画法几何第二章

1、1 本章在掌握点和直线三面投影的基础上，学习平面的投影以及平面上点和直线的投影特性，正确判别直线与平面、平面与平面的相对位置。2第一节第一节 平面的投影平面的投影第二节第二节 平面上的点和直线平面上的点和直线第三节第三节 直线、平面与平面的相对位置直线、平面与平面的相对位置3baacbcaabcbcabcabcdd第一节第一节 平面的投影平面的投影cbaabcbaacbc平面的投影平面的投影4 1投影面垂直面：垂直于一个投影面且与其他两个投影投影面垂直面：垂直于一个投影面且与其他两个投影 面倾斜。面倾斜。 铅垂面 正垂面 侧垂面 2投影面平行面：平行于一个投影面且与其他两个投影投影面平行面：平

2、行于一个投影面且与其他两个投影 面垂直。面垂直。 水平面 正平面 侧平面 3投影面倾斜面：和三个投影面都倾斜。：和三个投影面都倾斜。 平面的投影平面的投影5ZYXabccaba投影特性投影特性 abc 、 a b c 、 a b c 均为均为 ABC的类似形的类似形 aabbccbacYHXZYVABC一般位置平面一般位置平面6ZYXPPH投影特性投影特性 (1) abc重影为一条线重影为一条线 (2) a b c 、 a b c 为为 ABC的类似形的类似形 (3) abc与与OX、 OY的夹角的夹角反映反映 、 角的真实大小角的真实大小ABCacbabab ba b cccYHXZYV铅垂

3、面铅垂面7ZYXQQV 投影特性投影特性 (1) a b c 重影为一条线重影为一条线; (2) abc、 a b c 为为 ABC的类似形的类似形 (3) a b c 与与OX、OZ的夹角的夹角反映反映、 角的真实大小角的真实大小 Ac Ca b Bb ababacccYHXZYV正垂面正垂面8ZYXSWS投影特性投影特性 (1) a b c 重影为一条线重影为一条线 (2) abc、 a b c 为为 ABC的类似形的类似形 (3) a b c 与与OZ、 OY的夹角的夹角反映反映、角的真实大小角的真实大小 CabABcb ababacccYHXZYV侧垂面侧垂面9ZYX 投影特性：投影特

4、性： (1) a b c 、 a b c 重影为一条线，具有积聚性重影为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影水平投影 abc反映反映 ABC实形实形 CABabcbacabcca bbbaac cYHXZYV水平面水平面10ZYX 投影特性：投影特性： (1) abc 、 a b c 重影重影为一条线，具有积聚性为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影正平面投影 a b c 反映反映 ABC实形实形 bacabcbcaCBAcabbacbcaYHXZYV正平面正平面11ZYX 投影特性：投影特性： (1) abc 、 a b c 重影为一条线，具有积聚性重影为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面

5、投影侧平面投影 a b c 反映反映 ABC实形实形 bcbacabcCABaabbbacccaYHXZYV侧平面侧平面12水平面迹线表示法水平面迹线表示法XPVZYXPVPP与与V面交线为正面迹线面交线为正面迹线PV，其具有重影性，其具有重影性， P与与H面没有交面没有交线，故不画出。这种表示即为水平面的迹线表示。线，故不画出。这种表示即为水平面的迹线表示。 其他依此类推。其他依此类推。13铅垂面迹线表示法铅垂面迹线表示法XPVZYXPHP PPVPHP与与H面交线为水平迹线面交线为水平迹线PH，其具有重影性，其具有重影性， P与与V面的交线面的交线PV垂垂直直X轴，故当轴，故当PH画出后，

6、画出后，PV可确定。故在一般情况下，可确定。故在一般情况下， PV可以可以省略。这种表示即为特殊位置平面的迹线表示。省略。这种表示即为特殊位置平面的迹线表示。 其他依此类推。其他依此类推。14MNQPKRn n nkk k mm m p pp qq q r rr 水平面正平面侧平面铅垂面侧垂面正垂面平面的投影平面的投影 分析立体上各平面的投影特性。15ABCaabcbcXMN第二节第二节 平面上的点和直线平面上的点和直线mm nn （1）一直线经过平面上的两个点，则此直线一定属于在该平上。一直线经过平面上的两个点，则此直线一定属于在该平上。Ddd（2） 一直线经过平面上一个点且平行于平面上的另

7、一直线，则此一直线经过平面上一个点且平行于平面上的另一直线，则此直线一定在该平面上。直线一定在该平面上。1.1.平面上取直线平面上取直线平面上点线平面上点线162.2.平面上取点平面上取点ABCMNaabcbcXmm nn 如果点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。如果点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。平面上点线平面上点线17 例题一例题一 已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddeeXacbcab平面上点线平面上点线18aabcbcX 已知在平行四边形ABCD上开一燕尾槽，要求根据其正面投影作出其水平投影。d123412作图步骤：作图步骤：1，作出、的水平投影

8、1、2。2，延长34交bc 、ad于5、6，并作出水平投影5、6，以及在56上的3、4。3，连接1-4-3-2并完成燕尾槽的水平投影。56d5634平面上点线平面上点线191.1.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线aabcbcXddee平面上点线平面上点线AD为为ABC平面上的水平线平面上的水平线CE为为ABC平面上的正平线平面上的正平线20例题例题 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。mnmnrsrs1015ee平面上点线平面上点线aabcbcX211 1平面上的平面上的最大斜度线最大斜度线是指平面上对某个投影面倾角最大的是指平面上对某个投影面

9、倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。平行线相互垂直。3平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。2.2.平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线平面上点线平面上点线22PANnaM2m22平面上点线平面上点线M1m1 1HAM1为为平面平面P上上对对H面的最大斜度面的最大斜度线

10、线。且且am1an23aabcbcXddee 平面上点线平面上点线BM为为ABC平面上对平面上对H面的最大斜度线面的最大斜度线mm nn BN为为ABC平面上对平面上对V面的最大斜度线面的最大斜度线24Xabcdabcd|zD-zE|ee|zD-zE|为为平面平面上上对对面的最大斜度面的最大斜度线线25第三节第三节 直线、平面与平面的相对位置直线、平面与平面的相对位置PDCABP PQA1B1C1D1ABCD 如一直线与平面上任一如一直线与平面上任一直线平行，则此直线必定直线平行，则此直线必定与该平面平行。与该平面平行。 如一平面上的相交两如一平面上的相交两直线对应地平行于另一平直线对应地平行

11、于另一平面上的相交两直线，则此面上的相交两直线，则此两平面必定平行。两平面必定平行。平行问题平行问题26例题例题 试判断直线AB是否平行于定平面 fgfg结论：直线AB不平行于定平面ddecceabba平行问题平行问题27BKA 直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。两直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。两平面相交的交线是一条直线，是两平面的共有线。平面相交的交线是一条直线，是两平面的共有线。AMNCBDEFP相交问题相交问题281.1.重影性法重影性法 如果两相交的几何元素之一在投影面上的投影具有重如果两相交的几何元素之一在投影面上的投影具有重影性，则它们的交点

12、或交线在该投影面上的投影可直接求影性，则它们的交点或交线在该投影面上的投影可直接求得，再利用平面上取点、直线或直线上取点的方法求出交得，再利用平面上取点、直线或直线上取点的方法求出交点或交线的其他投影。点或交线的其他投影。相交问题相交问题29求正垂线AB与倾斜面的交点K。ddececXaba b mmk k1(2)1 2 利用重影点判别可见性相交问题相交问题30求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。ee fh gXabb a ghfk 21k1 (2 ) 利用重影点判别可见性相交问题相交问题31求正垂面DEFG与倾斜面ABC的交线MN。dfcbecXaba egfgdm n mn判别可见性判别可

13、见性相交问题相交问题322.2.辅助平面法辅助平面法 当相交两几何元素都不垂直于投影面时，则不能用重影性作图，可以当相交两几何元素都不垂直于投影面时，则不能用重影性作图，可以通过辅助平面的方法求交点或求交线。通过辅助平面的方法求交点或求交线。一般位置一般位置相交相交（1）过已知直线作一辅助平面（一般为投影面垂直面）。）过已知直线作一辅助平面（一般为投影面垂直面）。（2）作出辅助平面与已知平面的交线。）作出辅助平面与已知平面的交线。（3）再作出该交线与已知直线的交点。）再作出该交线与已知直线的交点。一般位置一般位置相交相交（1）取一已知平面的两条边作两辅助平面。）取一已知平面的两条边作两辅助平面

14、。（2）分别作出两辅助平面与已知平面的交线，并作出交线与已知直线的）分别作出两辅助平面与已知平面的交线，并作出交线与已知直线的两个交点。两个交点。（3）连接两交点，画出交线。）连接两交点，画出交线。相交问题相交问题33求MN直线与ABC的交点K。ccXabbk k1a mnmnPHedde1 (2 )2利用重影点判别可见性3(4)3 4 相交问题相交问题34XPVQVcabbgdacfegdfelklk相交问题相交问题求ABC与DEFG的交线KL。分析：分析：取ABC的两条边AC和BC，分别求出它们与DEFG的交点。35Xcabgdacfegdfelk利用重影点判别可见性1 (2 )12b3

15、(4 )34相交问题相交问题lk36 直线与平面垂直，则直线直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线。垂直平面上的任意直线。cXabba cde f fek m kmd1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直垂直问题垂直问题 反之，直线垂直平面上反之，直线垂直平面上的任意两条相交直线，则直的任意两条相交直线，则直线垂直该平面。线垂直该平面。37求点C到直线AB的距离。cXabba c 过过C C点作一平面与直线点作一平面与直线ABAB垂垂直，求出平面与直，求出平面与ABAB的交点的交点K K， K K即是即是C C点到点到ABAB的垂足。再求出的垂足。再求出CKCK的实长。的实长。垂直问题垂直问

16、题38cXabba cdd e e2 1 21kk ck实长实长垂直问题垂直问题作图过程作图过程39AKPRQ QBE2.2.两平面垂直两平面垂直反之，如两平面互相垂直，反之，如两平面互相垂直，则从第一平面上的任意一则从第一平面上的任意一点向第二平面所作的垂线，点向第二平面所作的垂线，必定在第一平面内。必定在第一平面内。 如直线垂直一平面，如直线垂直一平面，则包含此直线的一切平则包含此直线的一切平面都垂直于该平面。面都垂直于该平面。垂直问题垂直问题40垂直问题垂直问题已知正垂面ABC和K点，要求过K点作一平面垂直ABC。Xkbb a c cak m mll 分析分析：过：过K K点作点作ABC

17、ABC的垂线的垂线KLKL，包含包含KLKL的平面都垂直的平面都垂直ABCABC，因，因此有无数个解。由于此有无数个解。由于ABCABC是正是正垂面，垂面， KLKL必定是正平线。必定是正平线。eXcab 2-2(1)2-2(1)已知已知ABAB为正平线、为正平线、DEDE为水平线，完成五为水平线，完成五边形边形ABCDEABCDE的水平投影的水平投影。ddeabc解法一解法一eXcabddeca解法二解法二ffhhb431. 1. 投影面倾斜面的投影都是类似形，不反映实形和对投影面投影面倾斜面的投影都是类似形，不反映实形和对投影面倾角。倾角。 2. 2. 投影面垂直面有一个投影具有重影性，投

18、影面平行面有两投影面垂直面有一个投影具有重影性，投影面平行面有两个投影具有重影性。个投影具有重影性。3. 3. 在投影图上反映平面倾角在投影图上反映平面倾角1 1和和1 1的是的是 ，反，反映倾角映倾角1 1和和1 1的是的是 ，反映倾角，反映倾角1 1和和1 1的的是是 。 4. 4. 倾斜面上可以有直线平行某一投影面。倾斜面上可以有直线平行某一投影面。5. 5. 倾斜面上可以有直线垂直某一投影面。倾斜面上可以有直线垂直某一投影面。 6. 6. 垂直垂直V V面的平面都是正垂面。面的平面都是正垂面。7. 7. 过一条倾斜线可作一个铅垂面。过一条倾斜线可作一个铅垂面。8. 8. 过一条倾斜线可作一个水平面。过一条倾斜线可作一个水平面。 侧垂面侧垂面铅垂面铅垂面正垂面正垂面449. 9. 在两投影面体系中，点的两个投影都处于平面的边框图形在两投影面体系中，点的两个投影都处于平面的边框图形内，则该点一定在平面内。内，则该点一定在平面内。10. 10. 平面上对平面上对V V面的最大斜度线必定垂直于平面的正平线。面的最大斜度线必定垂直于平面的正平线。11. 11. 平面对投影面的倾角就是平面上对该投影面的最大斜度平面对投影面的倾角就