高一数学单调性教学案例分析

1、河北师范大学2012级数学专业15-16-1学期中学学科教学案例分析年 级：_ _ 2012级 学 号：_2012012823_姓 名：_ _ 王宇 日 期： 2015年10月30日0 / 8 “函数的单调性”教学案例分析一内容介绍1.教材内容分析本节课“函数的单调性”是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1·A版第一章第三节的内容，函数单调性的实质是对函数运动趋势的研究，它既是函数的基本特征之一，又为后面基本初等函数的研究提供了一般方法，为研究不等关系提供了重要依据。研究函数的单调性是从观察具体图像入手，定量分析数值关系，最终抽象出形式化定义的基本研究方法入手，体现了数学

2、的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式，这对培养学生以图识数、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法具有重大意义。2.学生情况分析本节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论。本节课中函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难。在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，方便学生理解，对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作和思考的时间和空间。二 .教学目标1 .知识与技能 理解函数单调性的含义，了解

3、增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。2 .过程与方法 掌握用定义证明和验证函数单调性的方法和步骤，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。3 .情感态度与价值观通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。三 . 教学重、难点1 .教学重点 形成增函数和减函数的形式化定义。2 .教学难点 在形成增（减）函数概念的过程中，从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。四 .教学基本流程 1 .创设情境，引入概念右图是某地PM2.5浓度变化图，观察函数图像，你能发现什么特点吗？ 【师生互动】教师引导学生观察图像的升降变化，说出自己的

4、看法。【设计意图】通过学生的直观认识引入新课，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西，同时提高学生的环境保护意识。2 .合作探究，形成概念观察两组图像，引导学生尝试归纳增函数和减函数的定义。问题1：两组函数有什么特征？第一组：第二组：问题2：你能用准确的数学符号语言表述增函数的定义吗？学生讨论，最后由教师给出定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。&

5、#160;再由学生类比得到减函数的定义： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数在区间D上是单调递减函数。注: (1) x1，x2三大特征：属于同一区间；任意性；有大小：通常规定x1<x2； (2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。 举例：x1，x2在(0，)上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。我的启示: 我以问题串的形式进行启发、引导学生自己归纳总结，找出两个函数代数上的共同点，得到减函数的定义，主要是想培养学生对图像的观察能力

6、，以及培养学生的归纳概括能力。而概念的形式化定义的总结过程学生不太熟悉，所以我提出可以相互讨论，希望可以通过合作学习的方式对基础相对较差的学生给予指导，培养学生一种互帮互助的精神。这里我根据知识的发生，发展过程以及对学生的能力的适当的评估，引导学生自己动手，动脑得出减函数的定义和图像特征，这个过程我并没有刻意去追求“还课堂给学生”，但整个过程自然，流畅，营造了人人参与的气氛，让学生得到了充分的锻炼，激发了学生的灵气。3.定义应用，概念深化例1 右图是定义在5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。解：y=f

7、(x)的单调区间有5，2）， 2，1），1，3），3，5。 其中y=f(x)在5，2），1，3）上是减函数； 在2，1）， 3，5）上是增函数。强调单调区间的写法： 问题1：减区间可否写成-5，-2）U1，3）？ 问题2：写成5，2）还是写成-5，-2？构造反例说明，进行验证。(1)单调区间一般不能求并集； (2)当端点满足单调性定义时，可开可闭。例2 函数单调性的证明证明：函数f(x)=x2+x在（0，）上是增函数证明过程：设x1，x2是（0，）上的任意两个值，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=(x12+x1)-(x22+x2)

8、 =(x12-x22)+(x1-x2) =(x1-x2)(x1+x2)+(x1-x2) =(x1-x2)(x1+x2+1) 又0<x1<x2，故x1-x2<0，x1+x2+1>0 则f(x1)-f(x2)<0，即：f(x1)<f(x2) 因此，函数f(x)=x2+x在（0，）上是增函数。总结定义法证明函数单调性的步骤： （1）取值:设任意x1，x2属于给定区间，且x1<x2； （2）作差变形: f(x1)-f(x2)变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等； （3）定号:确定f(x1)-f(x2)的正负号； （4

9、）下结论：由定义得出函数的单调性。4 .归纳总结，提高认识教师提出问题，引导学生讨论、交流、总结，让学生充分发表意见。（1）通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？（2）增（减）函数图像有什么特点？如何根据图像指出单调区间？（3）怎样用定义证明函数的单调性？5 .布置作业必做：课本P39 A组 习题2、3选作：证明函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在（- ，-b2a 上是增函数。五教学反思 新课程改革提出把课堂还给学生，表面上好像解放了老师，其实不然。要让一堂课的知识点完全由学生自己总结、归纳，目前是不大现实的，所以老师应该在整个课堂中起好启发、引导作用，而这个引导者的角色并不好当。如果问题太简单，启发过了头，学生起不到思考的作用，此时老师就应该把问题的难度，跨度加大；如果问题太难，引导不到位，最后问题还是由老师自己解决，学生也起不到锻炼的效果，此时老师就应该对问题多设几个桥梁，从而减小问题的难度。对这个度的把握，就需要老师站得更高，对知识点和学生的情况有很高的熟悉程度，备课设置问题和相关环节时多考虑学生可能出现的情况，上课随时调整。 学记上说“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”说的是要引导学生，但决不牵着学生的鼻子；要严格要求学生，但决不使学生感