又故故 ( AB )T = BTAT . ， (1)这个定理就是第二章第八节的这个定理就

15、是第二章第八节的用数学归纳法，定理用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的不难推广到多个因子的情形，即有情形，即有 | | = | | | | | | . 显然，一显然，一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于是它的秩等于 n . 关于矩阵乘积的秩，我们有：关于矩阵乘积的秩，我们有： (2)为了证明为了证明 (2)，只需要证明，只需要证明秩秩( AB ) 秩秩( A ) 与与 秩秩( AB ) 秩秩( B )同时成立即同时成立即可可. 现在来分别证明这两个不等式现在来分别证明这两个不等式.设设.,212222111211212222111211msmms

16、snmnnmmbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA令令 B1 , B2 , , Bm 表示表示 B 的行向量，的行向量，C1 , C2 , , Cn表示表示 AB 的行向量的行向量. 由计算可知，由计算可知，Ci 的第的第 j 个分量个分量和和 ai1B1 + ai2B2 + + aimBm 的第的第 j 个分量都等于个分量都等于mkkjikba1,因而因而Ci = ai1B1 + ai2B2 + + aimBm (i = 1,2, , n),即矩阵即矩阵 AB 的行向量组的行向量组 C1 , C2 , Cn 可经可经 B 的行向的行向量组线性表出量组线性表出. 所以所以 AB 的秩不能超

17、过的秩不能超过 B 的秩，即的秩，即秩秩( AB ) 秩秩( B ) .同样，令同样，令 A1 , A2 , , Am 表示表示 A 的列向量，的列向量，D1 , D2 , Ds 表示表示 AB 的列向量的列向量. 由计算可知，由计算可知，Di = b1iA1 + b2iA2 + + bmi Am (i = 1,2, , s).这个式子表明，矩阵这个式子表明，矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵的列向量组可以经矩阵 A的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，者的秩，这就是说，秩秩( AB ) 秩秩( A ) .用数学归纳法，定理用数

18、学归纳法，定理 2 不难推广到多个因子的不难推广到多个因子的情形，即有情形，即有 tj1min , (1) 设设 B 和和 C 都是都是 A 的逆矩阵，则由定义的逆矩阵，则由定义有有 AB = BA = E，AC = CA = E，于是于是B = BE = B( AC )= ( BA )C = EC = C . 所以逆矩阵唯一所以逆矩阵唯一.现在的问题是：在什么条件下矩阵现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆是可逆的？的？ 如果如果 A 可逆，怎样求可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随为此先引入伴随矩阵的概念矩阵的概念. nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nnnn

19、nnAAAAAAAAAA212221212111*由行列式按一行由行列式按一行(列列)展开的公式立即得出：展开的公式立即得出：其中其中 d = | A | .如果如果 d = | A | 0，那么由，那么由 (2) 得得(2).11*EAAdAdA(3) . )0|(1*1AdAdA当当 d = | A | 0，由，由 (3) 可知，可知，A 可逆可逆且且)4(.1*1AdA反过来，如果反过来，如果 A 可逆，那么有可逆，那么有 A-1 使使AA-1 = E .两边取行列式，得两边取行列式，得| AA-1 | = | A | | A-1 | = | E | = 1 ,因而因而 | A | 0，

20、即，即 A 非退化非退化 . 定理定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式也给出了求逆矩阵的公式 (4) ，用公式，用公式 (4) 求逆矩求逆矩阵的方法叫阵的方法叫.下面利用伴随矩阵法求逆阵下面利用伴随矩阵法求逆阵. 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵325121321)2(2A213011322(1)1A5341172332124131) 3(3A;AkkA111)(2)设设 A, B, Ai (i =1, 2, , m) 为为 n 级可逆方阵，级可逆方阵，k 为非零常数，则为非零常数，则 A-1, kA, AB,

21、 A1A2Am , AT 也都是可逆矩阵，且也都是可逆矩阵，且(1) (A-1)-1 = A;(3) (AB)-1 = B-1A-1, (A1A2Am)-1 = Am-1A2-1A1-1 ; （4） (AT)-1 = (A-1)T ;（5）;|A|A11 （6 6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数为正整数. 我们只证（）和（）我们只证（）和（）.（）（） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1= E.（）（） AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E, 所以所以 (AT)-1 = (A-1)T .利用矩阵的逆，可以给出克

22、拉默法则的另一种利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法推导法.线性方程组线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,可以写成可以写成AX = B . (6)如果如果 | A | 0，那么，那么 A 可逆可逆.用用X = A-1B代入代入 (6)，得恒等式，得恒等式 A( A-1B ) = B，这就是说，这就是说 A-1B 是一解是一解.如果如果X = C是是 (6) 的一个解，那么由的一个解，那么由AC = B得得A-1( AC ) = A-1B ，即即 C = A-1B .这就是说，解这就是说，解 X = A-1B

23、 是唯一的是唯一的. 用用 A-1 的公式的公式 (4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有：联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有： 令令B = PA ,由由秩秩( B ) 秩秩( A )；但是由但是由A = P -1B，又有又有秩秩( A ) 秩秩( B ) .所以所以秩秩( A ) = 秩秩( B ) = 秩秩( PA ) .另一个式子可以同样地证明另一个式子可以同样地证明. 设方阵设方阵 A 满足满足移项移项 得得OEAA22证明证明EAA2及都可逆，并求都可逆，并求.)2(11 EAA及 变形所给的等式，得变形所

24、给的等式，得,22OEAA,22EAA,2)(EEAA分解因式分解因式 得得, 02|2| )(|nEEAA, 02| )(| |nEAAEAA两边取行列式得两边取行列式得由方阵的行列式的性质得由方阵的行列式的性质得所以所以A故故, 0|A可逆可逆.又因为又因为,2)(EEAA,2EEAA由逆矩阵的定义知由逆矩阵的定义知.EAA21现再证现再证,22OEAA,22AEA, 0|2|22AAEA可逆可逆.EA 2变形变形 得得移项移项 得得两边取行列式得两边取行列式得2121)()2(AAEA在等式在等式22AEA两边左乘两边左乘2A得得,)2(222EAAEAA再两边右乘再两边右乘1)2( E

25、A得得22EA.AE43所以所以 可逆可逆.EA 2 设设,A321011324求求 B. 已知方程变形已知方程变形 得得B,AAB2,2ABAB,)2(ABEA两边左乘两边左乘,)2(1 EA得得分解因式分解因式 得得AEAB1)2()22()2(1EEAEA,)2(21EAE而而,1210113222 EA.9122692683)2(21EAEB1210113222EA用伴随矩阵法求逆，用伴随矩阵法求逆， 得得.461351341)2(1EA所以所以.C,B,A021102341010100001100001010 ,1000010101A 解下列矩阵方程解下列矩阵方程AXB = C 其中

26、其中 由已知易得由已知易得 X = A-1CB-1 , 下面求下面求 A 和和 B 的逆阵的逆阵.010100001021102341100001010X010100001B,0101000011B所以所以010100001021102341100001010X010100001021341102.201431012 设设 n 级矩阵级矩阵 A, B, A + B 均可逆均可逆, 证明证明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.将将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积表示成已知的可逆矩阵的乘积:A-1 + B-1 = A-1(E + A

27、B-1) = A-1(BB-1 + AB-1)= A-1(B + A)B-1 .由可逆矩阵的性质可知由可逆矩阵的性质可知(A-1 + B-1)-1 = A-1(A + B)B-1-1 = B(B + A)-1A.同理可证另一个等式也成立同理可证另一个等式也成立. 设设 A 为为 n 级方阵级方阵( n 2 ) ,证明证明 |A*| = |A|n-1. 由于由于 AA* = A*A = |A|E , 所以所以|A| |A*| = |A|n (4)下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论:(1) |A| 0, 即即 A 可逆可逆, (4) 式两端除以式两端除以 |A| 即即得得 |A*| = |A|n

28、-1.(2) |A| = 0, 且且 A = O, 则则 A* = O, 结论显然成结论显然成立立.(3) |A| = 0, 但但 A O, 反设反设 |A*| 0, 则则 A* 可逆可逆,因而因而 A = (AA*)(A*)-1 =(|A|E)(A*)-1 = |A|(A*)-1 = O,故故 A = O, 与与 A O 矛盾矛盾, 所以所以, |A*|=0=|A|n-1.对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 A, 运算时常采用运算时常采用, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们我们将矩阵将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵用若干条纵线和

29、横线分成许多个小矩阵, 每一个小矩阵称为每一个小矩阵称为 A 的的,以子块为元素的形式以子块为元素的形式上的矩阵称为上的矩阵称为. 例如将例如将 34 矩阵矩阵343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA分成子块的分法很多分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式下面举出三种分块形式:,(1)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa,(2)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa.(3)343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 分法分法 (1) 可记为可记为,22211

30、211AAAAA其中其中,aaA,aaA,aaaaA,aaaaA34332232312124231413122221121111即即 A11, A12, A21, A22 为为 A 的子块的子块,而而 A 形式上成为形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵以这些子块为元素的分块矩阵. 分块矩阵可类似写出分块矩阵可类似写出, 这里略这里略.分法分法 (2) 及及 (3) 的的设有设有 s n 矩阵矩阵 A = ( aij )sn , 则对则对 A 有以下三有以下三种最常用的分块方法：种最常用的分块方法：即把即把 A 的每一行当作一个子块，这时每个子的每一行当作一个子块，这时每个子块为一行向量，也就是

31、说，矩阵块为一行向量，也就是说，矩阵 A 是由一个行向是由一个行向量组组成：量组组成：.21sA即把即把 A 的每一列当作一个子块，这时每个子的每一列当作一个子块，这时每个子块为一列向量，也就是说，矩阵块为一列向量，也就是说，矩阵 A 是由一个列向是由一个列向量组组成：量组组成：.),(21nA当当 n 级矩阵级矩阵 A = ( aij )n 中非零元素都集中在主中非零元素都集中在主对角线附近时，有时可将对角线附近时，有时可将 A 分块成下面的分块成下面的lAOAOAA21其中其中 Ai 是是 ni 级方阵级方阵 ( i = 1, 2, , l ) .,BBBBB,AAAAAsrsrsrsr1

32、1111111分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似相类似, 分别说明如下分别说明如下:设矩阵设矩阵 A 与与 B 的行数相同、列数相同的行数相同、列数相同, 采用采用相同的分块法相同的分块法, 有有其中其中 Aij 与与 Bij 的行数相同、列数相同的行数相同、列数相同, 那么那么.BABABABABAsrsrssrr11111111,AAAAAsrsr1111 为常数为常数,那么那么 设设.1111srsrAAAAA ,BBBBB,AAAAAtrtrstst11111111 设设 A 为为 ml 矩阵矩阵, B为为 ln 矩阵矩阵, 分块成分块成

33、,CCCCABsrsr1111其中其中tkkjikij.,r,j,s;,iBAC111其中其中 Ai1 , Ai2 , , Ait 的列数分别等于的列数分别等于 B1j , B2j , , Btj 的行数的行数,那么那么 设设,B,A02111401102101011011012100100001 把把 A、B 分块成分块成求求 AB.,EAOEA11011012100100001,BBEBB2221110211140110210101则则,BABBAEBBBEBEAOEAB22121111112221111而而11012101112121111BBA11012043,1142,BA13330

34、2141121221于是于是.AB1311334210210101设设,AAAAAsrsr1111.TT1T1T11TsrsrAAAAA则则,21lAOAOAA设设 A 为为 n 级矩阵级矩阵,且且 A 可分成如下分块对角矩可分成如下分块对角矩阵阵. 2) 若若 | |Ai| | 0 ( i = 1, 2, , l ) , 则则 | |A| | 0, 且且 .AOAOAAl112111 1) | |A| | = | |A1| | |A2| | | |Al| | ;设设 A，B 是两个是两个 n 级矩阵，且采用相同的分法级矩阵，且采用相同的分法可把它们都分成分块对角矩阵：可把它们都分成分块对角矩

35、阵：,21lAOAOAA.BOBOBBl21则有则有,2211llBAOBAOBAAB.2211llBAOBAOBABA( 证明见第二章第六节证明见第二章第六节 ) 设设 n 级矩阵级矩阵 D 分块为分块为BCOAD其中其中 A，B 分别是分别是 k 级和级和 r 级的可逆矩阵，级的可逆矩阵，C 是是r k 级矩阵，级矩阵，O 是是 k r 级零知阵，求级零知阵，求 D-1 . 因为因为| D | = | A | | B | ，所以当所以当 A，B 可逆时，可逆时，D 也可逆也可逆.设设,222112111XXXXD于是于是22122111121122211211CXCXBXCXAXAXXXX

36、XBCOA,rkEOOE由此可得由此可得.,221221111211rrEBXCXOBXCXOAXEAXX11 = A-1 X12 = O X22 = B-1 X21 = - B-1CA-1 所以所以.11111BCABOAD 设设41004210402103210101,2000012000012000005200021BA用矩阵分块的方法：用矩阵分块的方法：(1) 计算计算 A2 ，AB；(2) 求求 A-1 .把矩阵把矩阵 A，B 进行如下分块进行如下分块41004210402103210101,2000012000012000005200021BA并令并令,2221121121BBBB

37、BAOOAA其中其中,200120012,522121AA,0301,21011211BB.414240,0010212221BB则则 1)21212AOOAAOOAA2221AOOA,29121255221522121A;40044014420012001220012001222A其中其中2221121121BBBBAOOAAB,222212121111BABABABA,1034121015221111BA,002032001021200120012212BA,0170703015221121BA其中其中,824342414240200120012222BA所以所以.820043204232

38、0171030741AB,21AOOAA2) 因为因为,12111AOOAA所以所以2001200122A52211A由由,122511A由由.4002401248112A所以所以.21000041210008141210000012000251A三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵. .这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法阵的方法.等矩阵等矩阵, 记为记为 P( i , j ) .1101111011)(i,jP第第 i 行行第第

39、 j 行行把单位矩阵中第把单位矩阵中第 i , j 两行对调两行对调 ( ri rj ), 得初得初得初等矩阵得初等矩阵, 记为记为 P( i(c) ) .以数以数 c 0 乘单位矩阵乘单位矩阵 E 的第的第 i 行行 ( ri c ) ,1111)(cciP第第 i 行行初等矩阵初等矩阵, 记为记为 P( i , j(k) ) .以以 k 乘乘 E 的第的第 j 行加到第行加到第 i 行上行上 ( ri + krj )或以或以 k 乘乘 E 的第的第 i 列加到第列加到第 j 列上列上 ( cj + kci ) , 得得1111)(,(kkjiP第第 i 行行第第 j 行行第第 i 列列 第

40、第 j 列列 我们只看行变换的情形，列变换的情我们只看行变换的情形，列变换的情形可同样证明形可同样证明. 令令 B = ( bij ) 为任意一个为任意一个 s s 矩阵矩阵,A1 , A2 , , As 为为 A 的行向量的行向量. 由矩阵的分块乘法由矩阵的分块乘法,sijAAAAAjiP1),(第第 i 行行第第 j 行行sssssssssAbAbAbAbAbAbAbAbAbBA221122221211212111特别，令特别，令 B = P( i , j ) , 得得这相当于把这相当于把 A 的的 i 行行与与 j 行互换行互换.sjjiAAkAAAAkjiP1)(,(第第 i 行行第第

41、 j 行行令令 B = P( i (c) ) , 得得siAcAAAciP1)(第第 i 行行这相当于用这相当于用 c 乘乘 A 的第的第 i 行行.令令 B = P( i , j(k) ) , 得得这相当于把这相当于把 A 的的 j行的行的 k 倍加到倍加到 i 行行.1) P( i, j )-1 = P( i, j ); 2);)()(11ciPciP 3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ). 在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化简矩阵简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可如果同时用行与列的初等变换，那么还

42、可以进一步化简以进一步化简. 为了方便，我们引入：为了方便，我们引入： A A; 若若 A B, 则则 B A; 若若 A B, B C, 则则 A C. 如果如果 A = O，那么它已经是标准形了，那么它已经是标准形了.以下无妨假设以下无妨假设 A O .经过初等变换，经过初等变换，A 一定可以一定可以变成一左上角元素不为零的矩阵变成一左上角元素不为零的矩阵.当当 a11 0 时，把其余的行减去第一行的时，把其余的行减去第一行的111aai( i = 2, 3, , s ) 倍，其余的列减去第一列的倍，其余的列减去第一列的111aaj( j = 2, 3, , s ) 倍倍.然后，用然后，用

43、111a乘第一行，乘第一行，A就变成就变成.000011AA1 是一个是一个 ( s - 1 ) ( n - 1 ) 的矩阵的矩阵. 对对 A1 再重复以再重复以上的步骤上的步骤.这样下去就可得出所要的标准形这样下去就可得出所要的标准形.显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1的个数的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个的个数也就是矩阵数也就是矩阵 A 的秩的秩. 任意输入一个矩阵，用初等变换把它任意输入一个矩阵，用初等变换把它化为标准形化为标准形.根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应根据引理，对一矩阵作初等

44、变换相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵的初等矩阵去乘这个矩阵. 因此，因此， . (1)n 级可逆矩阵的秩为级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；形为单位矩阵；反过来显然也是对的反过来显然也是对的. 由由 (1) 即得即得 (2)由此即得由此即得 设设 A 为可逆矩阵，则由定理为可逆矩阵，则由定理 6 知，存知，存在初等矩阵在初等矩阵 Q1 , Q2 , , Qm 使使 A = Q1 Q2 Qm ,把它改写一个，有把它改写一个，有Qm-1 Qm -1-1 Q1-1A = E .因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时

45、在矩阵阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变作初等行变换，所以结论得证换，所以结论得证.用分块矩阵形式用分块矩阵形式, (i)、(ii) 两式可合并为两式可合并为:当当 |A| 0 时时, 由由 A = P1P2 . Pl , 有有Pl-1Pl-1-1 . P1-1A = E, (i)及及 Pl-1Pl-1-1 . P1-1E = A-1. (ii)(i) 式表明式表明 A 经一系列初等行变换可变成经一系列初等行变换可变成 E , (ii)式表明式表明 E 经这同一系列初等行变换即变成经这同一系列初等行变换即变成 A-1 . Pl-1Pl-1-1 . P1

46、-1(A E) = ( E A-1) ,求矩阵求矩阵 A-1B. 由由 A-1(A B) = (E A-1B)可知可知, 若对矩阵若对矩阵(A B)施行初等行变换施行初等行变换, 当把当把A 变为变为 E 时时, B 就变为就变为 A-1B.A变成变成 E 时时, 原来的原来的 E 就变成就变成 A-1 .即对即对 n 2n 矩阵矩阵 (A E) 施行初等行变换施行初等行变换, 当把当把利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法, 还可用于还可用于 设矩阵设矩阵,112213324A用初等行变换法用初等行变换法, 判断判断 A 是否可逆是否可逆? 若可逆若可逆, 求求 A-1.

47、可得可得.2011211111A 任意输入一个任意输入一个 3 级矩阵级矩阵 A , 判断其是否判断其是否可逆可逆, 若可逆若可逆, 求其逆矩阵求其逆矩阵 A-1 . .A所以所以.1A 任意输入一个任意输入一个 4 级矩阵级矩阵 A , 判断其是否判断其是否可逆可逆, 若可逆若可逆, 求其逆矩阵求其逆矩阵 A-1 . .2302321211301321A所以所以.22/766/ 566/2333/1611/ 133/ 433/ 833/1422/ 366/ 166/3533/1022/766/1766/ 133/ 51A001219323358515)(B|A 用初等行变换法解矩阵方程用初等

48、行变换法解矩阵方程 AX = B ,.009358121233515B,A,631005201041001.635241X故故其中其中 nmEOOEE分块初等矩阵有以下三种：分块初等矩阵有以下三种：对换两行对换两行(列列)所得到所得到,OEEOmn矩阵矩阵 P 所得到所得到,POOEEOOPmn.,nmnmEPOEEOPE某一行某一行(列列)左乘左乘(右乘右乘)一个一个一行一行(列列)加上另一行加上另一行(列列)的的P (矩阵矩阵)倍数所得到倍数所得到和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等矩阵有与初等矩阵类似的性质：矩阵有与初等矩阵类似的性质：例如，设有如下分块矩阵例如，设有如下分块矩阵,DCBA分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：,BADCDCBAOEEOmn,DCPBPADCBAEOOPn;PBDPACBADCBAEPOEnm,DCBA分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：,CDABOEEODCBAmn,DCPBAPEOOPDCBAn.DD