线性代数课件用正交变换化二次型为标准化

1、定理定理1 实对称方阵的特征值都是实数实对称方阵的特征值都是实数 .第三节第三节 用正交变换化二次型为标准化用正交变换化二次型为标准化例 1求正交矩阵 q 使 q1aq 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵.320230002a其中 320230002|ae= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,a 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5.1 = 1 时, 由 (ea)x = 0, 即, 0220220001321xxx解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)t;2 = 2 时, 由 (2ea)x = 0, 解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)t ;3 = 5 时

2、, 由 (5ea)x = 0, 解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)t.上一页定理定理 5 5将 1, 2, 3 单位化，得,)21,21, 0(01t ,)0, 0, 1 (02t .)21,21, 0(03t 故所求的正交变换矩阵为2121q =021211000对应于特征值1对应于特征值2对应于特征值5且.500020001q 1aq =任意一个任意一个 n 元元实二次型实二次型axxxxxftn),(21,11ninjjiijxxa都存在正交变换都存在正交变换 x = qy 使得使得其中其中 1, 2, , n 就是就是 a 的全部特征值的全部特征值, q 的的 n 个列向

3、量是个列向量是 a 的对应于特征的对应于特征值值 1 , 2, , n 的标准正交特征向量的标准正交特征向量.,2222211nntyyyaxx上一页1. 写出二次型 f 的矩阵 a, 并求 a 的全部特征值 1, 2, , n ( 重数计算在内 ) . 2. 求出各特征值的特征向量；若 i 是 k 重根时，找出 i 的 k 个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.步骤：步骤：3. 将所得的 n 个正交向量再单位化，得 n 个两两正交的单位向量 p1, p2, , pn , 记 p = p1, p2, , pn .则 x = py 为所求正交变换，f 的标准形为.2222211n

4、nyyyf 例 2求一个正交变换化二次型32312123222184444xxxxxxxxxf成标准形.二次型的矩阵,442442221aa 的特征多项式为442442221|ea).9(2a 的特征值是 1 = 2 = 0, 3 = 9.对于 1= 2 = 0,442442221ea000000221从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)t及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)t.上一页对于 3 = 9,542452228ea,000990542取特征向量 p3 = (1, 2, 2)t.将上述相互正交的特征向量单位化，得,)21,21, 0(1t ,)231,

5、231,234(2t ,)32,32,31(3t 属于特征值属于特征值0属于特征值属于特征值9则存在正交变换321321 32231213223121312340yyyxxx使二次型化为标准形.923yf 上一页例 3 已知二次型)0(2332),(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换化成标准形23222152yyyf求参数 a 及有所用的正交变换矩阵.二次型 f 的矩阵,3030002aaa特征方程为 3030002 |aaai= (2)(26 + 9 a2) = 0 ,a 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5 .将 = 1 ( 或 = 5 ) 代入特征方程

6、，得a2 4 = 0, a = 2.因 a 0, 故取 a = 2 .这时，.320230002a 1 = 1 时, 由 (ia)x = 0, 即, 0220220001321xxx解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)t, 2 = 2 时, 由 (2ia)x = 0 ,解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)t, 3 = 5时, 由 (5ia)x = 0 ,解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)t.将 1, 2, 3 单位化，得,)21,21, 0(01t,)0, 0, 1 (02t .)21,21, 0(03t故所求的正交变换矩阵为2121t =021211000上一页例 4已知二次型32312123222132166255),(xxxxxxcxxxxxxf的秩为 2, (1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.(1)此二次型对应矩阵为.33351315ca,30012035133351315cca因 r(a) = 2, 解得 c = 3.这时， 33335131