2021届广东省佛山市顺德区高三上学期第二次教学质量检测数学试卷

1、顺德区2021届高三第二次教学质量检测数学试卷第I卷一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合 A = x|2<x<4, B = (xl3x-7<8-2x),贝lj AAB=()A. xl2<x<3 B. x|2<x<3 C. x|l<x<4 D. xll<x<42. 设复数z满足z (1+i) =i,则z在复平而内对应点位于()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3. 某校髙一学生选课时，要求从政治、地理、化学、生物四门课程中选择两科进行选修，甲乙两人所选课程中完

2、全不同的选法的种数是()A. 36 B. 24 C. 12 D. 64. 九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.是算经十书中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五而体称之为“羡除”，下列说法错误 的是()A. “羡除“有且仅有两个而为三角形B. “羡除“一定不是台体C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除D. “羡除“至多有两个而为梯形5. 2020年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有A、B两个独立的医疗科研 机构，它们能研制出疫苗的概率均为1，则至少有一家机构能够研究出“新冠"疫苗的概率为3( )A. -B. -C. -D.-93996.

3、 下列函数中，其图象与函数y=ln (x+l)的图象关于直线x=l对称的是()A. y=ln (1-x) B y=ln (3-x) C y=ln (1+x) D y=ln (3+x)7. 已知p是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，则AP AB的取值范弗是()A. 2, 6 B2, 4 C(2, 4) D(0 4)8. 已知函数f (x) =ln (2lx,-l) +x2-l,则不等式xf (x-2) VO的解集是()A(a, 0) U (2, 3) B(3 -1) U (0, +oo)C. (-00, 0) U (L 2) u (2, 3) D(3 0) U (0, 2) U (2,

4、+oo)二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.2 29. 已知双曲线的方程为二-匚=1,则下列说法正确的是()169A.焦点为(±77.0) B.渐近线方程为3x±4y=0C.离心率e = - D.焦点到渐近线的距离为4410. 已知函数f (x) =sin(3x+<p)(3>0, I卩1<£)的部分图像如图所示，则()A. /(x) = sin(2x + )B /(x) = cos(2a-)36c 堆 x) = f(l+X)D /(£ -A-) = -/(| + x)11已知函数/Cv) = p7&#

5、176;S<l ,方程彳(X)以=0在区间0, 2“ (nEN*)上的所有/(x-l) + l,x> 1根的和为bn,则()A. f (2020) =2019 B. f (2020) =2020C bn=22n-,+2n-1 D b =川7z, 212. 已知 a>b>0,且 a+b=l,则()o iA. logab>logba B. - + ->6 C. ab<ba D. 2a-2b>2'b-2-aa b第II卷三、填空题：本题共4小题13. 写出曲线x2+y2-2x-4y=0的一条对称轴所在的直线方程.14. 将数列3n+l中的项数为

6、奇数的项按照从小到大排列得到数列a则如的前n项和为15. 已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，将角a的终边绕原点逆时针旋转兰后与单位圆x2+y2= 1交于点“贝'J sm2a=.45 5)16. 三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球而上，已知AABC是边长为2的正三角形，PA=PB,则aPAB面积的最大值为.四、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在®sinA=2sinB,a+b=6,ab=12.这三个条件中任选一个，补充在下而问题中，若问题中的三角形存在，求出AABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题:4

7、 1 D是否存在厶ABC,它的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且asin= csin A » c=3,2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 在等比数列&中，a3-a2=6,且ai, a2+l, a3-2成等差数列.(I) Sn为低的前n项和，证明2Sn=3an-l：(ID Tn为an的前n项的积，求数列Tn中落入区间3叫321中项的个数.19. 在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD为菱形，ZABC=60°, PB = PD(I) 证明：BD丄平而PAC(II) 若PA丄CD, 2PA=CD,求二而角D-PC-A的余弦值.20. 某篮

8、球职业联赛分为常规赛和季后赛两个阶段.常规赛采用循环赛，分主场比赛和客场 比赛两种，积分高的球队进入季后赛：季后赛采用五局三胜制进行淘汰赛，最终决出总冠 军.(“5局3胜“制是指先胜3局者获得比赛胜利，比赛结束).下表是甲队在常规赛80场 比赛中的比赛结果记录表.季度比赛次数主场次数获胜次数主场获胜次数1季度231316112季度27112183季度30162313(I)根据表中信息，能否在犯错误概率不超过0.100的前提下认为"主客场“与“胜如'之间有 关？(II)已知甲队和乙队在季后赛首轮比赛中相遇，假设每局比赛结果相互独立，以甲队常规 赛80场比赛获胜的频率估计甲队在季

9、后赛每局比赛获胜的概率，记X为本轮比赛结束时甲 队和乙队所进行的比赛的局数，求X的分布列及甲队获得这轮比赛胜利的概率.附：e皿"/-加)("+ b)(c + d)(a + c)(h + d)P (K当a=0时，求曲线y=f (x)在点(c, f (e)处的切线与两坐标轴帀成的三角形的 而积：(II) 若存在XQ1使得f (Xu) <0,求a的取值范帀.22.设椭圆C： 4 + 4 = 1(a>b>0)的藹心率c =丄，过椭圆C上一点P (2, 3)作两条 cr b2不重合且倾斜角互补的直线PA、PB分别与椭圆C交于A、B两点，且AB中点为(I) 求椭圆C方

10、程. (II) 椭圆C上是否存在不同于P的左点N,使得AlvlNP的而积为左值，如果存在，求泄点 N的坐标；如果不存在，说明理由.>k)0000.0500.025k2.7063.8415.02421已知函数 f(x) = dx2-ax)inx-x2+ax (a 为常数).24由余眩左理得 c2=a24-b2-2abcosC所以 9=a2+b'ab选择条件的解析：根据sinA = 2sinB,结合正弦左理得a=2b联立方程组9"严解得：卜2fW = 2bh = y/3所以 ABC的而积5 = 1 "sin C = 婕2 2选择条件的解析：联立方程组化简得：严：二

11、解得:号a+b = 6</ + /? = 6b = 3JJ(注：没有解出a, b,则需说明aABC存在)所以 ABC的而积S = -ahsinC = 24选择条件的解析：由9=a2+b2-abz2ab-ab=ab得ab<9与ab=12矛盾，所以问题中的三角形不存在18.【解析】(I )因为如，a?+l, as-2成等差数列，所以a1+a3-2=2a2+2设等比数列缶的公比为q,贝if "'¥/=解得ai = h q = 3q +2 = 2u、q + 2即an为首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3"->因为s“ = "f _

12、彳")=器=罕1 所以 2S=3"-l=3an-l1 1-32(II)匕=3° x 3】x J x x 3心=尹“+心)=3=由 3,() <3 <32,10<<21 解得 5淀72所以数列TJ中有3项落入区间3叫32>19.【解析】(I )证明：设AC与BD的交点为0,连接PO, 因为PB=PD,所以BD丄P0 因为ABCD为菱形，所以BD丄AC 因为P0CAC=0, PO, ACu平而PAC,所以BD丄平而PACB'C(II )因为BD丄平而PAC, PAu平而PAC,所以PA丄BD又因为PA丄CD, CDABD=D, C

13、D, BDu平而ABCD,所以PA丄平面ABCD 取BC的中点E,分别以AE, AB, PA为x, y, z轴建立空间坐标系如图设 PA=a,则 CD=AC=2a, BD = 2压,所以疙= (®a-a), PD = (0,2a-a)设平而PCD的一个法向量为n = (a z),则由卜丫 "得严= 令'=若，得”=(皿2書) n PD = O 2ay - nz = 0由因为BD丄平而PAC,所以BD为平而PAC的一个法向量，且BD =-3匕0)设二面角A-PGD的平瞅为0,则3如緒曰誅-由图可知e为锐角，所以cos=l20. (1)根据表格信息列出2x2列联表如下甲

14、队胜甲队负合计主场32840客场281240合计602080= _，1.067 <2.706n(ad - be)2_ 80(32 x 12 - 28 x 8)2(a + b)(c + d)(a + c)b + J) " 60x 20x40x40所以不能在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场"与“比赛胜负“之间有关.依题意得甲队每局比赛获胜的概率估计值为給扌X的所有可能取值为3, 4, 57169045256 = 1283 113P(X=4) = C；(-r- + C3V- =所以X的分布列为X345P7164512S27128“甲队获得这轮比赛胜利啲概率为P

15、 = (-)3 + C；(-)3(l) + C; (-)1)2 =4 444451221. 【解析】(1)函数f (x)的住义域为(0, +oo),因为F(X)= (x-a) lnxi2当 a=0 时,f （e） =c, f（£）= ，切线方程为 y = ex e244令X=0,解y = -eS令y=0,解得z 和所以S = 1x/x丄2?/442 4432（2）若要存在XQ1使得f （xd） <0,则只需f （x）在1, 4-oo）上的最小值小于0即可 当疋1时，f （x） >0在（1, +oo）恒成立，函数f（X）在x=l处取得最小值，所以fn（x） = f（） =

16、+a<09 解得44当a>l时，函数f （x）在1, a）上单调递减，在a, +oo）上单调递增， 则当x=a时取得极小值也是最小值，O1'由 Aun U） = f（"） =In " v 0 解得 u >综上可得：a的取值范羽是（yo,；）U（04<o）4c 1e =u 222. 【解析】（1）依题意得a2=b2+c2解得 a=4, h = 2/3 , c=2所以椭圆C： + = 116 12（2）解法一：因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以设直线PA、PB的方程为y-3=k （x-2）, y-3=-k （x-2）所以 A （xp y】）,B

17、 （x2> y2）联立方程 P+4r =48 消元得：(34-4k2) x2-8k (2k-3) x+4 (4k2-12k-3) =0 y-3 = k(x-2)16F -24k3 +4k2腑-24k-63 +4k2-所以y】=£（兀一2） + 3 =-12F-12k+93 + 4"肿+2463 +4k2-m2+12/1+93 +4k2设Z,y）,则"宁缶，沪宁-12F+93 + 4k2所以2 = -2,所以点M在直线y = x±x 22所以当PN/OM时，A MNP的而积为左值.此时PN的直线方程为y -3 = |（x- 2），即y = |.v +

18、 6因为卩6 12 消元得：x2.6x+8=0,解得x=4或x=2 (舍去).3 厶y = x + 6I 2所以椭圆C上存在不同于P的左点N (4, 0),使得aXINP的面积为圧值 (2)解法二：设直线 PA、PB 的斜率为 ki，k2, A (xi，yj, B (x2, y2) 因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以ki+k2=0 设直线AB的方程为y=kx+b.3 r2 4 v2 = 4X联立方程彳消元得：(3+4k2) x2+8kbx+4b2-48=0y = kx + b所以X + £ =-8kb3 + 4/4b2 -486bA，A：" 3 +4k1V|+y2 = 3 + 4F所以_3 + 儿 _3 _ (g +一3)(兀一2) + (g +一3)(西 一2) _° 兀一 2 x2 2(X - 2)(x2 2)所以 2kxiXa+ (b-2k-3) (xi+x?)4 (b-3) =0rrrI 2k(4b2 一48) + (b- 2k -3)(-8妙)一4(/? 一3)(3 + 4k2)