速降线与短程线

1、速降线与短程线速降线与短程线LOREM IPSUM DOLOR LOREM 速降线的历史背景 1630年，伽利略提出了数学史上最著名的最速降 线问题： “一个质点在重力作用下，从一个给定点A到 不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着 什么曲线滑下所需时间最短。” 瑞士数学家约翰 伯努 利在1696年再次提出这个最速降线的问题，向全欧洲 数学家征求解答约翰伯努利，雅各布 伯努利牛顿、莱 布尼兹和罗毕达都给了自己的解法，但不近相同 最后， 莱昂哈德 欧拉（约翰 伯努利的学生）在1744年最先给 了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新的数 学分支。速降线与短程线速降线与短程线 通过两个

2、古典问题介绍变分法的基本概念通过两个古典问题介绍变分法的基本概念, 给出主要结果给出主要结果. 速速降降线线问问题题 给定竖给定竖直直平面内不在一条垂直线上的两个点平面内不在一条垂直线上的两个点A, B, 求连接求连接A, B的光滑曲线，使质的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以点在重力作用下沿该曲线以最最短时间短时间从从A滑到滑到B (摩擦力不计摩擦力不计). A. B若沿陡峭曲线下滑若沿陡峭曲线下滑, 虽路径加长，但速度增长很快虽路径加长，但速度增长很快.若沿直线段若沿直线段AB下滑下滑, 路径虽短路径虽短, 但速度增长慢但速度增长慢; 速速降降线线问问题题 . A. B建立坐标系建立坐

3、标系xOy, xyy=y(x)O曲线弧长曲线弧长 2d1dsyx能量守恒能量守恒21d()2dsmmgyt质点在曲线质点在曲线y(x)上的速度上的速度ds/dt 21dd2ytxgy质点沿曲线质点沿曲线y(x)从从A到到B的时间的时间 1201( ( )d2xyJ y xxgy11)(, 0)0(yxyy求求y(x) 使使 J(y(x) 达到最小达到最小. m质点质量，质点质量，g重力加速度重力加速度 A(0,0), B(x1,y1), 曲线曲线AB y=y(x) 满足条件满足条件短程线简介 光线经过一个大质量天体附近时，受其引力作用光线经过一个大质量天体附近时，受其引力作用( (或者说进入了

4、该天体附或者说进入了该天体附近的弯曲空间近的弯曲空间) )， 路线会发生偏转，称为路线会发生偏转，称为 短程线效应短程线效应 。距离最短的曲线。距离最短的曲线在相对论中的专业术语是短程线，事实上，相应于速度小于在相对论中的专业术语是短程线，事实上，相应于速度小于C C，等于，等于C C，大，大于于C C的三种测地线分别称为类时短程线，类光短程线和类空短程线。所以，的三种测地线分别称为类时短程线，类光短程线和类空短程线。所以，如果不受到引力以外其他力的作用，物体将在类时或类光短程线上运动如果不受到引力以外其他力的作用，物体将在类时或类光短程线上运动( (因为没有物体的速度能超过光速因为没有物体的

5、速度能超过光速) )例如，地球这样的物体并非收到称作引例如，地球这样的物体并非收到称作引力的力的作用而沿着弯曲轨道运动力的力的作用而沿着弯曲轨道运动; ;相反，他们之所以沿着弯曲轨道运动，相反，他们之所以沿着弯曲轨道运动，是因为在弯曲空间中，他们遵循着一条最接近直线的路径运动，这个路径是因为在弯曲空间中，他们遵循着一条最接近直线的路径运动，这个路径称作短程线。用专业术语来说，短程线的定义就是相邻两点之间最短称作短程线。用专业术语来说，短程线的定义就是相邻两点之间最短( (或或最长最长) ) 的路径。的路径。短短程程线线问问题题 . A. Bxyzo给定曲面上的两个点给定曲面上的两个点A, B,

6、 求曲面上连接求曲面上连接A, B的最短曲线的最短曲线. 建立坐标系建立坐标系 A(x0, y0, z0 ), B(x1, y1 , z1 )曲线的弧长曲线的弧长 22d1dsyzx曲线的长度曲线的长度 1022( ( ), ( )1dxxJ y x z xyzx 0)(),(,(xzxyxf满足条件满足条件曲面方程曲面方程f(x,y,z)=0 f(x,y,z)=0曲面上连接曲面上连接A, B的曲线的曲线 y =y(x), z =z(x) y =y(x) z =z(x)自变量自变量t，函数，函数x(t), y(t) 函数、函数的微分和极值函数、函数的微分和极值 泛函、泛函的变分和极值泛函、泛函

7、的变分和极值 1. 对于对于t在某域的任一个值在某域的任一个值, 有有y的一个值与之对应的一个值与之对应, 称称y是是t的函数，记作的函数，记作y=f(t) 1.对于某函数集合的每一个函对于某函数集合的每一个函数数x(t), 有有J的一个值与之对应的一个值与之对应, 称称J是是x(t)的泛函的泛函, 记作记作J(x(t) 2. t在在t0的增量记作的增量记作 t= t- t0, 微分微分dt= t 2. x(t)在在x0(t)的增量记作的增量记作 x(t)= x(t)-x0(t)， x(t)称称x(t)的变分的变分 3. y在在t0的增量记作的增量记作 f= f(t0+ t) - f(t0)，

8、 f的线性主部是函数的线性主部是函数的微分的微分, 记作记作dy，dy = f (t0)dt 3. 泛函泛函J(x(t)在在x0(t)的增量记的增量记作作 J = J(x0(t)+ x(t)- J(x0(t), J的线性主部称泛函的变分的线性主部称泛函的变分,记作记作 J(x0(t) 泛函、泛函的变分和极值泛函、泛函的变分和极值函数、函数的微分和极值函数、函数的微分和极值 泛函、泛函的变分和极值泛函、泛函的变分和极值 4. 若函数若函数y在域内在域内t点达到极点达到极值，则在值，则在t点的微分点的微分dy(t)=0 4. 若泛函若泛函J(x(t)在函数集合内的在函数集合内的x(t)达到极值达到

9、极值, 则在则在x(t)的的变分变分 J(x(t)=0 0d ( )()y tf tt 5. y在在t的微分的另一表达式的微分的另一表达式5. 泛函泛函J(x(t)在在x(t)的变分可以表为的变分可以表为0)()()(txtxJtxJ泛函泛函J(x(t)在在x(t)达到极值的必要条件达到极值的必要条件 0)()(0txtxJ21( ( )( , ( ), ( )dttJ x tF t x tx tt最简泛函最简泛函F具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，x(t)为二阶可微函数为二阶可微函数 固定端点条件下的泛函固定端点条件下的泛函 J(x(t)在在x(t)达到极值的必要条件达到极值的必要条件

10、: x(t)满足二阶微分方程满足二阶微分方程d0dxxFFt0 xFxFFFxxxxx tx 2211)(,)(xtxxtx两个任意常数由两个任意常数由 确定确定 欧拉方程欧拉方程0 xFxFFFxxxxx tx 11)(, 0) 0(yxyy1201( ( )d2xyJ y xxgy求求y(x) 使使 达到最小达到最小 , 且且欧拉方程欧拉方程yyyyF21),(0 yFyFFFyyyyyxyd()0dyFy FxcFyFycyyyyy)1 (122222/1)1 (cyy)cos1 ()sin(121tcycttcx圆滚线方程圆滚线方程 c2=0, c1由由y(x1)=y1确定确定.容许函

11、数容许函数 x(t)的一个端点固定的一个端点固定: x(t1)=x1，另一个端点，另一个端点在给定曲线在给定曲线 x= (t) 上变动上变动: x(t2)= (t2) (t2可变可变).x(t). A. Bx= (t)txot2欧拉方程在欧拉方程在变动端点的定解条件变动端点的定解条件0)(2 ttxFxF x= (t)垂直于横轴垂直于横轴 (t2固定固定)02 ttxF x= (t)平行于横轴平行于横轴02 ttxFxF21( ( ), ( )( , ( ), ( ), ( ), ( )dttJ x tu tF t x tx tu tu ttdd0,0ddxxuuFFFFtt欧拉方程欧拉方程泛函的条件极值泛函的条件极值21( ( )( , ( ), ( )dttJ u tF t x tu tt)(),(,()(tutxtftx求求u(t) U (容许集合容许集合) 使使J(u(t)在条件在条件下达到极值下达到极值, 且且x(t) X (容许集合容许集合) 21( ( )( , ( ), ( )dttJ u tF t x tu tt)(),(,()(tutxtftx用拉格朗日乘子化为无条件极值用拉格朗日乘