第7章 热传导

1、第七章第七章热传导热传导热传导热传导q一一、热传导方程及定解条件热传导方程及定解条件 q二二、一维稳态导热一维稳态导热 q三三 、非稳态导热非稳态导热一一、热传导方程及定解条件热传导方程及定解条件 PCqzTyTxTtT 2222221导热微分方程导热微分方程 直角坐标直角坐标：柱坐标柱坐标： PCqzTTrrTrrrtT 2222211球坐标球坐标： PCqTrTrrTrrrtT 222222sin1sinsin11一维一维( x 向或向或 r 向向)导热微分方程导热微分方程： 直角坐标直角坐标： 22xTtT 柱坐标柱坐标： rTrrrtT1 球坐标球坐标： rTrrrtT221 通式通式

2、： )(1xTxxxtTii 2定解条件定解条件v导热微分方程是对导热物体内部温度场内在规导热微分方程是对导热物体内部温度场内在规律的描述，适用于所有的导热过程，是一普遍律的描述，适用于所有的导热过程，是一普遍适用方程。适用方程。v要获得特定条件下导热问题的解必须附加限制要获得特定条件下导热问题的解必须附加限制条件条件, ,这些限制条件称为定解条件。这些限制条件称为定解条件。v定解条件包括时间条件（定解条件包括时间条件（初始条件初始条件）和）和边界条边界条件件。v所以，导热问题完整的数学描述应包括其导热所以，导热问题完整的数学描述应包括其导热微分方程和相应的定解条件微分方程和相应的定解条件。

3、定解条件定解条件 v初始条件初始条件（I.C.） 反映研究对象的特定历史条件。反映研究对象的特定历史条件。 追溯了在某个初始时刻的状态追溯了在某个初始时刻的状态。v边界条件边界条件（B.C.） 反映所研究对象是处于怎样的特定环境。反映所研究对象是处于怎样的特定环境。 环境通过体系的边界将如何影响所研究的对象环境通过体系的边界将如何影响所研究的对象。q 下面以下面以传热为例传热为例写出相应的初始条件和边界条件。写出相应的初始条件和边界条件。q给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为：给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为： 传热传热 传质传质 )0 ,(zyxAA 对于对于初始时刻物体内温度或浓度

4、处处均匀分布的情况，写为：初始时刻物体内温度或浓度处处均匀分布的情况，写为： 传热传热 传质传质 )0 ,(zyxTT 0, 0TTt 0, 0AAt 1）初始条件初始条件2 2）边界条件）边界条件 v即物体边界上与环境的换热或传质条件。即物体边界上与环境的换热或传质条件。v对导热、扩散问题通常有三类不同的边界条件对导热、扩散问题通常有三类不同的边界条件 。直接给出边界上（任意时刻）的数值直接给出边界上（任意时刻）的数值。传热传热 传质传质 第一类边界条件第一类边界条件（记为记为B.C.I）ASA STT 第二类边界条件第二类边界条件（记为记为B.C.II）给出边界上的导数值（梯度值、通量值）

5、给出边界上的导数值（梯度值、通量值）传质传质 0 lxxTkq如温度分布中心对称如温度分布中心对称(x =0)，则写为则写为 00 xxTSAABAysyDj 传热传热 如某一端面如某一端面(L)绝热，则可具体写为绝热，则可具体写为 SysyTkq kh ,AbbT , 给出边界上物体与周围流体之间对流传递系数给出边界上物体与周围流体之间对流传递系数 以及与周围流体温度或浓度平均值以及与周围流体温度或浓度平均值 之间的关系式。之间的关系式。已知已知 k , Ab传质传质 )(AbASSAABkyD 传热传热 )(|bSSTThyTk 已知已知 h, Tb 第三类边界条件第三类边界条件（记为记为

6、B.C.III） 流体侧对流传热通量流体侧对流传热通量SsTk bSTTh 固体侧界面处的导热通量固体侧界面处的导热通量 B.C.III第三类边界条件最为复杂，其实质包含第三类边界条件最为复杂，其实质包含了第一类边界条件和第二类边界条件了第一类边界条件和第二类边界条件在一些特殊情况下可以将在一些特殊情况下可以将 B.C.III 转为转为B.C.I或或B.C.II，使问题简化使问题简化。仍以仍以传热传热为例给以说明。为例给以说明。,bsTTh 则则B.C.III 转化为转化为B.C.I当流体侧为绝热保温材料时当流体侧为绝热保温材料时， , 0|, 0 syTh则则B.C.III 转化为转化为B.

7、C.II)(|bSSTThyTk 当流体侧有强烈的搅拌当流体侧有强烈的搅拌, , 使得物体边界与周围使得物体边界与周围流体之间的流体之间的对流热阻对流热阻非常小时非常小时, ,边界条件可写为边界条件可写为平均温度平均温度 又可称为热衡算温度，截面平均温度，主体温度又可称为热衡算温度，截面平均温度，主体温度。 平均浓度平均浓度 bAzAAbuAdAu 又可称截面平均浓度，主体浓度又可称截面平均浓度，主体浓度。bAzuAdAuT dAuCdAuTCTAPAPb q有了导热微分基本方程式，就可根据实有了导热微分基本方程式，就可根据实际情况选择适当的初始条件和边界条件际情况选择适当的初始条件和边界条件

8、来求特定条件下的解。来求特定条件下的解。q求解的过程需要用到数学知识求解的过程需要用到数学知识q边界条件，初始条件的确定则要凭借工边界条件，初始条件的确定则要凭借工程经验程经验。二二、一维稳态导热一维稳态导热 v1. 大平板稳态导热大平板稳态导热v2. 长圆柱体稳态导热长圆柱体稳态导热 ( (有内热源有内热源) )v3. 圆球及圆壳内的稳态导热（有内热源）圆球及圆壳内的稳态导热（有内热源） 在工程实践中会遇到在工程实践中会遇到温度随时间变化温度随时间变化的的非非稳态导热问题稳态导热问题。实际上，只要物体受到加热或冷却，就会产生非实际上，只要物体受到加热或冷却，就会产生非稳态导热问题稳态导热问题

9、。例如，食物冷却、化冻、工件的淬火、铸件的冷例如，食物冷却、化冻、工件的淬火、铸件的冷却、土壤温度的变化、热动力设备起停时部件温却、土壤温度的变化、热动力设备起停时部件温度的变化等，都涉及热量传递的非稳态过程度的变化等，都涉及热量传递的非稳态过程。 三、非稳态导热三、非稳态导热 三、非稳态导热三、非稳态导热q在工程问题中，需要知道当物体表面的热状态在工程问题中，需要知道当物体表面的热状态发生变化时，物体内给定的温度变化到某一确发生变化时，物体内给定的温度变化到某一确定值需要的时间，这也是非稳态导热问题定值需要的时间，这也是非稳态导热问题。q在本节将着重讨论在本节将着重讨论薄壁薄壁、无限大物体无

10、限大物体、厚厚壁物体壁物体非稳态导热中的非稳态导热中的温度分布及求解温度分布及求解方法方法。q非稳态导热过程中物体内的温度随时间变化，非稳态导热过程中物体内的温度随时间变化，所以过程的分析和计算比稳态导热困难。所以过程的分析和计算比稳态导热困难。非稳态导热过程的特点非稳态导热过程的特点 v非稳态导热过程的最主要特点是，物体内部的非稳态导热过程的最主要特点是，物体内部的温度场随时间和空间变化。温度场随时间和空间变化。 v出现这种特点的原因是，当边界上换热情况突出现这种特点的原因是，当边界上换热情况突然变化后，随时间推移，物体内部温度将由表然变化后，随时间推移，物体内部温度将由表及里地逐渐发生变化

11、。及里地逐渐发生变化。 v如果边界上维持变化后的换热状态，则非稳态如果边界上维持变化后的换热状态，则非稳态导热过程将过渡到稳态过程导热过程将过渡到稳态过程。 非稳态导热过程的特点非稳态导热过程的特点从非稳态导热过程的起因从非稳态导热过程的起因边界换热情况变边界换热情况变化这一因素化这一因素来看来看，3 3种不同边界条件种不同边界条件对物对物体内部温度随时间和空间变化的影响也有所不体内部温度随时间和空间变化的影响也有所不同，但其实质是一样的，都是由于边界条件的同，但其实质是一样的，都是由于边界条件的变化引起物体内能变化所造成的变化引起物体内能变化所造成的。 本节主要内容本节主要内容 1. 薄壁物

12、体的非稳态导热薄壁物体的非稳态导热（集总热容法集总热容法 Bi 0.1 ）2. 半半无限大物体的非稳态导热无限大物体的非稳态导热（F0 Tb 。q讨论：物体内温度随时间的变化关系讨论：物体内温度随时间的变化关系。q解决薄壁物体非稳态导热问题，因为在微分方程的简解决薄壁物体非稳态导热问题，因为在微分方程的简化过程中化过程中不可能引用边界条件不可能引用边界条件，所以不能直接采用导，所以不能直接采用导热微分方程。热微分方程。v解决的办法是：解决的办法是：1. 将边界对流换热条件视为将边界对流换热条件视为 微分方程中的内热源微分方程中的内热源 2. 直接从直接从热平衡概念热平衡概念出发求解出发求解。

13、方法一方法一-导热微分方程导热微分方程 由上面给出的条件，可以得到边界处换热量，进而得由上面给出的条件，可以得到边界处换热量，进而得到内热源发热率为到内热源发热率为 得得 VATThCdtdTb)(1 Ck 薄壁导热微分方程薄壁导热微分方程VATThqb)( kqzTyTxTtT 2222221 导热微分方程导热微分方程将上式代入导热微分方程将上式代入导热微分方程 kqdTdT 1方法二方法二- 对物体进行热衡算对物体进行热衡算v环境得到的热量物体内部放出的热量环境得到的热量物体内部放出的热量即即 环境得到环境得到 的热量的热量移项后得移项后得 VATThCdtdTb)(1 (7-26)薄壁导

14、热微分方程薄壁导热微分方程dtdTVC ATThb)( 物体内部物体内部放出热量放出热量考虑初始条件为考虑初始条件为 将上述方程分离变量，时间从将上述方程分离变量，时间从 0 t，温度从，温度从T0 T 积分得积分得 积分得：积分得： tVChATTTTbo | )ln(0, 0TTt tTTbbdtVChATTTTd00)( VATThCdtdTb)(1 集总热容法集总热容法得到薄壁物体内的温度分布得到薄壁物体内的温度分布 tVChAbbeTTTT 0（7-28）上式上式给出了薄壁物体在环境温度为常数的对流条件给出了薄壁物体在环境温度为常数的对流条件下，物体内的温度随时间的变化关系，见图下，

15、物体内的温度随时间的变化关系，见图 。 tVChAbbeTTTT 0此式表明，物体内部温度随时间呈指数衰减，且经历时间越长，此式表明，物体内部温度随时间呈指数衰减，且经历时间越长，物体内的温度离初始值越远，最终物体温度趋于流体温度物体内的温度离初始值越远，最终物体温度趋于流体温度。 温度随时间的衰减关系图温度随时间的衰减关系图（7-28）未变分数未变分数分析上式中指数项的物理意义。将指数其分解为分析上式中指数项的物理意义。将指数其分解为 tCVkAkAhV22 2)(AVt 式中右侧第二项称之为式中右侧第二项称之为Fouier准数准数，可视为无因次时间可视为无因次时间 tVChAbbeTTTT

16、 0kAVh tCVAh 式中右侧第一项称之为式中右侧第一项称之为Biot准数准数，可视为两热阻之比可视为两热阻之比 毕渥特毕渥特(Biot)准数的物理意义准数的物理意义越越大大意味着物体内部意味着物体内部温度越不均匀温度越不均匀，温度梯度较大，温度梯度较大，内部内部导热热阻起控制导热热阻起控制作用作用。 当当 Bi 0.1，物体内各点温度之间的偏差小于物体内各点温度之间的偏差小于0.5%，可视为薄壁物体导热问题可视为薄壁物体导热问题, , 采用采用集总热容法集总热容法处理处理。 hkAVBi1 物体外表面对流热阻物体外表面对流热阻物体内部导热热阻物体内部导热热阻 越越小小物体内部温度趋于均匀

17、，物体内部温度趋于均匀，对流热阻起控制作用对流热阻起控制作用。 kAVh傅里叶傅里叶（Fouier）准数准数 20)(AVtF 故故， 可视为可视为无因次时间无因次时间。 越越，表示温度表示温度入物体内部，内部温度也越入物体内部，内部温度也越 接近周围介质温度。因此小接近周围介质温度。因此小值导热可视为厚物体导热值导热可视为厚物体导热。 smmsAVt222)( 式中指数具有时间量纲，式中指数具有时间量纲，称为称为时间常数时间常数。这意味着，经过这意味着，经过一个时间常数一个时间常数段，物体与环境的温差段，物体与环境的温差是初始温差是初始温差 ( (T0 -Tb) ) 的的36.8%（温度未变

18、分率温度未变分率） 即即一个时间常数一个时间常数是物体温度是物体温度 ( (T-Tb) )相对初始温差变化相对初始温差变化了总变量的了总变量的 63.2 % 所需要的时间所需要的时间。 用用 tr 表示，即表示，即368. 010 eTTTTbbhAVCtr 当当 t = tr 时，有时，有 tVChAbbeTTTT 0当当 t = tr 时，时， TbT已变分率已变分率 0.6321个时间常数个时间常数368. 010 eTTTTbb有有hAVCtr T0未变分率未变分率 0.368当当 t = 4 tr 时时， 未变分率未变分率此时即可认为此导热过程已达到此时即可认为此导热过程已达到稳定状

19、态稳定状态。 它反映了薄壁物体动态过程的一种性质它反映了薄壁物体动态过程的一种性质，tr 越小，响应就越越小，响应就越快快。018. 040 eTTTTbb时间常数时间常数 tr 是物体在一定换热条件下的属性是物体在一定换热条件下的属性 368. 010 eTTTTbb时间常数时间常数 tr时间常数时间常数 trv由由该式作为指导，工程制作该式作为指导，工程制作时，希望时，希望热电偶的热电偶的 tr 要小。要小。v能在尽可能短的时间内反映流体温度的变化能在尽可能短的时间内反映流体温度的变化意味着意味着：q热电偶材料的热容热电偶材料的热容, V, C 要小要小， q热电偶的体积热电偶的体积 V/

20、A 要小要小, q热电偶尽量放在气流大的位置热电偶尽量放在气流大的位置，即即 h 要要大大。hAVCtr 式中长度因次式中长度因次 V/A 为物体的体积与其传热表为物体的体积与其传热表面积之比，对于不同的规则物体分别有面积之比，对于不同的规则物体分别有 ： 3RAV 23434RR ： 2RAV RLLR 22RL ： 6LAV 236LL式中式中 R 为柱和球的半径为柱和球的半径，L 为柱长或正立方体的边长为柱长或正立方体的边长。 集总热容法集总热容法将指数的准数代入上述温度分布式将指数的准数代入上述温度分布式（7-28），），得到得到 （7-32）上式反映了薄壁物体在环境温度为常数的对流传

21、热条件下，上式反映了薄壁物体在环境温度为常数的对流传热条件下，物体内的温度随时间物体内的温度随时间呈指数衰减变化关系呈指数衰减变化关系。 00FBibbeTTTT 瞬时热流量瞬时热流量： ATThQb)( 上面分析了温度随时间的变化关系，上面分析了温度随时间的变化关系， 现在设法找出物体与环境的热交换量，现在设法找出物体与环境的热交换量， 即物体传热量随时间变化关系即物体传热量随时间变化关系。)(0btVChATTeAh 集总热容法集总热容法 (Bi 0.1)集总热容法集总热容法 (Bi 0.1) tTdtQQ0 ttVChAbdthAeTT00)( 以上讨论的均为物体被以上讨论的均为物体被冷

22、却冷却的情况，同样可以对被的情况，同样可以对被加热加热或边界条件换为其他形式时的薄壁物体的导热进行求解或边界条件换为其他形式时的薄壁物体的导热进行求解。 )(0btVChATTeAhQ )1()(0tVChAbeVCTT 从从 0 到到 t 时刻间所交换的时刻间所交换的： 【例例】应用举例应用举例 John警长，在一炎热夏天的警长，在一炎热夏天的凌晨凌晨2 2点，从食品点，从食品冰库中发现一具被害尸体，发现时体温为冰库中发现一具被害尸体，发现时体温为8 0C，1 1小时后体温降为小时后体温降为0 0C，冰库温度为冰库温度为30 0C。因为被害者被放在某个通风不良的角落中，因因为被害者被放在某个

23、通风不良的角落中，因此对流换热系数此对流换热系数h很小，由此推断很小，由此推断 Bi 0.1 。请您根据以上数据请您根据以上数据, , 初步判断被害人是什么时初步判断被害人是什么时候遇害的候遇害的？ tce 当当 t=1h 时时， 冰库温度为冰库温度为30 0C得得： 236. 0 c求遇害时间求遇害时间： )30()30( 378发现时体温为发现时体温为8 0C说明遇害人被害时间约在前一天晚上说明遇害人被害时间约在前一天晚上11点点30分分。 解得解得：1 cete236. 0 )30(8)30(0 1 1小时小时后体温后体温从从8 0C降为降为0 0CtCAhVbobeTTTT / 【解解

24、】 因为因为Bi0.1） v所谓半无限大物体是指这样一类物体，当该物体一个边所谓半无限大物体是指这样一类物体，当该物体一个边界上换热条件发生变化时，在给定时间内物体总界上换热条件发生变化时，在给定时间内物体总存在存在某个部分，其温度不发生变化。某个部分，其温度不发生变化。 v如如就是一个例子，当地表温度发生变化时，地就是一个例子，当地表温度发生变化时，地表面以下总存在某个区域不受这个变化影响表面以下总存在某个区域不受这个变化影响。 v这类导热又可分为表面热阻这类导热又可分为表面热阻可以忽略可以忽略和表面热阻和表面热阻不可不可以忽略以忽略的两种情况的两种情况。 1）表面热阻可以忽略的情况表面热阻

25、可以忽略的情况 v现假定有一半无限大物体，其现假定有一半无限大物体，其初始温度初始温度T T0 0为均匀分为均匀分布在物体内部，布在物体内部，v在在 t = 0 时刻时刻，在在 x = 0 处的处的表面温度突然上升到表面温度突然上升到Ts（无表面热阻的结果无表面热阻的结果) )，并保持不变，见图，并保持不变，见图。 v试确定此情况下物体温度随时间和位置的变化关系试确定此情况下物体温度随时间和位置的变化关系 T = f ( x, t ) v求热流通量求热流通量 q 的变化关系的变化关系。 半无限大物体内温度随时间的变化半无限大物体内温度随时间的变化图图 （ Ts T0 加热过程）加热过程）B.C

26、.I温度没变化部分温度没变化部分与上图不同，讲义给出的是冷却的例子。与上图不同，讲义给出的是冷却的例子。（1）方程及定解条件方程及定解条件 22xTtT :IC:BCSTTx , 0 0, 0TTt 0,TTx 导热微分方程导热微分方程： 定解条件定解条件： （2）方程求解方程求解 引入一个新的引入一个新的组合变量组合变量： tT tT )2(tT xT tT 41 22xT 代入上式代入上式2241 Tttx 4 23)21(4 txT 于是对复合函数进行求导于是对复合函数进行求导： xT 22xTtT 代入导热微分方程使其转变为代入导热微分方程使其转变为常微分方程常微分方程： deTTTT

27、ss 0022或或 高斯误差函数高斯误差函数 半无限大物体的温度分布半无限大物体的温度分布式中高斯误差函数是一标准函数，可从附录中查取式中高斯误差函数是一标准函数，可从附录中查取。 0222 ddTdTd)()4(0 GtxerfTTTTss 积分上式，并代入积分上式，并代入定解条件定解条件得到得到温度分布表达式温度分布表达式 (7-44)TsT0T未变分率未变分率0TTTTss 方程的左侧为无因次温度，其物理意义是方程的左侧为无因次温度，其物理意义是 温度的未变分率温度的未变分率（3）讨论讨论 )4(0txerfTTTTss c. 在同一时刻在同一时刻 t ，随距离增加温度下降；随距离增加温

28、度下降；d. 方程中有三个未知数方程中有三个未知数 x , t , T， 只要知道其中只要知道其中2 2个，即可求出另外一个个，即可求出另外一个。b. 在同一在同一 x 处，随时间的增长温度升高处，随时间的增长温度升高；0TTTTss 1tx 1tL 当当，此时此时 x 为渗透深度为渗透深度可则按半无限大物体处理可则按半无限大物体处理。 实际应用时常写成实际应用时常写成 1 . 020 LtF xx=0 处的斜率处的斜率0TT e. 当当F0 0的任一时刻平板内的温度分布的任一时刻平板内的温度分布。 由于平板两个表面与环境对流换热情况一样，由于平板两个表面与环境对流换热情况一样，故温度分布为中

29、心对称面（中心面温度对称故温度分布为中心对称面（中心面温度对称 相当于绝热面）；相当于绝热面）；取直角坐标系，取直角坐标系，x = 0 的平面取在平板的中心的平面取在平板的中心面上，如图面上，如图7-67-6所示。只需研究厚度为所示。只需研究厚度为2L2L的一的一半平板即可。半平板即可。下面对这一导热情况建立方程和进行求解下面对这一导热情况建立方程和进行求解。 1 1）忽略表面热阻的非稳态导热）忽略表面热阻的非稳态导热 时间时间表面温度表面温度任意时刻任意时刻 温度温度x离板中心的位置离板中心的位置初始温度初始温度大平板的非稳态导热大平板的非稳态导热图图（B.C.I）q下面对这一导热情况建立方

30、程和进行求解下面对这一导热情况建立方程和进行求解。q由于由于y和和z方向无限大，因此有方向无限大，因此有q该问题的该问题的x向导热微分方程向导热微分方程可写为可写为 0 zy1 1）忽略表面热阻的非稳态导热）忽略表面热阻的非稳态导热 微分方程及定解条件微分方程及定解条件 一维导热微分方程一维导热微分方程： 定解条件定解条件： ( (板内初始温度均匀板内初始温度均匀) ) .CB0, 0 xTx 0, 0.TTtCI 22xTtT STTLx , 为求解方便，先将方程准数化，分别设定为求解方便，先将方程准数化，分别设定准数位置准数位置 /20LtF 准数温度准数温度 将准数变量代入因次方程，得：

31、将准数变量代入因次方程，得： 22xTtT 从上面看，方程并没有因为准数变化得到简化从上面看，方程并没有因为准数变化得到简化220nF SSTTTT 0 准数时间准数时间Lxn 相应的定解条件改写成相应的定解条件改写成 .CI /20LtF 0, 0TTt SSTTTT 0 .CB0, 1 n0, 0 xTx 定解条件却因此得到很大的简化，均成为定解条件却因此得到很大的简化，均成为0 0，1 1型型。 0, 0 nn STTLx , 1, 00 FLxn 方程通解方程通解 可采用分离变量法求此方程。假定方程的解为可采用分离变量法求此方程。假定方程的解为两个函数的乘积，两个函数的乘积，即即 22

32、0nF 令令 02)cos()sin(1FaiiiiiienaBnaA 解得（解题过程略）方程的解得（解题过程略）方程的通解通解为：为： 方程的通解方程的通解适用于厚平板非稳态导热的各种边界条件适用于厚平板非稳态导热的各种边界条件式中有三个未定常数式中有三个未定常数)()(0FYnX 方程特解方程特解 02)cos()sin(1FaiiiienaBinaAi 平板双向导热温度分布方程（平板双向导热温度分布方程（B.C.I） （7-71）上式为忽略表面热阻，平板双向导热时，物体内的温度分布方程上式为忽略表面热阻，平板双向导热时，物体内的温度分布方程 1)2/1(002)2/1cos()12()1

33、(4iFiiSSeniiTTTT 式中三个未定常数，分别由初始条件和边界条式中三个未定常数，分别由初始条件和边界条件代入通解求得件代入通解求得特解特解： 平板双向导热温度分布方程还可用平板双向导热温度分布方程还可用 于平板的一个端面为于平板的一个端面为绝热面绝热面，另一，另一 断面突然升温至断面突然升温至Ts情况下的计算。情况下的计算。此种情况相当于双向导热的一半平此种情况相当于双向导热的一半平板的导热问题，即从板中心（绝热板的导热问题，即从板中心（绝热面）至另一端面的导热。面）至另一端面的导热。最常见的例子是防火墙，即墙的一最常见的例子是防火墙，即墙的一面突然升至面突然升至Ts ，热流不稳定

34、地通入，热流不稳定地通入墙壁，墙的另一面绝热。墙壁，墙的另一面绝热。【例例】 有一厚度为有一厚度为0.04m0.04m的平板，其导温系数的平板，其导温系数=0.0028 =0.0028 m m2 2/s/s，平板的初始温度平板的初始温度7070，现同时将平板两侧表面温度突然现同时将平板两侧表面温度突然提高到提高到292292。求其中心温度升高到。求其中心温度升高到290290时所需时间？时所需时间？ 【解解】： SSTTTT 0 LXn 0 代入方程代入方程 009. 029270292290 1)2/1(002)2/1cos()12()1(4iFiiSSeniiTTTT .51314009.

35、 0020202)2/5()2/3()2/( FFFeee 代入方程代入方程 则用则用试差法试差法作为第一次近似解，只考虑取一级，解得：作为第一次近似解，只考虑取一级，解得： 01. 24009. 0ln)/2(20 F为了求时间，必须先求为了求时间，必须先求F0，级数太多无法直接求时，级数太多无法直接求时， 01. 24009. 0ln)/2(20 F20LtF 现在检验级数中第二项之后的量现在检验级数中第二项之后的量是否可以忽略是否可以忽略。 hLFt287. 00028. 002. 001. 2220 又因为又因为 )5131(41246 .4494. 4 eee 当当 F0 0.55

36、时只需取时只需取1 1级，工程上一般取级，工程上一般取3 35 5级级。 显然，显然，只取一级只取一级是满足精度要求的，也是满足精度要求的，也说明该无穷级数说明该无穷级数收敛很快收敛很快， 55201058. 310806. 100889. 0 时时，在在01. 20 Fv在上节中只考虑了平板内部的导热。更多的导在上节中只考虑了平板内部的导热。更多的导热过程中，壁温热过程中，壁温 Ts 降低不那么快降低不那么快，是未知的。是未知的。v而流体温度而流体温度 Ts 和和 对流传热系数对流传热系数 h ，往往是可，往往是可测的是已知的。测的是已知的。v由于壁面两侧流体温度和传热系数均相同，板由于壁面

37、两侧流体温度和传热系数均相同，板内温度分布是对称的，只要求得其中一半的分内温度分布是对称的，只要求得其中一半的分布即可，见下图。布即可，见下图。 2 2）不可忽略表面热阻的非稳态导热不可忽略表面热阻的非稳态导热 ).(IIICB大平板的非稳态导热大平板的非稳态导热（B.C.III） 初始温度初始温度环境温度环境温度壁面温度逐渐降低壁面温度逐渐降低 方程及定解条件方程及定解条件 导热微分方程导热微分方程 0, 0.TTtCI .CBLxbxTkTThLx |)(,若可忽略表面热阻若可忽略表面热阻STTLx ,0, 0 xTx 定解条件定解条件 22xTtT 方程的解方程的解采用分离变量法采用分离

38、变量法（过程略），得到一含有无穷级数的解（过程略），得到一含有无穷级数的解taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTTT2)cos()sin()cos()sin(210 方程解的分析方程解的分析（7-75）方程中方程中： (1) (1) ai i与与Bi 数数有关有关： (3) (3) x可以整理成与准数可以整理成与准数位置位置 n 有关有关的函数：的函数： 20LtF Lxn (2) (2) e 的指数可以整理成与的指数可以整理成与 有关的有关的函数函数: : LkhBi 考虑表面热阻的大平板非稳态导热的考虑表面热阻的大平板非稳态导热的taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTT

39、T2)cos()sin()cos()sin(210 所以上式可以表示为所以上式可以表示为 下面先讨论下面先讨论 2 2种种 特殊情况特殊情况以以 F0, Bi, n 为参数进行图解法为参数进行图解法),(00nBiFfTTTTbb taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTTT2)cos()sin()cos()sin(210 特殊情况的讨论特殊情况的讨论i) )当当Bi 时，时，h ，外部对流热阻可以忽略，外部对流热阻可以忽略 )2/1( iaiai 代入（代入（7-757-75）得到温度分布（）得到温度分布（7-857-85） 1)2/1(002)2/1cos()12()1(4iFii

40、SSeniiTTTT B.C.III B.C.I，即，即 x = 0, T = Ts, 有有可视为的薄壁物体的非稳态导热，温度分布为可视为的薄壁物体的非稳态导热，温度分布为 式中与式中与位置位置有关的变量有关的变量被消去了被消去了。 iii) ) 当当Bi介于两者之间，则采用介于两者之间，则采用无穷级数解无穷级数解。 00FBbbieTTTT ii) ) 当当Bi 0 0时，时，k , ,内部导热热阻可以忽略内部导热热阻可以忽略0t 时间内，通过端面时间内，通过端面L处的热通量处的热通量 12)/(20cossin)(1 sin)(22iiiiiLtLaibLaLaLaLaeLaTTkLi )

41、(2mJ tLxLdtxTkq0|B.C.IB.C.III广平板导热广平板导热TbTbTsTsq由上讨论可见，非稳态导热时，无限大平板中的由上讨论可见，非稳态导热时，无限大平板中的温度分布是一个无穷级数形式。温度分布是一个无穷级数形式。q对于半径对于半径R的无限长的无限长和圆球一维非稳态导热和圆球一维非稳态导热过程，其温度分布，也同样可采用分离变量法，过程，其温度分布，也同样可采用分离变量法，其解是含有贝塞尔函数的无穷级数解。其解是含有贝塞尔函数的无穷级数解。q海斯勒（海斯勒（Heisler）出于工程计算的目的，将平板、）出于工程计算的目的，将平板、圆柱和圆球的一维非稳态导热分析解分别绘制成圆

42、柱和圆球的一维非稳态导热分析解分别绘制成图解形式，给计算带来极大的方便。图解形式，给计算带来极大的方便。q本书仅介绍本书仅介绍 F F0 00.020.02的近似解，其他情况查有关的近似解，其他情况查有关图解。图解。4 4一维非稳态导热的速算图一维非稳态导热的速算图 v图图7-7、图、图7-8和图和图7-9分别给出了计算无限大平板、无限分别给出了计算无限大平板、无限长圆柱和球体温度的曲线。长圆柱和球体温度的曲线。v所有情况，都以所有情况，都以 Tb b 表示对流环境温度，并假设初始温表示对流环境温度，并假设初始温度均匀为度均匀为 T0 0v图中以准数时间图中以准数时间F0 0为横坐标，以热阻比

43、为横坐标，以热阻比 m =1/=1/Bi 为参变为参变量量v由由F0 0 和和 m 这这 2 个个参数查出物体的温度。参数查出物体的温度。图图7-147-14 厚度为厚度为2L2L的无限大平板中间平面温度的无限大平板中间平面温度p185p185BihLkm1 bbTTTtT 0), 0(20LtF 图图7-157-15 半径为半径为 R R 的无限的无限长圆柱长圆柱的轴线温度的轴线温度p18520RtF bbTTTtT 0), 0(图图7-167-16 半径为半径为 R 的的圆球圆球的的中心温度中心温度p186q如果要计算离开中心截面如果要计算离开中心截面任意位置任意位置处的处的温度温度q平板

44、平板选图选图7-17、圆柱圆柱选图选图7-18、圆球圆球选选图图7-19q从中查得以中心温度为函数的温度值，从中查得以中心温度为函数的温度值，然后将由两张图得到的数值相乘，即可然后将由两张图得到的数值相乘，即可得到任意位置的温度。得到任意位置的温度。4 4一维非稳态导热的速算图一维非稳态导热的速算图 图图7-17 以以中心温度中心温度为函数的大为函数的大平板内温度分布平板内温度分布p186任意位置任意位置 温度温度中心面中心面 温度温度bbTtTTtxT ), 0(),(hLk图图7-18 7-18 以中心温度为函数的以中心温度为函数的圆柱圆柱内温度内温度分布分布 p187图图7-19 7-1

45、9 以中心温度为函数以中心温度为函数的的圆球圆球内温度内温度分布分布 p187q由由图图7-207-20，图图7-217-21，图图7-227-22(p188,189)(p188,189)可以查可以查到无限大平板、无限长圆柱和圆球在某时间内到无限大平板、无限长圆柱和圆球在某时间内得到或失去得到或失去热量热量Q。q其中其中Q0 0 表示初始温度为表示初始温度为T0 0 的物体放在温度为的物体放在温度为T Tb b 的环境中，物体的环境中，物体所能取得或释放的热量所能取得或释放的热量q这个热量等于物体内能的变化，即这个热量等于物体内能的变化，即)(00bTTCVQ 图图7-207-20 大平板大平

46、板随时间变化的无量纲热损失随时间变化的无量纲热损失p188p18822kth )(00bTTCVQ khL0QQ图图7-217-21 长圆柱长圆柱随时间变化的无量纲热损失随时间变化的无量纲热损失 p188p188图图7-227-22 圆球圆球随时间变化的无量纲热损失随时间变化的无量纲热损失 p189p1895 5二维、三维非稳态导热二维、三维非稳态导热v以上讨论以一维非稳态导热为主。以上讨论以一维非稳态导热为主。v但实际情况多为二维、三维导热，其解但实际情况多为二维、三维导热，其解非常复杂，本课不做详细介绍，只介绍非常复杂，本课不做详细介绍，只介绍称为称为Newman法则的简便方法。法则的简便

47、方法。v以此方法将一维导热的分析解推广应用以此方法将一维导热的分析解推广应用到多维导热的问题。到多维导热的问题。 牛曼（Newman）法则法则 vNewman法则认为：一些有规则的物体可以看法则认为：一些有规则的物体可以看作是若干个无限尺寸物体的组合。作是若干个无限尺寸物体的组合。v如正方体是三个无限大平板两两正交而成。如正方体是三个无限大平板两两正交而成。v短圆柱是无限大平板与无限长圆柱正交而成。短圆柱是无限大平板与无限长圆柱正交而成。v组合后物体内的温度分布与组合前各个物体内组合后物体内的温度分布与组合前各个物体内温度有关温度有关。 可看成是二个无限大平板正交而成。可看成是二个无限大平板正

48、交而成。其解可看成是二个无限大平板解的乘积其解可看成是二个无限大平板解的乘积2L12L22L1 2L2长方立柱长方立柱 yxyx ,yxyx ,bbxTTTtxT 0),( bbyTTTtyT 0),( 厚度为厚度为 2L2L2 2的平板解的平板解（二维二维导热问题）导热问题）厚度为厚度为 2L2L1 1的平板解的平板解bbyxTTTtyxT 0,),( 2L1 2L2正方体（矩形）正方体（矩形） 可看成是可看成是三个无限大平板三个无限大平板正交而成。正交而成。2L1 2L22L32L1 2L2 2L3其解可看成是三个无限大平板解的乘积其解可看成是三个无限大平板解的乘积 （三维三维导热问题）导热问题）zyxzyx , 短圆柱体短圆柱体 （二维二维导热问题）导热问题）可看成是可看成是无限大平板与长圆柱正交而成无限大平板与长圆柱正交而成。2L2R2L平板平板 长圆柱长圆柱rxrx ,其解为：其解为：2R值得注意的是，有几个一维问题解的乘值得注意的是，有几个一维问题解的乘积得到多维问题解的方法不适用于一切积得到多维问题解的方法不适用于一切边界条件。边界条件。但可以证明对于但可以证明对于 B.C.I 和初始温度均匀和初始温度均匀为常数的情况，