一元二次方程根的判别式的综合应用

1、一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1. 一元二次方程 ax 不解一元二次方程，判断根的情况。例 1 不解方程，判断下列方程的根的情况： 2x2+3x-4=0(2)ax 2+bx=0(a0)2解： (1) 2x 2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4,22 =b2-4ac=3 2- 4×2×(-4)=41>0方程有两个不相等的实数根。 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例 5、( 1)若关于 a 的二次三项式 16a2+ka+25 是一个完全平方式则 k 的值可能是( )( 2)若关于 a 的二次三项式 ka2+4a+1 是一个完全平方式则

2、 k 的值可能是() ;分析：可以令二次三项等于 0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实 数根。即 =02解：( 1)令 16a2+ka+1=0方程有两个相等的实数根，+bx+c=0(a0)的根的判别式 =b2-4ac 。定理 1 ax 2 +bx+c=0(a 0)中， >0 方程有两个不等实数根 .定理 2 ax 2 +bx+c=0(a 0)中， =0 方程有两个相等实数根 .定理 3 ax 2 +bx+c=0(a 0)中， <0 方程没有实数根 .2、根的判别式逆用(注意：根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。定理 4 ax 2 +bx+c=0(a 0)中，方程有两

3、个不等实数根>0.定理 5 ax 2 +bx+c=0(a 0)中，方程有两个相等实数根0.定理 6 ax 2 +bx+c=0(a 0)中，方程没有实数根<0.注意 ：( 1)再次强调：根的判别式是指 =b2-4ac 。( 2)使用判别式之前一定要先把 方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、 c 的值。 (3) 如果说方程 有实数根 ，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2- 4ac0切勿丢掉等号。 (4) 根的判别式b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.0，故方程有两个实数根。二. 根的判别式有以下应用： 根据方

4、程根的情况，确定待定系数的取值范围。例 2k 的何值时？关于 x 的一元二次方程 x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根；( 2)有两个相等的实数根；( 3)没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知(1) > 0；( 2) =0；( 3) < 0；2解： =(-4) 2- 4·(k -5)=16-4k+20=36-4k(1)方程有两个不相等的实数根，>0，即 36-4k >0. 解得 k<9(2)方程有两个不相等的实数根，=0，即 36-4k =0.解得 k=9(3) 方程有两个不相等的实数根，<0，即 36-4k <0.解得 k

5、>9 证明字母系数方程有实数根或无实数根。2 2 2例 3求证方程 (m2+1)x 2-2mx+(m2 +4)=0 没有实数根。分析：先求出关于 x 的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明 了该方程没有实数根。2 2 2证明： =(-2m) -4(m +1)(m +4)2 4 2=4m-4(m +5m+4)4 2 4 2=-4m -16m -16=-4(m +4m+4)22=-4(m +2)22不论 m取任何实数 (m+2) >0,22 -4(m +2) <0, 即<0.关于 x 的方程 (m2+1)x 2-2mx+(m2+4)=0 没有实数根。小结：

6、由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：(1)计算(2)用配方法将 恒等变形( 3)判断的符号( 4)结论 .其中难点 是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a 2+2,(a 2+2) 2, -a 2, -(a 2+2) 2 的代数式，从而判定正负，非负等情况。例 4已知：22a、 b、c 为 ABC的三边，当 m>0时，关于 x 的方程 c(x 2+m)+b(x 2-m)-2ax=0 有两个相等的实数根。求证 ABC为 Rt。证明：整理原方程：22整理方程得：cx+cm+bx2-bm-2ax =0ax =0.(c+b)x2-2ax +cm-bm=0方程 c(x +m)+

7、b(x -m)- 2根据题意：方程有两个相等的实数根， =(-2a) 2-4(c+b)(cm-bm)=02 2 24ma-4(c m-bcm+bcm-b m)=02 2 2 ma-c m+bm=0 =m(a2+b2-c 2)=02 2 2 2 2 2又 m>0,a2+b2-c 2=0a2+b2=c2又 a,b,c 为 ABC的三边，k=4 ABC为 Rt。一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程 ，当判别式 时， 其求根公式为： ；若两根为，当 0 时，则两根的关系为： ； ，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的 逆定理也是成立的，即当 ， 时，那么 则是的两根。一元二

8、次方程的根与系数的关系，综合性强， 应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例 1：已知关于 的方程（ 1）有两个不相等的实数根，且关于 的方程（ 2）没有实数根，问 取什么整数时，方程（ 1）有整数解？解：方程（ 1）有两个不相等的实数根，解得 ；方程（ 2）没有实数根，解得 ；于是，同时满足方程（ 1），（ 2）条件的 的取值范围是 ， 其中， 的整数值有 或当 时，方程（ 1）为 ，无整数根；当 时，方程（ 1）为 ，有整数根。解得：所以，使方程（ 1）有整数根的 的整数值是 。二、判别一元二次方程两根的符号。例 1：不解方

9、程，判别方程两根的符号。解： ， 4×2×( 7)65>0方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为 ，<0原方程有两个异号的实数根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例 2：已知方程的一个根为 2，求另一个根及 的值解法一： 把代入原方程，得：即当 时，原方程均可化为： ，解得：方程 的另一个根为 4， 的值为 3 或1解法二： 设方程的另一个根为 ，根据题意，利用韦达定理得： ，把 代入 ，可得：把 代入 ，可得： ，即, 解得方程 的另一个根为 4， 的值为 3 或1。例 3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大 2

10、1，求 的值。解： 方程有两个实数根，解这个不等式，得 0 设方程两根为 ，则， 整理得：解得：又 ，四、运用判别式及根与系数的关系解题。例 5：已知 、 是关于 的一元二次方程 的两 个非零实数根，问 和 能否同号？若能同号，请求出相应的 的取值范围； 若不能同号，请说明理由，解：因为关于 的一元二次方程 有两个非零实数根，则有又 、 是方程 的两个实数根，所以由一元二次方 程根与系数的关系，可得：，假设 、 同号，则有两种可能：1)2)若0 r冷0,则有:-(/M 1) < 012小/ > 0即有:&解这个不等式组，得/1朋2时方程才有实树根，此种情况不成立。则有:xl

11、 + x2 > 0兰1 勺> 0-(血1) > 0即有:解这个不等式组，得 牌1;炮三丄嗨乞丄又? , 当 2时，两根能同号六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。-例：已知4、用是方程工十2x-5二°的两个实数根，求卜却+2d的值解法一：由于戸是方程只+"-*°的实数根，所以+2/?-5 = 0设a2 4-+ 2a = M 。+如+加与0，+20-庁相加得.Af = (34-Of+2a) + (+2/5-5=(/ + 旳 4 2© +5刖+2(叭冈-妙7 (变形目的是构造Q + 0和即)根据根与系数的关系，有：-5 ,于是，

12、得:M= (-2)3 +2(-2)-(-5)-5解法二： 由于 、 是方程 的实数根，有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这 时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化 繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考 查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例 8：已知两方程和 至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。解： 设两方程的相同根为 ， 根据根的意义，有，两式相减，得当 时， ，方程的判别式，方程无实数解当 时， 有实数解代入原方程，得 ，所以于是，两方程

13、至少有一个相同的实数根， 4 个实数根的相乘积为【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于 的方程 的两根之差为 2，那么。2、已知关于 的一元二次方程 两根互为倒 数，则 。3、已知关于 的方程 的两根为 ，且，则 。4、已知 是方程 的两个根，那么；。5、已知关于 的一元二次方程 的两根为 和 ， 且，则 。6、如果关于 的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ， 的值为 。7、已知是 的一根，则另一根为 ， 的值为。8、一个一元二次方程的两个根是和 ，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题：1、已知是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。2、已知系，求是方程 的两个根，利用根与系数的

14、关 的值。3、已知是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。4、已知两数的和等于 6，这两数的积是 4，求这两数。5、已知关于 x 的方程的两根满足关系式，求 的值及方程的两个根。6、已知方程和 有一个相同的根，求 的值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数 在什么范围取值时，方程 有正的实数 根？2、已知关于 的一元二次方程（ 1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有两个不相等 的实数根。（2）若这个方程的两个实数根、 满足 ，求的值。3、若，关于 的方程有两个相等的正的实数根，求 的值。4、是否存在实数 ，使关于 的方程 的两个 实根 ，满足 ，如果存在，试求出所有满足条件的 的

15、 值，如果不存在，请说明理由。5、已知关于 的一元二次方程 （ ）的两 实数根为 ，若 ，求 的值。6、实数 、 分别满足方程 和 ，求 代数式 的值。增长率问题：1、某产品原来每件 600 元，由于连续两次降价，现价为 384元， 如果两次降价的百分数相同，求每次降价百分之几？2、某学校农场粮食的产量两年内由 5000 吨增加到 7200 吨，则 平均每年增长的百分率是多少？3、生产某产品，原来每件的成本价是 500 元，销售价是 625 元， 经市场预测，该产品销售价第一月将降低 20%，第二个月将 比第一个月提高 6%，为了使两个月后的原销售利润不变， 该产品的成本价平均每月应降低百分之

16、几？4、某市为争创全国文明卫生城 2008 年市政府对市区绿化工 程投入的资金为 2000万元， 2010年投入的资金为 2420万 元，且从 2008年到 2010 年两年间投入的资金的平均增长率 相同，求该市对市区绿化工程投入资金的 年平均增长率 L利润问题：1. 某百货商店服装专柜在销售中发现，一种品牌的童装平均每 天可售书 20 件，每件盈利 40 元。为了迎接“六一”国际儿 童节，商场决定采取减价措施以扩大销售量，减少库存，增 加盈利。经市场调查发现：每降价 1 元，那么平均每天就可 多售出 2 件，要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元， 那么每件童装应降价多少元？2. 某

17、商场将进货价为 30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售 出 600 个。调查表明：这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量 就将减少10 个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台 灯的单价应降多少元？台灯的售价应定为多少？这时应进台灯 多少个3. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，椐市场分 析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 50 千克；销售单价 每涨 1 元，月销售量就减少 10千克。针对这种水产品的销 售情况，要使月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多 少？4. 新华商场销售甲冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500 元，市场调研表明：当销售价为 29

18、00 元时，平均每天能售出 8 台； 而当销售价每降低 50元时，平均每天就能多售出 4 台，?商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么 这种冰箱的定价应是多少 ?数字问题：1、一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字 大 3 ，则这个两位数是多少？2、一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原两位数的乘积为736，求原两位数。3、三个连续奇数，其中较大的两个数的平方和比最小数的平方的三倍还小 25，则这三个数分别为多少。4、若两个连续正偶数的平方差为 36，则这两个数是多少？5、一个三位数，十位数字比个位数字大 3，百位数字等于十位 上的数字的平方，如果这个三位数，比它的个位数字与十位数 字之积的 25 倍大 202，求这个三位数。几何问题1. 已知线段 AB的长为 a，以 AB为边在 AB的下方作正