常系数线性常微分方程

1、常系数线性常微分方程常系数高阶 线性微分方程 一. 常系数线性齐次微分方程二. 常系数线性非齐次微分方程 第六章 常系数线性常微分方程常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第六章 常系数线性常微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数 )

2、,xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.常系数线性常微分方程2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru常系数线性常微分方程3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(

3、cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx常系数线性常微分方程小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .常系数线性常微分方程若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必

4、含对应项xrkkexCxCC)(121112()cosxkkeCC xC xxsin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC常系数线性常微分方程例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值

5、问题的解为tets)24(22C常系数线性常微分方程例例3.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例4.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解), 132xexxx常系数线性常微分方程02)(22222rr例例5. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1i

6、r)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC常系数线性常微分方程例例6.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为,2,1irir4,3则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42常系数线性常微分方程内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxreCeCy212121rr (2) 当时, 通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求

7、通解 .常系数线性常微分方程思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21常系数线性常微分方程思考题思考题,2cos,2,321xyexyeyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :, 121 rrir24, 3因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCxCexCCyx2sin2cos)(4321常系数线性常微分方程常系数非齐次线

8、性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 第六章 常系数线性常微分方程)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法常系数线性常微分方程)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*

9、xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式常系数线性常微分方程(2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxm

10、k此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解常系数线性常微分方程例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0常系数线性常微分方程例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbx

11、y210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2常系数线性常微分方程例例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0常系数线性常微分方程于是所

12、求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC常系数线性常微分方程二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点ximexP)()(常系数线性常微分方程第一步第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)

13、()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2常系数线性常微分方程 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多项式为mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式两边取共轭 :ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程 的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 设则 有特解:常系数线性常微分方程第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有

14、特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式 .常系数线性常微分方程第四步第四步 分析的特点yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式 .11yyy本质上为实函数 ,11yy常系数线性常微分方程小小 结结xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解:其中 为特征方程的

15、k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.常系数线性常微分方程例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb常系数线性常微分方程例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特

16、征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为常系数线性常微分方程例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024

17、rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:常系数线性常微分方程思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm常系数

18、线性常微分方程2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221常系数线性常微分方程3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xe

19、yy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex常系数线性常微分方程振动问题振动问题当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.常系数线性常微分方程据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2

20、mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mhH则得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222常系数线性常微分方程例例2.xxo解解: 由例1 知, 位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 ,0v速度为. )(txx 立坐标系如图, ,0 xx 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为自由振动方程自由振动方程 , 常系数线

21、性常微分方程方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA常系数线性常微分方程解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定)常系数线性常微分方程方程:特征方程:0222krnr222

22、,1knnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk trtreCeCx2121tnetCCx)(21常系数线性常微分方程( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 无振荡现象; trtreCeCx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.常系数线性常微分方程( n = k ) 临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 : 任意常数由初始条件定, tn

23、etCCx)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点; 取何值都有无论21,CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0)(lim21tntetCC2) 无振荡现象 ;常系数线性常微分方程例例3.求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxktxsindd222 当当p k 时时, 齐次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解为例1 中若设物体只受弹性恢复力 f,sin的作用ptHF 和铅直干扰力xox代入可得: 常系数线性常微分方程当干扰力的角频率 p 固有频率 k