外球壳加内球求电势

1、7. 如图(a)所示，半径为r1的导体球带有电荷+q，球外有一内、外半径分别为r1、r2、r3的通心导体球壳，壳上代有电荷+q。试求：(1) 两球的电势v1和v2及两球的电势差；(2) 用导线把球和球壳连在一体后，v1、v2和?v为多少？(3) 在情景（1）中，若外球壳接地，v1、v2和?v为多少？(4) 设外球面离地面很远，若内球接地，情况又如何？解: 如图(a)所示，在导体到达静电平衡后，q分布在导体球的表面上。 由于静电感应在外球壳的内表面上感应出负电荷-q，外表面上感应出正电荷q，则在球壳外表面上共带电荷（q+q）。(1) 解法一 由于场的分布具有对称性，可用高斯定理求得各区域的场强分

2、布为:e1 = 0 (r<r1) , e2 = q/40r2 (r1 < r < r2 ), e3= 0 ( r2 <r<r3) , e4 = (q +q )/40r2 (r > r3 )e的方向均沿径向向外。导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。由电势定义可计算两球的电势v1和v2。内球体内的任意场点p1（r<r1）的电势: 外球壳体内的任意场点p2（r2<r<r3）的电势为:aa由v1和v2可求出导体和球壳间的电势差为:解法二 可以把球体与球壳的电势v1和v2视为由带电量为q、半径为r1；带电量为-q、半径为r2和带电量为（q+q）、

3、半径为r3的三个同心带电球面分别在场点p1和p2所共同产生的电势叠加。由于球内任意场点p1（r< r1）在三个同心带电球面之内，故有: ,在外球壳内任意场点p2（r2<r< r3）的电势为: , 两球间的电势差的计算与解法一相同。（2）当用导线把球的球壳连接在一体后，由静电平衡条件所知，电荷(q+q)全部分布在球壳的外表面上， 如图(b)所示，此时，电场只分布在r>r3的空间中，即:。同时球体与球壳成为一个等势体，即v1=v2，于是，aav= v1-v2=0。根据电势的定义，可得:（3）在情形（1）中，若外球接地，球壳外表面的电势为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内

4、表面，此时电场只分布在r1<r< r2的空间内，如图(c)所示。由于外球壳电势v2=0，则内球体内任意场点p1（r< r1）的电势为: （4）当内球接地时，内球的电势v2=0。但无限远处的电势也为零这就要求外球壳所带电量在内外表面上重新分布，使球壳外的场强沿着径向指向无限远处，球壳内的场强沿着径向指向球心处。因此，内球必然带负电。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相映减少，当球壳上的负电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷也消失完。但就球壳来说，仍带有电荷+q，由于静电感应，在内球和大地这一导体系便会感应出等量的负电荷-q，此负电荷（-q）的一部分（设

5、为-q）均匀的分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷（+q'）与之平衡。因此，在到达静电平衡后，内球带电荷-q',球壳内表面带电量为 +q,外表面带电量为（q-q），如图(d)所示。解法一 根据高斯定理可知，可区域内的场强为： 球壳上任意场点 p2（r2<r< r3）相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义式分别计算，可得: 连立上述两式，求得: , 将q的结果带入v2的表达式中，可得:相应的球体与球壳间的电势差为: 解法二 亦可根据带电导体球的电势公式和电势叠加原理求解。根据电势叠加原理，电势v1是由-q(r=r1的球面)，+q(r= r2的球面)和q-q(r= r3的球面)在内球