排列组合基础知识,

1、排列组合基础知识一、两大原理1. 加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有 片中不同的方法，第二类方法中有 门2种不同的方法 第n类方法中nn种不同的方法，那么完成这件事共有 N = n 1 - n? n*种 不同的方法。（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3）特点：分成几类，就有几项相加。例1.从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有 3班，汽车有2班，那么一天 中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有 3+2种方法。2. 乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要 n个步骤，做第一个步骤有 叶中不同的方法，做第二个步骤

2、有 m2种不同的方法 做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N二种不 同的方法。（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（3）特点：分成几步，就有几项相乘。例2.从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车 1汽车1，火车2汽车1 火车1汽车2，火车2汽车2 火车1汽车3，火车2汽车3所以共有2 48种方式。二、排列组合1. 排列（1）排列的定义：从n个不同的元素中，任取 m个（m乞n）元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n

3、个不同的元素中取出m个元素的一个排列。（2）使用排列的三条件 n个不同元素； 任取m个； 讲究顺序。2. 组合（1）组合的定义：从n个不同的元素中，任取 m个（m乞n ）元素并为一组，叫做从n个不同的 元素中取出m个元素的一个组合。（2）使用三条件 n个不同元素； 任取m个； 并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素”； 排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。 也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义：从n个不同的元素中，任取m个（m乞n）元素所有排列的个数，叫做从n个不 同的元素中取出m个元素的排列

4、数，记为Am。例1.从甲、乙、丙三个中任取2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有6种方式。需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取2个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排 列数为A，即A = 6 = 3 2，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项3,而且之后的每项总是比前一项少1。例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为：ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc. 共有 12 种，即 a： =12=4 3， 其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4,而且之后的每项

5、总是比前一项少 1。例3.从a,b,c,d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能？解所以的可能排列为： abc,acb,bac,bca,cab,cba, abd,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种，即a3 24 4 3 2，其中上标3是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式=n(n-1)(n-2).(n-m+1) =!，其中上标 m表示相乘的项数，(n -m)!其中 n!二 n(n -1)2 1 0尤其：A01

6、, An =n,Anj 二 n!。5组合数的定义：从n个不同的元素中，任取 m个(m乞n )元素所有组合的个数，叫做从n个不 同的元素中取出m个元素的组合数，记为cn" o例4.从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式?解：可能的组合为：甲乙，要注意：此题相当于从=3 o这个结果与例1rtn甲丙，乙丙。所以共有 3个不同的元素中任取 比较发现3种2个元素并成一组，所有共有的组合数为 C32，即解所以的可能排列为：ab,ac,ad,bc,bd,cd. 共有6种，即C： = 6。这个结果与例2比较发现共有多少种可能?C；_q_3 2 _ A；3o2 1 A例2.从a,b,c,d四个元素中任取2个并成一组,C：64 3 _ A22 1 一 A；解所以的可能排列为：abc,abd,acd,bcd。共有4种，即c：=4。这个结果与例3比较发现例6.从a,b,c,d四个元素中任取3个并成一组，共有多少种可能?C43 =4 二4 3 2 A3 2 1 A；o由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式尤其：C0=1,cX n,C>1,Cn=C；我们这本书用m表示Cnm 下面3题要求学解题过程1. 甲、乙、丙、丁 4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的上方；(2)列出所有冠军的可能情况。2. 由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重