理论力学7_非线性动力学与混沌讲义

1、第七章第七章. 非线性动力学与混沌非线性动力学与混沌Chapter 7. Nonlinear Dynamics and Chaos宋若龙宋若龙吉林大学物理学院吉林大学物理学院参考书参考书 刘秉正， 非线性动力学与混沌基础，东北师范大学出版社，1994 林振山，非线性力学与大气科学，南京大学出版社，1993 刘式达，刘式适，非线性动力学和复杂现象，气象出版社，19897.1 引言引言一一. “非线性动力学非线性动力学”的表观含义的表观含义线性线性非线性非线性非线性非线性 定义：运动微分方程含有坐标或速度的非线性项的系定义：运动微分方程含有坐标或速度的非线性项的系统，称为非线性动力学系统，反之称为

2、线性动力学系统。统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。例：例：222xkxmxkxxmkxxm 二二. 决定性系统与不可预测性决定性系统与不可预测性000 ,),(tttmxxxxxxFx )(),(tt xx存在且唯一，存在且唯一，可预测性可预测性1. 力学决定论及其伟大成就力学决定论及其伟大成就 设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据成它的物体的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子

3、的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物是不确定的，将来就像凝聚在一个公式中，没有什么事物是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。过去一样清晰地展现在眼前。 Laplace，法国数学家，（，法国数学家，（1749-1827） 1757年，哈雷慧星（年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。年，海王星在预言的位置被发现。 日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。 广义相对论，量子力学也是决定论的。广义相对论，量子力学也是决定论的。0.235268 0.2352. 力学决定论不断受到

4、挑战力学决定论不断受到挑战 1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)，湍流实验湍流实验。 （烟） 1903年，法国数学家昂利庞伽莱（Henri Poincare），三体问题三体问题，不存在统一的第一积分，混沌。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz），天气预报，“蝴蝶效应蝴蝶效应” ：巴西热带雨林中一只蝴蝶扇一下翅膀，两个星期后，就可能在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。洛仑兹方程3/8281010zxyzxzyxyyxx初值敏感演示初值敏感演示Duffing方程：方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）（带阻尼弹性系统的强迫振动）tFxkxxxmcos3 0 ,000001. 10

5、, 120201010 xxxx初值敏感性初值敏感性不可预测性，混沌不可预测性，混沌不可预测性不可预测性 = 客观世界的非决定论客观世界的非决定论 ？ 线性系统是特殊的、近似的线性系统是特殊的、近似的 非线性系统是普遍的、本质的非线性系统是普遍的、本质的（ex:弹簧、单摆）弹簧、单摆）振动、流体力学、声学、光学、气象学、天文学振动、流体力学、声学、光学、气象学、天文学化学、生命学、生态学化学、生命学、生态学经济学、金融学、社会学经济学、金融学、社会学 混沌现象是矛盾的结合体混沌现象是矛盾的结合体决定性与随机性决定性与随机性稳定与不稳定稳定与不稳定有序和无序有序和无序三三. 常微分方程的一般形式

6、常微分方程的一般形式1. 自治方程与非自治方程自治方程与非自治方程),(),(tmmxxFxxxFx 不显含时间，自治的不显含时间，自治的显含时间，非自治的显含时间，非自治的2. 常微分方程一般形式常微分方程一般形式（1）自治的）自治的),(xxfx 121 xxxxx ),(21221xxfxxx2阶，1维1阶，2维（2）非自治的）非自治的n维非自治n+1维自治1,iixtx例例1：Duffing方程方程tFxkxxxmcos3 xxxx21,343cosxxtx3244332311221xxxxxmFxmxmxmkxxxnixxxfxnii, 2 , 1 ),(21一阶常微分方程组一阶常微

7、分方程组 数值计算数值计算 系统的状态系统的状态 相空间相空间优点：优点：四四. 相空间（相图）相空间（相图） 相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度）张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态量（速度）张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。的变化轨迹称为相图。弹簧振子弹簧振子020 xx 10)cos(xtAx200)sin(xtAx1)(2022221AxAx1x2x相图相图120221xxxx时空轨迹时空轨迹02468101214161820-1-0.8-0.6-0.4-0.60.81阻尼弹簧振

8、子阻尼弹簧振子0220 xxx 通解通解tAex21202212 xxxxx02202代入方程代入方程202当阻尼为正阻尼且很小时当阻尼为正阻尼且很小时00220,i)sin()sin()cos()cos(02221tAettAexxtAexxttt阻尼弹簧振子阻尼弹簧振子0510152025303540-0.8-0.6-0.4-0.60.81时空轨迹时空轨迹-0.8-0.6-0.4-0.60.81-0.8-0.6-0.4-0.60.81相图相图7.2 运动稳定性分析运动稳定性分析一一. 非线性方程解的各种形式非线性方程解的各种形式n

9、ixxxfxnii, 2 , 1 ),(211. 定态解定态解nixi, 2 , 1 01x2x平衡点，奇点平衡点，奇点2. 发散解发散解之一或几个随时间无限地偏离初值之一或几个随时间无限地偏离初值ix1x2x爆炸，散射爆炸，散射3. 振荡解振荡解既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。是在一定区域内不断变化。 周期振荡周期振荡 混沌混沌1x2x1x2x相轨迹没有确定的形相轨迹没有确定的形状周期、貌似随机的状周期、貌似随机的运动。运动。闭合曲线非闭合曲线 准周期振荡准周期振荡F=0.1F=0.29F=0.32二二. 解的稳定性解的稳定性L

10、yapunov稳定性定义：)(xfx ),(21nxxxx ),(21nffffv(1) 设设t=t0时方程的解为时方程的解为 ，t时为时为 ，另一受扰，另一受扰 动而偏离它的解动而偏离它的解t0时为时为 ， t时为时为 。如果对于。如果对于任意小的数任意小的数 ，总有一小数，总有一小数 存在，使得当存在，使得当 时，必有时，必有则称解则称解 是是Lyapunov意义下稳定的，简称意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的稳定的或稳定的。或稳定的。)(00tx)(0tx)(0tx)(tx00)()(000ttxxtttt00,)()(xx)(0tx212222211)()()(nnyxyxyxy

11、x两矢量间的距离v(2) 如果解 是稳定的，且 则称此解是渐进稳定的渐进稳定的。v(3) 不满足上述条件的解是不稳定的。)(0tx0)()(lim0tttxx例2.tx 21)0(0 xctttx2212)(解：1)0(0 cx1212)(20tttx1)0()0(0cxx1)()(0ctxtx)(0tx是是Lyapunov稳定的稳定的例3.xtx1)0(0 x解：tcettx1)(tettx21)(01)0(0 x2c2211)0()0(0ccxxtttececettxtx2211)()(002lim)()(lim0tttectxtx渐进稳定的渐进稳定的三三. 线性稳定性分析线性稳定性分析1

12、. 线性稳定性定理线性稳定性定理nixxxfxnii, 2 , 1 ),(21设设 为方程的一个解为方程的一个解(参考解参考解)，则，则 为研究该解的稳定性，令为研究该解的稳定性，令 为此解附件另一解，称扰动解为此解附件另一解，称扰动解 。 )(0txi)()()(0ttxtxiii),()(0220110jjiixxxftxjnjjinixfxxxf0102010)(),()()()(0ttxtxiii ),(020100niixxxfx若线性化方程的原点若线性化方程的原点 是是渐进稳定的渐进稳定的，则原非线性方，则原非线性方程的参考态程的参考态 是是渐进稳定的渐进稳定的；若线性化方程的原点

13、若线性化方程的原点 是是不稳定的不稳定的， 则原非线性方则原非线性方程的参考态程的参考态 是是不稳定的。不稳定的。0i)(0txiLyapunov间接法间接法njjjiixf10)(非线性方程组在参考态非线性方程组在参考态 附近的线性化方程组附近的线性化方程组)(0txi)()()(0ttxtxiii0i)(0txi2. 线性化方程组的解及其稳定性线性化方程组的解及其稳定性0)(jiijxf22212122121111ttBeAe21,试探解：022211211BA02221121102T2211T21122211系数矩阵的迹系数行列式的值2422, 1TT特征根 tttteBceBceAce

14、Ac21212211222111ttececBBAA2121212121 (1) 两特征根实部都是负的两特征根实部都是负的参考态参考态 也是渐进稳定的。也是渐进稳定的。0limit是渐进稳定的是渐进稳定的0i0ix (2) 两特征根中至少有一个实部为正两特征根中至少有一个实部为正itlim是不稳定的是不稳定的0i参考态参考态 也是不稳定的。也是不稳定的。0ix (3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负是是Lyapunov稳定的稳定的0i参考态参考态 处于临界情况。处于临界情况。0ixT渐进稳定渐进稳定不稳定不稳定不稳定不稳定不稳定不稳定临

15、界情况临界情况2422, 1TT奇点（平衡点，定态）的分类奇点（平衡点，定态）的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）（取非线性方程的奇点为参考态）04T 02(1)2422, 1TT两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为结点结点。不稳定的结点不稳定的结点0T稳定的结点稳定的结点0T(2)0, 04T, 02T两根都是复的，此时奇点称为两根都是复的，此时奇点称为焦点焦点。0T不稳定的焦点不稳定的焦点0T稳定的焦点稳定的焦点2422, 1TT-1500-1000-50005001000-1500-1000-5000500100015002000-0.4-0.2

16、00.81-0.6-0.4-0.60.81(3)0, 0T两根都是纯虚数，解是等幅振荡，此时奇点称为中心中心。鞍点鞍点(4)0两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点鞍点。中心中心2422, 1TT2422, 1TTT不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点042T鞍点例例4： 分析阻尼单摆定态的稳定性分析阻尼单摆定态的稳定性解：解：0sin220 21,xx令21202122221112sin),(,xxxxfxxxxfx0 021xx求定态解212022sin00 xxx)0 ,()0 , 0(两奇点)0 ,2()0 ,2(kk1. 在奇点(0,0)处

17、线性化方程组为22)0 , 0(211)0 , 0(111xfxf21202)0 , 0(221)0 , 0(1222-xfxf212021210)(44 , ,2202220TTT不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点042T)(44 ,2 , 0202220TT2022, 10042T奇点(0,0)为结点（过阻尼）稳定的结点不稳定的结点稳定的焦点不稳定的焦点00042T奇点(0,0)为焦点（欠阻尼）002T奇点(0,0)为中心（无阻尼）2. 在奇点 处线性化方程组为)0 ,( 22)0 ,(211)0 ,(111xfxf21202)0 ,(221)0 ,(1222-xfxf2102022

18、211211aaaa0 ,220T奇点 为鞍点)0 ,(线性稳定性定理只适用于分析非线性方程奇点及其附近的解的性质，离奇点越远，线性稳定性定理只适用于分析非线性方程奇点及其附近的解的性质，离奇点越远，线性化误差越大。线性化误差越大。7.3 极限环极限环渐进稳定的周期振荡渐进稳定的周期振荡一一. 定义定义相空间里相空间里孤立的闭曲线孤立的闭曲线，称为极限环，称为极限环1x2x1x2x与初始条件有关的周期振与初始条件有关的周期振荡不是极限环荡不是极限环极限环与初始条件无关与初始条件无关此轨道极小邻域内不出现其它闭轨道例例5：Van der Pol 方程（电子管振荡）方程（电子管振荡）xxxx221

19、 01x012x阻尼力与速度同向，负阻尼，对系统供阻尼力与速度同向，负阻尼，对系统供能，振幅逐渐增大，振幅终将大于能，振幅逐渐增大，振幅终将大于1。1x012x阻尼力与速度反向，正阻尼，消耗能阻尼力与速度反向，正阻尼，消耗能量，振幅逐渐减小，振幅只能等于量，振幅逐渐减小，振幅只能等于1。F=0, a=0.2,x0=4F=0, a=0.2,x0=0.5二二. 极限环存在的判据极限环存在的判据庞伽莱庞伽莱-班狄克生判据班狄克生判据 (Poincare-Bendixson theorem):有一解的相轨迹总是局限于相平面中不包含任何奇点的有限有一解的相轨迹总是局限于相平面中不包含任何奇点的有限区域区

20、域D内，则此轨迹或者是一极限环，或者趋于一极限环。内，则此轨迹或者是一极限环，或者趋于一极限环。 ),(),(21222111xxfxxxfx如果方程如果方程（二维自治系统）（二维自治系统）DNR=D-N三三. 极限环的稳定性极限环的稳定性稳定稳定环环不不 稳稳 环环半稳环半稳环 如果从包含极限环如果从包含极限环L的环形域（的环形域（L的内侧和外侧）出发的内侧和外侧）出发的任何轨线在的任何轨线在 时都渐近地趋于该极限环，则称极限时都渐近地趋于该极限环，则称极限环环L是稳定的，否则称为不稳定的。是稳定的，否则称为不稳定的。 如果从包含如果从包含L的环域内的环域内L的某一侧出发的轨线在的某一侧出发

21、的轨线在 时都渐近地逼近时都渐近地逼近L，而从另一侧出发的轨线都远离，而从另一侧出发的轨线都远离L，则称，则称L是半稳定的。半稳定的极限环是不稳定极限环的一种。是半稳定的。半稳定的极限环是不稳定极限环的一种。tt例例6：求非线性系统：求非线性系统222212222122122222112221121122xxxxxxcxxxxxxxxxxcxx的极限环性解及其稳定性，的极限环性解及其稳定性，c为参数。为参数。解：解：令sin cos21rxrxcossinsincos21rrxrrxsinsin2sincoscoscos2sincos532531rrcrrxrrrcrx微分得代入方程得联立，令

22、等式两侧 的系数分别相等，得极坐标下方程：sin,cos1)2(42rrcrr在极坐标中系统相轨迹以常角速度旋转，由 可求平衡态为：00rcr1121cr1122奇点奇点极限环（极限环（ 为实数时）为实数时）21,rr0r 1c21,rr011022 crrr为复数，只有平衡态为复数，只有平衡态00r0r为稳定的焦点。为稳定的焦点。1c有有 两个平衡态两个平衡态1, 0210rrr0) 1(22rrr ) 1, 1(rr1r为半稳环（不稳环）。为半稳环（不稳环）。cr1121cr11221r0r为稳定的焦点，为稳定的焦点，01c02221 rr有三个平衡态有三个平衡态)(222212rrrrr

23、r120rrrrr为稳定的焦点，为稳定的焦点，为不稳定极限环，为不稳定极限环，为稳定极限环。为稳定极限环。0,r , 0 , 0 ,1122rrrrrrrrr2r1r 硬激励硬激励（心脏）（心脏）0c0, 02221rr有有 两个平衡态两个平衡态10,rr)()(222212222212rrrrrrrrrrr111 , 0 ,0 , 0 ,rrrrrrrrr为不稳定的焦点，为不稳定的焦点，为稳定极限环。为稳定极限环。1r软激励软激励四四. 极限环的特点极限环的特点 非线性系统非线性系统周期振荡独有的独有的特征； 极限环在相空间中是孤立的孤立的； 由系统的固有性质系统的固有性质（运动方程及其参数

24、）决定，与初始状态无关； 包围不稳定奇点的极限环一定是稳定的，而包围稳定奇点的极限环一定是不稳定的； 极限环只能包围结点和焦点，而不能包围鞍点。Homework: 1. 用线性稳定性定理讨论中心力场中圆轨道的稳定性。 hrlmrrfrrm 222 2221221222211211xxxxxxxxxxxx2. 求解如下常微分方程组的定态解、极限环型解，分析其稳定性，若有分岔现象，说明其分岔的类型。3.用摄动方法求至1级近似解, 0)0( ,)0( , 0 2xaxtxkxxm 7.4 含弱非线性作用的一维振动含弱非线性作用的一维振动摄动方法摄动方法一一. 无阻尼、无强迫力的一维弱非线性振动无阻尼

25、、无强迫力的一维弱非线性振动0)0(,)0( , 03xaxxkxxm 3, xk为弱非线性作用为弱非线性作用无因次化无因次化320 xxx mk2020m摄动方法，设解为：摄动方法，设解为：)()()()(2210txtxtxtx零级解零级解一级解一级解二级解二级解代入方程代入方程322102210202210)()()( xxxxxxxxx 1202202301201020030 xxxxxxxxx的同次项相等的同次项相等零级解方程零级解方程一级解方程一级解方程二级解方程二级解方程零级解方程为简谐振动方程，其解为零级解方程为简谐振动方程，其解为)cos()(00tAtx0)0(,)0(xa

26、x由由 得各级解初始条件为得各级解初始条件为, 2 , 1 , 0)0(, 0)0(0)0(,)0(00ixxxaxii可得零级解为可得零级解为tatx00cos)(0sin)0(cos)0(00AxaAx将零级解代入一级解方程将零级解代入一级解方程tttaxxx00303012013cos41cos43)cos( 伪共振伪共振非线性项导致系统固有频率改变非线性项导致系统固有频率改变00小量，可正可负小量，可正可负202202c02均为小量，可令均为小量，可令, 02c代回到原运动微分方程代回到原运动微分方程32xcxxx 320 xxx )()()()(2210txtxtxtx将将代入得代入

27、得 120122230012102030 xxcxxxxcxxxxxc220零级解为零级解为tatxcos)(0一级解满足的方程一级解满足的方程tatacaxx3cos41cos)43(32121 3121)cos(costatcaxx 为避免伪共振，必有为避免伪共振，必有0432ac243ac020832ac020083ataxx3cos413121 一级方程变为一级方程变为设特解设特解tAtx3cos)(*1tatAtA3cos413cos3cos932222321aA一级方程齐次方程通解可写为一级方程齐次方程通解可写为tAtAsincos21非齐次方程解为非齐次方程解为tatAtAtx3

28、cos321sincos)(23211齐次方程通解非齐次方程特解把把 代入二级解方程，可得二级解。代入二级解方程，可得二级解。)(),(10txtxtataatatatatxtxtx3cos32cos)321 ( 3cos32cos32cos )()()(2323232310当仅求至一级解时，非线性方程的解为当仅求至一级解时，非线性方程的解为02083a弱非线性作用下非线性振动的特点：弱非线性作用下非线性振动的特点： 固有振动的频率由 变为 ，且改变量与振幅a有关； 整个振动除基频 外，还有谐频 ，当进一步顾及高级近似解时，还有出现 等奇数倍高次谐频振动； 可推当非线性作用力为 时会出现 等偶

29、数倍谐频振动； 系统本来不受强迫力，但一级解满足的方程 出现了强迫力，并且是3倍频的，这是由于非线性振动引起的。2020831a037 ,52x4 ,2taxx3cos413121 7.5 非线性强迫振动非线性强迫振动振幅破裂振幅破裂Duffing方程方程tfxxxxcos2320 假定 为小量，设试探解为f,)(3cos)cos(tBtAx将试探解代入方程，仅保留至 的一次项f,tftAtBtAtAtBtAcos)(cos)( 3cos)cos()sin(2)( 3cos9)cos(33202022)(3cos41)cos(43)(cos3tttsinsincoscos)cos(tttsin

30、coscossin)sin(ttt利用关系式令方程两端线性无关项的系数分别相等，可等待定系数 满足的方程：041)9(0cos2sin43sin2cos43320232203220ABAAAfAAA,BA)(3cos,sin,costtt2023941AB22222220)2(43fAA振幅振幅A（近似为系统的振幅）随驱动频率（近似为系统的振幅）随驱动频率 的变化的变化 当 时022220)2()(fAA0021 当 时（考虑非线性），用数值方法求解，画出振幅频率响应曲线：0=-E(-1)AE(1)=-f fkAE(2)=-f = fkAFECDBE(2)=-f = fkAA在 段，同一频率下

31、，振幅出现多值振幅出现多值现象，CD段表示不稳定振动。驱动频率逐渐增大或减小时，出现振幅跳跃振幅跳跃（振幅破裂振幅破裂）现象。 例：洗衣机甩干过程例：洗衣机甩干过程 机械（汽车、飞机）机械（汽车、飞机）21分谐振、组合频率谐振分谐振、组合频率谐振tfxxxcos320 取特解tBtAtx3coscos)(*f,小量tfttBtBtAtBtAcoscos413cos433coscos3cos9cos32022代入方程并保留到 的一阶量f,令方程两端线性无关项 的系数分别相等：tt3cos,cos分谐振分谐振04394132023202BBBfBAAtftfxxxx2211320coscos2 非

32、线性系统受两个不同频率的外力同时作用时，系统除了以主要的频率 振动外，还包含有频率为等组合谐振成份，若非线性项不太弱需要考虑高阶项时，振动将包含各种频率为 的成份。 即谐频， 则称组合频组合频。例：耳膜。21,221212113 ,2 ,2,2 ,321nm21nm21, nm当当 时，时，B有实根，特解存在，出现频率为有实根，特解存在，出现频率为 的的分谐振分谐振，也称为也称为分频分频，且为主要振动。例：，且为主要振动。例：石英钟石英钟。0332022)3(34B非线性受迫振动的特点非线性受迫振动的特点驱动频率连续变化时出现振幅跳跃振幅跳跃现象。驱动频率在某值处的微小改变，系统振幅发生剧烈变

33、化。谐频谐频振动：基频（驱动频率）为 时，当非线性项为x的奇次幂时，会出现 等奇数倍谐频；当非线性项为x的偶次幂时，会出现 等偶数倍谐频。当驱动频率远大于系统固有频率时（ ），会出现分频分频，也称为倍周期倍周期。 x的奇次幂 ， x的偶次幂 。当强迫力为两不同频率 时，有组合频组合频 出现。如耳膜。21,21nm035,34,2 5 ,3 4 ,27.6 亥姆霍兹木马亥姆霍兹木马(Helmholtz carousel)2013年第26届国际青年物理学家竞赛IYPT题目图片资料来源于https:/ R. Boullusa, et al., The reaction force on a Helm

34、holtz resonator driven at high sound pressure amplitudes, Am. J. Phys., 60(8), pp722-726, 1992空气柱空气柱输入阻抗输入阻抗动态粘动态粘滞系数滞系数开口辐射开口辐射阻抗阻抗内口辐射内口辐射阻抗阻抗颈部空气柱总阻抗，实部为阻（能量损失），虚部为抗（等效质量）颈部空气柱总阻抗，实部为阻（能量损失），虚部为抗（等效质量）=m等效质量等效质量阻尼系数阻尼系数若振动频率非常低使得可看作绝热过程：比热容比热容AxVVPPP0Taylor展开展开密闭空腔产生的恢复力密闭空腔产生的恢复力)()()()(2210txtx

35、txtxtmfxxxxcos)(222020 为小量 10202202220201201102000222cos)(2xxxxxxxxxtmfxxxtBtAtxsincos)(0设设可解得可解得mfA22220220)2()(mfB22220)2()(2一级解将有一级解将有 的谐频振动。的谐频振动。2当当 时振幅最大时振幅最大)cos()2()()(222200tmftx02)(mfa 密闭空腔对颈部气柱的恢复力密闭空腔对颈部气柱的恢复力)(0 xx 净力（一个周期内的平均）净力（一个周期内的平均）7.7 分岔分岔 (Bifurcation)一一. 分岔的概念分岔的概念1. 定义：对常微分方程

36、组定义：对常微分方程组njixfxjii, 2 , 1, ),( 为参数。如果参数为参数。如果参数 在某一值在某一值 附近的微小变化将附近的微小变化将引起解的性质（相轨线的拓扑结构）发生突变，则此现象引起解的性质（相轨线的拓扑结构）发生突变，则此现象称为分岔。称为分岔。 称为临界值或分岔值。在称为临界值或分岔值。在 坐标轴上其对应点坐标轴上其对应点为分岔点。例：极限环求解为分岔点。例：极限环求解cc2. 解的结构稳定性解的结构稳定性 指在参数发生微小变化时解的轨线仍维持在原轨线某指在参数发生微小变化时解的轨线仍维持在原轨线某一邻域内。因次非线性系统在常点的解具有结构稳定性，一邻域内。因次非线性

37、系统在常点的解具有结构稳定性，而分岔点附近的解是结构不稳定的。而分岔点附近的解是结构不稳定的。二二. 分岔的类型分岔的类型1. 叉式分岔叉式分岔系统参数发生微小变化时，系统参数发生微小变化时，一个稳定的定态一个稳定的定态 两个稳定的定态两个稳定的定态例例1：水平滑动摆，弹簧原长：水平滑动摆，弹簧原长l l ，参数，参数a a 变化变化2222)(21 21lxakVxmT0 xLxLdtd0/1 22xalkxxm mkxxxx/,20210021xx定态定态0, 02221xalx)0,(),0,(0,0), (0,0) 2222alallala1个奇点个奇点3个奇点个奇点),(/1 ),(

38、212212120221121xxfxalxxxxfxx)0 , 0(（1）奇点）奇点120221)1 (al0)1 (1020al)1 (020alT0,0,lala(0,0)为中心，为中心，Lyapunov稳定的稳定的(0,0)为鞍点，不稳定的为鞍点，不稳定的线性稳定性定理：线性稳定性定理：0)(jiijxf22212122121111T不稳焦点稳定焦点中心稳定结点不稳结点鞍点042T0)1 (102220la0)1 (02220laT两奇点均为中心，Lyapunov稳定的)0,(),0,(2222alal（2）奇点）奇点la 1x2xal叉式分岔叉式分岔2. 霍普夫（霍普夫（Hopf）分

39、岔）分岔系统参数发生微小变化时，稳定的系统参数发生微小变化时，稳定的定态定态 稳定的稳定的极限环极限环例：例：Van der Pol方程方程0) 1(22xxxx 12221221) 1(xxxxxx定态为(0,0)2122210 ,2T00奇点(0,0)为稳定定态（结点、焦点或中心）奇点(0,0)为不稳定定态，由极限环一节的分析，此时出现了稳定的极限环。1x2x不稳定的不稳定的定态定态 不稳定的不稳定的极限环极限环3. 倍周期分岔倍周期分岔 系统参数变化时，解的振动周期依次加倍的分岔系统参数变化时，解的振动周期依次加倍的分岔现象，称为倍周期分岔。现象，称为倍周期分岔。例例1：Duffing方

40、程方程tfxxxxcos2320 取定取定 ，令，令 逐渐增大，数值求解。逐渐增大，数值求解。演示演示,20f0.32 0.3 0.285 ,27. 0 , 2 . 0fT 2T 22T 2T 混沌混沌nnxxF)(nnxxF)(2nnxxF)(4nnxxF)(1点（倍）周期2点（倍）周期4点（倍）周期非周期（混沌）nxnxnnxnxnnn例例2： Logistic映射（虫口模型）映射（虫口模型）)()1 (111nnnnxFxxx1nnxx某代虫口（数量）亲代虫口11)(nnnxxFx2221)()(nnnnxxFxFx1点（倍）周期2点（倍）周期演示演示Logistic映射映射1045 .

41、 2x9 . 087. 06 . 354. 3x自相似自相似费根鲍姆费根鲍姆(Feigenbaum)数：数：nnnnn11lim在第n次分岔点的参数 的取值 满足：nnnc出现混沌的分岔点处的 值， 为系统参数。c2096692016091. 4费根鲍姆数费根鲍姆数普适常数普适常数7.8 混沌的概念、特点及描述方法混沌的概念、特点及描述方法一一. 混沌的概念混沌的概念 1. 定义：定义：确定性非线性系统的确定性非线性系统的不是由于随机性外因引起的，而是由不是由于随机性外因引起的，而是由系统内在的非线性作用产生的具有系统内在的非线性作用产生的具有随机性的、非周期的运动状态随机性的、非周期的运动状

42、态，称，称为混沌。为混沌。例例1：阻尼单摆的受迫振荡：阻尼单摆的受迫振荡tfmglmlcossin 方程两边除以方程两边除以mg，令，令lg20tmgfmcossin12020 无因次化：令无因次化：令tT00,0dTddtd2022dTd TmgfdTdmdTdcossin022令令 仍记仍记mgfFm,20TFcossin2 dTd演示演示)400300(,01. 0,32,41TdTF=1.02 单周期极限环单周期极限环F=1.07 2倍周期极限环倍周期极限环F=1.077 4倍周期极限环倍周期极限环F=1.15 混沌混沌 (300-700)F=1.35 单周期极限环单周期极限环F=1.

43、45 2倍周期极限环倍周期极限环F=1.47 4倍周期极限环倍周期极限环F=1.50 混沌混沌 (300-700)混沌运动是服从一定规律的随机运动，是决定性和随机性矛盾统一体；混沌运动是服从一定规律的随机运动，是决定性和随机性矛盾统一体； 对初始状态敏感依赖；对初始状态敏感依赖；只有（只有（3维以上自治、维以上自治、2维以上非自治）非线性系统才有可能做混沌运动；维以上非自治）非线性系统才有可能做混沌运动；倍周期分岔可以通向混沌。倍周期分岔可以通向混沌。例例2：小行星：小行星Kirkwood间隙间隙二二. 自然界中混沌现象自然界中混沌现象nd2*3 . 04 . 0n= 0 1 2 4 5 行星

44、與太陽間的距離行星與太陽間的距離 金星金星地球地球火星火星木星木星土星土星 6天天王王星星3小小行行星星带带 处于处于Kirkwood间隙处的小行星与木星的轨道共振，间隙处的小行星与木星的轨道共振，产生混沌运动，产生混沌运动，轨道离心率增大，穿越了火星和地球的轨道轨道离心率增大，穿越了火星和地球的轨道 (Jack Wisdom(Jack Wisdom模型模型) ) 。65006500万年前，估计一颗直径万年前，估计一颗直径1010公里的小行星冲撞地球，全球滔天大火，公里的小行星冲撞地球，全球滔天大火，恐龙等大型生物在这悲剧中消失，全球恐龙等大型生物在这悲剧中消失，全球5080%5080%生态物

45、种从此绝灭，后生态物种从此绝灭，后来哺乳类动物得以繁衍。来哺乳类动物得以繁衍。 例例4：贝纳对流：贝纳对流例例5：卡曼涡流：卡曼涡流例例3：土星卡西尼环缝：土星卡西尼环缝 例例6：天气，虫口模型，香烟烟雾，：天气，虫口模型，香烟烟雾，心脏跳动，脑电波心脏跳动，脑电波xx 1倍周期相图倍周期相图Poincare 截面截面x xtnTtxx Tnt) 1( xx 三三. 庞加莱庞加莱(Poincare)截面截面 在多维相空间在多维相空间 中适当选取一截面（有利于观察中适当选取一截面（有利于观察系统的运动特征和变化，不与轨线相切，更不包含轨线面），在系统的运动特征和变化，不与轨线相切，更不包含轨线面

46、），在此截面上，某一对共轭变量此截面上，某一对共轭变量 取固定值，称此截面为取固定值，称此截面为庞加莱截庞加莱截面面. 对于单变量系统对于单变量系统 ，截面常常取为垂直与时间轴的周期，截面常常取为垂直与时间轴的周期性截面。性截面。),(2211xxxx),(iixx 相空间的轨线相空间的轨线 轨线与庞加莱截面的交点轨线与庞加莱截面的交点),(xx 2倍周期相图倍周期相图xx xx Poincare 截面截面演示单摆演示单摆F=1.35 F=1.452变量系统周期运动变量系统周期运动n2) 1(2nPoincare 截面截面21为无理数为无理数 准周期运动准周期运动混沌运动混沌运动Poincar

47、e 截面为一闭曲线截面为一闭曲线Poincare 截面为一片或多片密集的点截面为一片或多片密集的点2121,分别为分别为 方向运动的频率方向运动的频率,2121,为有理数为有理数Poincare 截面有有限个离散点截面有有限个离散点周期运动周期运动周期运动周期运动Poincare 截面上为一不动点截面上为一不动点四四. 相体积演化，李雅普诺夫相体积演化，李雅普诺夫(Lyapunov)指数指数例：一维线性系统运动时相面积的变化例：一维线性系统运动时相面积的变化1. 相体积演化，也就是相空间中状态密度随时间的变化。相体积演化，也就是相空间中状态密度随时间的变化。2. 李雅普诺夫李雅普诺夫(Lyap

48、unov)指数指数高维空间相体积（状态密度）演化，利用流体力学理解高维空间相体积（状态密度）演化，利用流体力学理解0V),(),(321321txxxtxxxv物质坐标物质坐标对任一体积元对任一体积元 单位时间流出量单位时间流出量sdSv0V单位时间单位时间 内流体质量变化为内流体质量变化为0V0VdVtsVddVtSv0dVV0)( vGauss定理定理0)(0dVtVv0)(vt0V任意任意vvv)(iiiiiixxxvttxxtdtdvv双角标求和双角标求和3 , 2 , 1i将这一结果推广到将这一结果推广到2f维相空间：维相空间：状态密度状态密度),(2121tpppqqqffppqq

49、dtdf, 2 , 1耗散系统正则方程耗散系统正则方程QqHppHqf, 2 , 1pQpQqpHpqHdtd22将正则方程代入将正则方程代入dtpQdtpQe0cpQln由状态量守恒由状态量守恒VeVVtpQ000tpQeVV0对保守系统对保守系统 相体积守恒相体积守恒刘维定理刘维定理0Q0VV fttpQeVeVV100pQ不求和不求和Lyapunov指数指数00该方向相轨线指数地相互远离该方向相轨线指数地相互远离该方向相轨线指数地收缩到一起该方向相轨线指数地收缩到一起非保守系统非保守系统设设 时，时， 时时V, ; , 000tVtt (1)定常吸引子：定常吸引子：2维空间中稳定的结点和焦点维空间中稳定的结点和焦点五五. 吸引子，奇怪吸引子吸引子，奇怪吸引子耗散系统混沌耗散系统混沌1. 吸引子吸引子 经