函数单调性和凹凸性

1、10/27/2021110/27/202124.3 4.3 函数的单调性和函数的单调性和曲线的凹凸性曲线的凹凸性10/27/202134.3.1 4.3.1 函数的单调性函数的单调性（monotonicity of function） 现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时，现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时，另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右

2、看描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看时，函数图象的一些部分是时，函数图象的一些部分是“上升上升”的，一些部分是的，一些部分是“下降下降”的，的，好像山峦的起伏一样，为了区别：好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升上升”和和“下降下降”，我们，我们引入引入了函数了函数“单调性单调性”的概念。的概念。 通过研究某些特定函数（事实上是那些基本初等函数）通过研究某些特定函数（事实上是那些基本初等函数）的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函数）的单调性，从而能画出它们的图形和研究它们的性质。数）的单调性，从而能画出它们的图形

3、和研究它们的性质。下面我们利用导数来研究函数的单调性。下面我们利用导数来研究函数的单调性。10/27/202140)( xf0)( xf几何直观几何直观) 1 (0yx)2(0yx如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；0)( xf当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。0)( xf10/27/20215)(0)(),()2(xfyxfba，那么函数内如果在.),(,)(内可导内连续，在在设函数babaxfy )(0)(),(1xfyxfba，那么函数内如果在）（定理（单调性的充分条件）定理（单调性的充分条件）定义定义: :若函数在其定义域的某个区

4、间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，上单调增加；在),(ba.),(上单调减少在ba则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.10/27/20216例如：函数 及 在 内单调减少，2xy xy 0 , 0在 内单调增加。如下图所示。0yxxy0yx2xy 10/27/20217 问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调的，但在各个部分区间上单调叫的实根即方程使导数为零的点)0)( xf定义定义: 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点间的分界点.)(的驻点

5、做函数xf10/27/20218求单调区间的步骤求单调区间的步骤: :然后判断的定义区间中的点划分函数用,)()2()3(xf根据定理写出结论。)4(不存在的点；的根及，求出求)(0)()()2(xfxfxf.区间内导数的符号的定义域；求出函数)() 1 (xf10/27/20219解解: :12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得. 2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为, ) 1,();,2()(xf的的单调减单调减区间为区间为).2,1 (31292)(23xxxxf例例1 1、确定函数确

6、定函数 的单调区间的单调区间.).,(x列表讨论：列表讨论：10/27/20211012x0y1231292)(23xxxxf10/27/202111例例2 2解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在时当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,()., 0 32xy 10/27/2021124.3.2 4.3.2 曲线的凹凸性曲线的凹凸性观察抛物线观察抛物线 与与2xy 1 , 0 xy

7、，它们在区间，它们在区间 内都内都是单调增加的，但弯曲的方是单调增加的，但弯曲的方1x0y12xy xy 这说明在研究函数的图形这说明在研究函数的图形时，只知道它们的单调性是不时，只知道它们的单调性是不够的，曲线的弯曲方向和弯曲够的，曲线的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数方向的转变点对我们研究函数的性态也是十分重要的的性态也是十分重要的. . 这就这就是下面讨论的凹凸性与拐点。是下面讨论的凹凸性与拐点。向不一样。向不一样。10/27/202113函数图象的凹凸分析：函数图象的凹凸分析： 图象的上升与下降可用一阶导数的符号来判定。 同是上升(或下降)曲线还有凹凸之分. 凹弧的切线总是凹弧

8、的切线总是在曲线的下方在曲线的下方 凸弧的切线总凸弧的切线总是在曲线的上方是在曲线的上方从从P P点改变点改变弯曲方向弯曲方向10/27/202114问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?1 1、曲线凹凸性的定义、曲线凹凸性的定义下方，则称如果曲线弧总位切线的上是凸的或称在则称曲线baxfy,)(定义定义 baxfy,)(在区间设曲线 方，则称曲曲线弧总位于切线的上上是凹的或称为在线baxfy,)(凹区间。点附近如果内各点都有切线，在切 的为曲线凹弧，也称xfyba,的凸区间。为曲线为凸弧，)(,xfyba10/27/2021150)( xf0)( xf几何直观几何直

9、观) 1 (0yx)2(0yx如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当 时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；0)( xf当 时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。0)( xf10/27/202116xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y2 2、曲线凹凸的判定、曲线凹凸的判定定理定理1 如果如果 在在a,b上连续，在（上连续，在（a,b）内具有一阶和二）内具有一阶和二( )f x（1） ，则，则 在在a,b上的图形是凹的；上的图形是凹的； ( )0fx( )f x（2） ，则，则 在在a,b上的图形是凸的；上的图形是凸的； (

10、)0fx( )f x阶导数，若在（阶导数，若在（a,b）内）内10/27/202117注意：点（注意：点（0,00,0）是曲线）是曲线由凸变凹的分界点。由凸变凹的分界点。解解3yx例例3 3、判断曲线判断曲线 的凹凸性。的凹凸性。1x0y13xy 1123xy 曲线在曲线在 为凹的。为凹的。, 0.6xy , 0 y, 0 y当当 时，时，0 x当当 时，时，0 x曲线在曲线在 为凸的；为凸的；0 ,10/27/202118、定义：、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点。注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .、

11、拐点的求法、拐点的求法3 3、曲线的拐点及其求法、曲线的拐点及其求法定理定理2 如果如果 在在 内存在二阶导数，内存在二阶导数，( )f x00(,)xx00,()xf x则点则点 是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0()0fx 方法方法: :设函数设函数 在在 的邻域内二阶可导，且的邻域内二阶可导，且( )f x0 x0()0fx（1） 两近旁两近旁 变号，点变号，点 即为拐点；即为拐点；0 x( )fx00(,()xf x（2） 两近旁两近旁 不变号，点不变号，点 不是拐点；不是拐点；0 x( )fx00(,()xf x10/27/202119例例4 4 求曲线求曲线 的拐点及凹凸区间。

12、的拐点及凹凸区间。43341yxx解解: :(,)D 321212,yxx 236 ().3yx x 0,y 1220,.3xx令令得：得：x(,0)2( ,)32(0, )3023( )fx( )f x 凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点(0,1)2 11( ,)3 2700凹区间为凹区间为xy1-11243341yxx列表讨论如下：列表讨论如下：,32,0 ,，凸区间为凸区间为.32, 010/27/202120解：解：231,3yx 534,9yx 3yx例例5 5、求曲线求曲线 的拐点。的拐点。0 x 当当 时时是不可导点，是不可导点， 均不存在，均不存在，0 x ,y y但在但在 内，内， ,曲线在曲线在 上是凹的；上是凹的；(,0)0y (,0在在 内，内， ,曲线在曲线在 上是凸的；上是凸的；(0,)0y0,)点点 是曲线是曲线 的拐点。的拐点。 (0,0)3yxxy1-112-1-210/27/202121下课啦10/27/202122案例案例 国防预算国防预算布什号（尼米兹级第十艘）造价62亿美元 B-2幽灵战略轰炸机单价：24亿美元 1985 1985年美国的一家报刊报道了年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防预算但是他的对手却反驳国防预算但是他的对手却反驳道，