最值问题练习

1、 最值问题 一、线段的最值：1.已知：AB与直线相交于点C，点P为直线上一动点.（1）如图1,AP+BP_AB(填不等号), 理由_.(2)点P在_时，能使AP+BP最小.（3）如图2，已知点是点B关于直线的对称点，则P+AP=_+AP, 所以,当点P在_时，也能使BP+AP最小.2.已知：如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则：PBQ周长的最小值为_.3.已知：点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若O的半径长为1，则AP+BP的最小值为_.4.如图，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2

2、，2）,(1) 请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出最小值；(2) 请求出（1）中点P的坐标.（3）请在y轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标.（4）请在y轴上找到一点P，使最大，并求出此时P点的坐标.二：与绝对值有关的最值问题：例1.先阅读下面的材料，然后回答问题：在一条直线上有依次排列的n（n>1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离 图 图如图，如果直线上有

3、3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得从A2到D的这一段，这是多出来的因此P放在A2处是最佳选择不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置（1）：有n台机床时，P应设在何处？（2）：根据问题（1）中的结论，求 的最小值（3）： 求：函数的最大值.三、由不等关系确定的最值问题：利用不等式：例1：某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工。若进行粗加工，每吨加工费用

4、为600元，需天，每吨售价4000元；若进行精加工，每吨加工费用为900元，需天，每吨售价4500元，现将这50吨原料全部加工完.（1） 设其中粗加工x吨，获利y元，求y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；（2） 如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？利用均值不等式：，（当且仅当时等号成立.例2. 已知正实数满足，那么的最小值为 . 用“夹逼法”求最值：在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”.例3. 不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么：此高

5、的最大值可能为_. 利用非负数的性质：在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即 的最小值为k.例4. 设a、b为实数，求：的最小值为_.四、数形结合求最值问题：例1 、求：函数y=的最小值.五、由垂线段确定的最值问题  ：例1：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变若城市所受风力达到或超过四级，则

6、称为受台风影响（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 变式：在锐角三角形ABC中，BC=，ABC=45°，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 .六、利用函数的性质求最值问题：例1 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：AB成本(万元/套)2528售价(万元/套)3034 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案

7、? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大? 注：利润=售价-成本例2：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益租金收入支出费用）为y（元）。（1）用含x的代数式表示未出租的设

8、备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？七. 利用判别式与不等式求解：例1. 求：的最大值与最小值.变式：已知：x、y为实数，且满足，求：实数m最大值与最小值.八. 构造函数法：“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数. 例1. 求：代数式的最大值和最小值。 变式. 求函数的最值.&

9、#160; 九、其它最值问题： 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线 变式：1.如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 。2点A、均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则：3.如图，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则

10、：线段EF长度的最小值为 4.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值5.ABOMNP如图，AOB30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP6，当PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 【课后练习】：1.如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120

11、6;，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）A1 B C 2 D12.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm3.如图，四边形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为（ ）A130° B120° C110° D100°4.如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点

12、C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则PAPB的最小值是。5.如图，正方形ABCD的边长是4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 OyxACB6. 正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BCCD上两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm27. 如图，在边长为2的菱形中，=60°，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接,则长度的最小值是_.8已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限

13、，连结OC，则OC的长的最大值是 9如图6，在中，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）ABC5D48BCEFA图69如图，AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是11如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为(1，0)，半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是（ ） A2 B1 C D12如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB3，BAD45°,按下列步骤进行裁剪和拼图.第一步：如图，将平行四

14、边形纸片沿对角线BD剪开，得到ABD和BCD纸片，再将ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到ABE和ADE纸片；第二步：如图，将ABE纸片平移至DCF处，将ADE纸片平移至BCG处；第三步：如图，将DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于PQM处（边PQ与DC重合，PQM与DCF在CD同侧），将BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于PRN处（边PR与BC重合，PRN与BCG在BC同侧）。则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为_.13.锐角ABC中，BC6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MNBC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC公

15、共部分的面积为y（y 0）,当x ，公共部分面积y最大，y最大值 ,14如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 15、如图 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点 ， 则BM+MN的最小值为（ ）A. 10 B. 8 C. 5 D. 616如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和

16、最短，则此时AM+NB=（）17如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 18.在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，D为边OB的中点.（）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；第（18）题yBODCAxEyBODCAx（）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.19.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交

17、DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由20.如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长及点H的坐标；（3）若点K在