空间曲面课件

1、空间曲面10.4.1 曲面及其方程曲面及其方程一一. 曲面方程的概念曲面方程的概念。面看作为点的几何轨迹面看作为点的几何轨迹可以把空间中的一个曲可以把空间中的一个曲例例如如的的动动点点保保持持等等距距离离考考虑虑与与定定点点RzyxM),(0000从从几几何何图图形形上上看看，为中心，半径为为中心，半径为应是以应是以0M事事实实上上，应应满满足足动动点点),(zyxM，RMM |0即即2202020)()()(Rzzyyxx )1(说明：说明：标标满满足足的的方方程程，式式就就是是该该球球面面上上点点的的坐坐) 1 (称为这个球面的方程称为这个球面的方程的轨迹。的轨迹。),(zyxM的的球球面

2、面。R空间曲面1定定义义与三元方程与三元方程如果曲面如果曲面 S0),( zyxF)2(有有如如下下关关系系；上任一点的坐标都满足上任一点的坐标都满足曲面曲面0),()1( zyxFS，上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足不不在在曲曲面面0),()2( zyxFS为为则则称称方方程程0),( zyxF的方程，的方程，曲面曲面 S称为称为而曲面而曲面 S的的图图形形方方程程0),( zyxF问问题题：征征，求求曲曲面面的的方方程程已已知知曲曲面面上上点点的的几几何何特特)1(曲曲面面的的几几何何形形状状已已知知曲曲面面的的方方程程，研研究究)2(空间曲面二二. 旋转曲面旋转曲面2定义定义周周

3、上上的的一一条条定定直直线线旋旋转转一一一一条条平平面面曲曲线线绕绕其其平平面面所所成成的的曲曲面面叫叫做做旋转曲面，旋转曲面，面面的的这这条条定定直直线线叫叫做做旋旋转转曲曲轴轴，坐标面上一条曲线坐标面上一条曲线考察考察Cyoz其方程为：其方程为：. 0),( zyf轴轴旋旋转转一一周周就就得得到到绕绕将将曲曲线线zC轴为轴的旋转曲面轴为轴的旋转曲面一个以一个以 zxyzC), 0(111zyMM求此旋转曲面的方程求此旋转曲面的方程空间曲面xyzC), 0(111zyMM上上的的任任一一点点，为为曲曲线线设设CzyM), 0(111则则有有. 0),(11 zyf)3(轴轴旋旋转转时时，绕绕

4、当当曲曲线线zC轴轴也绕也绕点点zM1显显然然1zz ，转转到到另另一一点点),(zyxM轴的距离为轴的距离为到到且点且点zM22yx |1y 221yxy 即即从而有从而有0),(22 zyxf这这就就是是旋旋转转曲曲面面的的方方程程注注轴旋转，轴旋转，绕绕若曲线若曲线yzyfC0),(:)1( 则则旋旋转转曲曲面面方方程程为为0),(22 zxyf轴旋转，轴旋转，绕绕若曲线若曲线zzxfC0),(:)2( 则有则有0),(22 zyxf空间曲面轴旋转一周，轴旋转一周，轴与轴与分别绕分别绕面上的椭圆面上的椭圆将将例例yxbyaxxoy1. 12222 求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程解解xy

5、z面面方方程程轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转曲曲绕绕 x22ax1)(2222 bzy1222222 bzbyax即即)4()4(面方程面方程轴旋转一周所得旋转曲轴旋转一周所得旋转曲绕绕 y2222)(azx 122 by1222222 azbyax即即)5()5(称称为为旋旋转转椭椭球球面面与与曲曲面面)5()4(空间曲面轴轴旋旋转转一一周周，轴轴与与分分别别绕绕面面上上的的双双曲曲线线将将例例zxbzaxxoz1. 22222 求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程解解xyz面面方方程程轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转曲曲绕绕 x22ax1)(2222 bzy1222222 bzbya

6、x即即)6(面方程面方程轴旋转一周所得旋转曲轴旋转一周所得旋转曲绕绕 z2222)(ayx 122 bz1222222 bzayax即即)7(称称为为旋旋转转双双曲曲面面与与曲曲面面)7()6()6()7(空间曲面3定定义义，相交的定直线旋转一周相交的定直线旋转一周绕着另一条与绕着另一条与直线直线LL所所得得的的旋转曲面叫做旋转曲面叫做圆锥面圆锥面面的面的两直线的交点称为圆锥两直线的交点称为圆锥顶顶点点，称为圆锥面的称为圆锥面的两直线的夹角两直线的夹角)20( 半顶角，半顶角，相相交交与与 L的直线称为的直线称为旋旋转转轴轴LlO顶点顶点 半半顶顶角角旋转轴旋转轴空间曲面的圆锥面的圆锥面轴为旋

7、转轴，半顶角为轴为旋转轴，半顶角为以以建立顶点在坐标原点，建立顶点在坐标原点，例例 z. 3方程方程xyz l解解面面上上，在在 yoz轴交于原点，轴交于原点，与与 z的的直直线线方方程程为为轴轴夹夹角角为为与与 z，kyz ，其中其中 cot k面面轴轴旋旋转转所所形形成成的的旋旋转转曲曲则则此此直直线线绕绕 z即圆锥面方程为即圆锥面方程为，)(22yxkz 即即，)(2222yxkz 其其中中 cot k空间曲面三三. 柱面柱面3定定义义)(上上不不与与动动直直线线在在同同一一平平面面知知曲曲线线平平行行于于定定直直线线并并沿沿着着已已C形成的轨迹叫做形成的轨迹叫做移动的直线移动的直线 L柱面，柱面，叫叫做做柱柱面面的的定定曲曲线线C准线，准线，叫叫做做柱柱面面的的动动直直线线L母线母线CL空间曲面常见的柱面方程常见的柱面方程)1(12222 byax椭圆柱面椭圆柱面xyz时时，ba 圆圆柱柱面面)1()2(12222 axby双曲柱面双曲柱面xyz)2(空间曲面)3(pyx22 抛抛物物柱柱面面xzy)3(0)4(2222 ybxa0 byax即即0 byax或或两两相相交交平平面面轴，轴，母线平行于母线平行于 z准准线线为为 00zbyax