第2章 确知信号

1、第二章第二章 确知信号确知信号主要内容主要内容 信号信号 傅立叶级数与傅立叶变换傅立叶级数与傅立叶变换 频域特性频域特性 时域特性时域特性 了解了解能量信号与功率信号的概念；能量信号与功率信号的概念； 了解了解 频谱频谱、频域密度频域密度的概念和含义；的概念和含义； 掌握掌握 能量谱密度能量谱密度、功率谱密度功率谱密度的概念和性质；的概念和性质； 掌握确知信号掌握确知信号自相关函数自相关函数和互相关函数的概念；和互相关函数的概念；重点：重点：1. 1. 能量谱密度、功率谱密度及相关性质；能量谱密度、功率谱密度及相关性质； 2. 2. 自相关函数的定义及其相关性质。自相关函数的定义及其相关性质。

2、难点：难点：频谱及频域密度的概念和含义。频谱及频域密度的概念和含义。信号的分类信号的分类 确定性信号与随机性信号确定性信号与随机性信号 信号的取值在任何时间都是确定的、可预知信号的取值在任何时间都是确定的、可预知的。的。 不可预知的信号。不可预知的信号。 通信系统中的有用信号和噪声是什么信通信系统中的有用信号和噪声是什么信号？号？ 周期信号：周期信号： 非周期信号：非周期信号：Ot( () )tf( ( ) )nfn( ( ) )nfn模拟信号：时间和幅模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。值均为连续的信号。抽样信号：时间是离散的，抽样信号：时间是离散的，幅值是连续的信号。幅值是连续的信号。数字

3、信号：时间和幅值数字信号：时间和幅值均为离散的信号。均为离散的信号。()tfOt连续时连续时间信号间信号离散时间信号离散时间信号(1)(2)(3)15On1- -100sinw wnt0sin W W1按照能量区分：按照能量区分： (1) 能量信号：能量信号： 通信中功率的定义：电流在单位电阻上消耗的功率（归一化功率）：通信中功率的定义：电流在单位电阻上消耗的功率（归一化功率）： 能量信号能量信号是是信号瞬时功率信号瞬时功率的积分：的积分： 能量信号的定义：能量有限。能量信号的定义：能量有限。 - - dttsE)(2）（WIVRIRVP2222 -dttsE)(02信号电压信号电压或电流的或

4、电流的时间波形时间波形 (2) 功率信号：功率信号： 平均功率平均功率P： 功率信号：平均功率功率信号：平均功率P为有限正值，能量无穷大。为有限正值，能量无穷大。 实际的通信系统：实际的通信系统：功率有限功率有限、持续时间有限持续时间有限，因而能量有，因而能量有限。是一种理论近似。限。是一种理论近似。 能量信号平均能量信号平均功率功率P为零为零-2/2/2)(1limTTTdttsTP是一种理论近似是一种理论近似 (3) 结论结论 能量信号：能量信号：能量等于一个有限的正值，平均功率为能量等于一个有限的正值，平均功率为0； 功率信号：功率信号：功率等于一个有限的正值，能量趋于功率等于一个有限的

5、正值，能量趋于 。2-( )()Ef tdt 连续 ；能量：能量：2( )()nEx n- 离散功率：功率：22210lim( )TTTPf tdtT- ；210lim( )21NNnNPx nN- 非能量非功率：非能量非功率：EP ；单位冲激信号单位冲激信号( )0 (0)( )1ttt dt-（1）)(tt00（1）t)(0tt -0t-1)()(0)(000dttttttt(t)t(1)t212-44-2001( )lim ()()22tu tu t-t(1)(t)001( )lim(1) ()()ttu tu t-22-2t1-单位冲激信号的性质单位冲激信号的性质 取样特性取样特性()

6、 ()(0) ()(1 )f ttftdttfdttft-)()0()()( 偶函数偶函数)()(tt-信号的频域分析信号的频域分析 把信号分解为不同频率的正弦分量的线把信号分解为不同频率的正弦分量的线性组合称为信号的频谱分析性组合称为信号的频谱分析(frequency spectrum)，用频谱分析的观点来分析系，用频谱分析的观点来分析系统称为系统的傅里叶变换（统称为系统的傅里叶变换（Fourier transform）分析法，或频域）分析法，或频域(frequency domain)分析法。分析法。 周期信号的周期信号的傅里叶级数傅里叶级数非周期信号的非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换周期信

7、号的周期信号的傅里叶变换傅里叶变换周期信号（功率信号）的傅里周期信号（功率信号）的傅里叶级数叶级数设周期信号为设周期信号为f(t), 其重复周期是其重复周期是T1,角频率角频率11122Tfw1110)sincos()(nnntnbtnaatfww1( )jntnnf tF ew-三角形式三角形式指数形式指数形式频谱图频谱图 以频率为横轴、以幅度或相位为纵轴直观的观以频率为横轴、以幅度或相位为纵轴直观的观察各频率分量的相对大小和相位情况，这样的察各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为幅度频谱和相位频谱。图就称为幅度频谱和相位频谱。 三角形式三角形式 指数形式指数形式011( )cos(

8、)nnnf tccn tw)(21nnjnnjbaeFFn-2E2E-21T-21T0)(tft1Tnc1w13w15w0wE232E52E01w13w15w2-nwnFE3E5E1w13w15ww1w-13w-15w-2-2n15w-13w-1w-1w13w15ww三角形式三角形式指数形式指数形式 周期性功率信号频谱的性质：周期性功率信号频谱的性质：物理上实信号的频谱物理上实信号的频谱和和数学上的频谱数学上的频谱函数函数之间的关系：之间的关系： (1) 实信号可以表示成包含直流分量实信号可以表示成包含直流分量C0、基波（、基波（n=1时）和各次谐波时）和各次谐波（n=1, 2, 3, ）。称

9、为单边谱，便于实测。）。称为单边谱，便于实测。 (2) 实信号实信号 s(t) 的各次谐波的振幅等于的各次谐波的振幅等于 (3) 实信号实信号 s(t) 的各次谐波的相位等于的各次谐波的相位等于 (4) 频谱函数频谱函数 Cn 又称为又称为双边谱双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。的值是单边谱的振幅之半。22nnba 称为单边谱，称为单边谱，便于实测便于实测便于数学分析便于数学分析【例例】试求周期性方波的频谱。试求周期性方波的频谱。 - - - - - - - tTtstsTttVts),()()2/(2/, 02/2/,)( -2/2/200000)(1)(TTtnfjndtetsTn

10、fCC非周期信号（能量）的傅里叶非周期信号（能量）的傅里叶变换变换 t)(tf22-21T21T-1T1T-E1Tt)(tf22-E1T0211Tw0谱线间隔周期信号的离散谱周期信号的离散谱非周期信号的连续谱非周期信号的连续谱由于由于,1T0)(1221111-TTtjnndtetfTFw-dtetfTFtjnTw)(lim11记为)(wjFF f(t)-dtetftjw)(- - 非周期信号非周期信号f(t) 的的傅里叶变换傅里叶变换)(tf- 傅里叶逆变换傅里叶逆变换-wwwwdejFjFtj)(21)(F 1)()()(wwwjejFjF)(wjF- - 幅度谱幅度谱)(w- - 相位谱

11、相位谱频谱密度频谱密度-频谱密度频谱密度 F(f) 和和 Cn 的主要区别的主要区别：(1) F(f) 是连续谱，是连续谱，Cn 是离散谱；是离散谱；(2) F(f) 的单位是的单位是V/Hz，而，而 Cn 的单位是的单位是 V；(3) 能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以在每个频率点点 f 上信号的幅度是上信号的幅度是无穷小无穷小；只有在；只有在一小段频率间隔一小段频率间隔 df 上才有确上才有确定的非零振幅。而功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限定的非零振幅。而功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确

12、定的多的离散频率点上有确定的非零振幅非零振幅。注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度频谱密度简称为简称为频谱频谱。单位冲激函数的频谱密度单位冲激函数的频谱密度 (t)的频谱密度的频谱密度1)(1)()(-dttdtetftjwf (f)10t (t)0一个矩形脉冲的频谱密度。一个矩形脉冲的频谱密度。 设 2/02/1)( tttga矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/)Hz。周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换1( )jntnnf tF ew-两边作傅立叶变换两边作傅立叶变换-nnnFjF)(2)(1www例：试求无限长余

13、弦波的频谱密度。例：试求无限长余弦波的频谱密度。解：设一个余弦波的表示式为解：设一个余弦波的表示式为f f ( (t t) = cos) = cosw w0 0t t，则其频谱密度，则其频谱密度F F( (w w) )按可以写为按可以写为上式可以改写为上式可以改写为-2)(2)(2lim2/)( 2/)sin(2/)( 2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0wwwwwwwwwwwwwwwSaSadtteFtj)()()(00wwwww-Ftw0w w00(b) 频谱密度频谱密度(a) 波形波形能量谱密度能量谱密度设一个能量信号设一个能量信号s(t)的能量为的能量为E，则其

14、能量由下式决定：，则其能量由下式决定： 若此信号的频谱密度为若此信号的频谱密度为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：，则由巴塞伐尔定理得知： 上式中上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。的信号能量。-dttsE)(2dffSdttsE-22)()( 上式可以改写为：上式可以改写为： 式中，式中，G(f)|S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。为能量谱密度。G(f)的性质：因的性质：因s(t)是实函数，故是实函数，故|S(f)|2 是偶函数是偶函数 -dffGE)(0)(2dffGE功率谱密度（功率谱密度（功率信号的能量无

15、穷大，它的能功率信号的能量无穷大，它的能量谱密度不能计算。）量谱密度不能计算。）令令s(t)的截短信号为的截短信号为sT(t)，-T/2 t T/2，则有，则有 定义功率谱密度为：定义功率谱密度为： 得到信号功率：得到信号功率：dffSdttsETTTTTT-2/2/22/2/2)()(2)(1lim)(fSTfPTT-dffPdffSTPTTTT)()(1lim2/2/2若若x(t)x(t)和和y(t)y(t)为实函数且为能量有限信号为实函数且为能量有限信号, ,则相关函数则相关函数为：为：dtytxRxy)()()(-dttxtyRyx)()()(若若x(t)x(t)和和y(t)y(t)为

16、实函数且为功率有限信号为实函数且为功率有限信号, ,则相关函数则相关函数为：为：dtytxTRTTTxy)()(1lim)(2/2/-dtxtyTRTTTyx)()(1lim)(2/2/-相关函数相关函数能量信号的自相关函数与能量谱密度能量信号的自相关函数与能量谱密度dtdeFtftj-)(21)()(wwwdttftfR-)()()(wwwwdedtetfFjtj)()(21-wwwwdeFFj)()(21-wwwdeFj-2)(21其他形式其他形式 功率信号的自相关函数与功率谱密度功率信号的自相关函数与功率谱密度 能量信号的互相关函数与能量谱密度能量信号的互相关函数与能量谱密度 功率信号的

17、互相关函数与功率谱密度功率信号的互相关函数与功率谱密度 性质性质： 当当 = 0= 0时，自相关函数时，自相关函数 R R(0) (0) 等于信号的平均功率：等于信号的平均功率： 功率信号的自相关函数也是偶函数。功率信号的自相关函数也是偶函数。功率信号的自相关函数功率信号的自相关函数 - - - - 2/2/)()(1lim)(TTTdttstsTR PdttsTRTTT - - 2/2/2)(1lim)0(周期性功率信号周期性功率信号： R( ) 和功率谱密度和功率谱密度 P(f) 之间是傅里叶变换关系：之间是傅里叶变换关系： - - - - 2/2/000)()(1)(TTdttstsTR

18、 - - - - - deRfPdfefPRfjfj22)()()()(性质性质： R12( ) 和时间和时间 t 无关，只和时间差无关，只和时间差 有关。有关。 R12( ) 和两个信号相乘的前后次序有关：和两个信号相乘的前后次序有关：R21( )=R12( ) 互相关函数互相关函数 R12( ) 和互能量谱密度和互能量谱密度 S12(f) 是一对傅里叶变换是一对傅里叶变换能量信号的互相关函数能量信号的互相关函数 - - - - 2/2/2112)()()(TTdttstsR 互能量谱密度的定义为：互能量谱密度的定义为：)()()(2*112fSfSfS - - - - - - deRfSdfefSRfjfj2121221212)()()()(性质性质： R12( ) 和时间和时间 t 无关，只和时间差无关，只和时间差 有关。有关。 R12( ) 和两个信号相乘的前后次序有关：和两个信号相乘的前后次序有关：R21( )=R12( ) 若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为：写为：功率信号的互相关函数功率信号的互相关函数