初三上专题四点共圆

1、学习必备欢迎下载四点共圆专题讲义例 1如图， E、 F、 G、 H 分别是菱形ABCD 各边的中点求证：E、F 、 G、 H 四点共圆例 2（ 1）如图，在 ABC 中， BD 、CE 是 AC、AB 上的高， A=60 °求证： ED = 1 BC2（ 2）已知：点O 是 ABC 的外心， BE， CD 是高求证：AO DE例 3如图，在ABC 中， AD BC，DE AB， DF AC求证： B、 E、 F 、C 四点共圆总结：四点共圆的方法：学习必备欢迎下载OA=OB =OC ADC= ABC=90° ACD= ABD =90° B+ D=180 °

2、;或 A=D 或 B=A+ BCD=180 °或CA=DCE1 _2 _3 _4 _例 4求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中AB·CD +BC· AD =AC· BD 练习 1在 ABC 中， BA BC ， BAC， M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2得到线段 PQ（ 1）若60 且点 P 与点 M 重合（如图1），线段 CQ 的延长线交射线BM 于点 D，请补全图形，并写出CDB的度数；（ 2）在图 2 中，点 P 不与点 B， M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交

3、于点 D ，猜想 CDB 的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（ 3）对于适当大小的，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点B， M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线 BM 交于点D ，且 PQ=QD，请直接写出的范围练习 2在 ABC 中， A=30°， AB=2 3 ，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 （0° < <90°），得到 DBE ，其中点 A 的对应点是点 D ，点 C 的对应点是点 E， AC、DE 相交于点 F，连接 BF .学习必备欢迎下载（ 1）如图 1，若=60°，线段 BA 绕点 B 旋转得到线

4、段 BD .请补全 DBE ，并直接写出 AFB 的度数；（ 2）如图 2，若=90°，求 AFB 的度数和 BF 的长；（ 3）如图 3，若旋转（ 0° < <90°），请直接写出 AFB 的度数及 BF 的长（用含的代数式表示） .CDCCDDFFAAABBB图 1图 2图 3EE练习 3已知，点 P 是 MON 的平分线上的一动点，射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转交射线 ON 于点 B，且使 APB+ MON =180°（ 1）利用图 1，求证： PA=PB ；（ 2）如图 2，若点 C 是 AB

5、与 OP 的交点，当 SPOB=3SPCB 时，求 PB 与 PC 的比值；（ 3）若 MON =60°，OB=2，射线 AP 交 ON 于点 D ，且满足且 PBD = ABO，请借助图 3 补全图形，并求 OP 长练习 4已知，在 ABC 中， AB=AC过 A 点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合）， BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M 在点 N 的上方），且 BM=BN，连接 CN（ 1）当 BAC= MBN=90°时，如图 a，当 =45°时

6、， ANC 的度数为 _ ；学习必备欢迎下载如图 b，当 45°，中的结论是否发生变化？说明理由；时（ 2）如图 c，当 BAC= MBN 90°时，请直接写出ANC 与 BAC 之间的数量关系，不必证明练习已知： RtA'BC '和 RtABC 重合，A'C'B=ACB=90 °，BA'C'= BAC=30 °，现将 RtA'BC '绕5点 B 按逆时针方向旋转角（ 60° 90°），设旋转过程中射线 C ' C' 和线段 AA' 相交于点 D,

7、连接 BD （ 1）当 =60°时， A' B 过点 C，如图 1 所示，判断 BD 和 AA' 之间的位置关系，不必证明；（ 2）当 =90 °时，在图2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（ 3）如图 3，对旋转角 （ 60° 90°），猜想（ 1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由图1图2图3练习 6在等边 ABC 外侧作直线AP，点 B 关于直线AP 的对称点为D ，连接于点 E设 PAB， ACE， AEC(1) 依题意补全图1；(2) 若 15°，直接写出和

8、的度数；AD， BD，CD ，其中CD 交直线AP(3) 如图 2，若 60° < <120°，判断， 的数量关系并加以证明；请写出求大小的思路 （可以不写出计算结果）学习必备欢迎下载ACACBPPB图 1图 2练习 7阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在 ABC 中， AD BC， BD=4 ，DC=6 ，且 BAC=45 °，求线段AD 的长AAABDC图 1FOBDEC图 2BDC图 3小红是这样想的： 作 ABC 的外接圆 O，如图 2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系， 可以知道 BOC=90°，然后过 O 点作 OE B

9、C 于 E，作 OF AD 于 F，在 Rt BOC 中可以求出 O 半径及 OE，在 Rt AOF 中可以求出AF ，最后利用AD=AF+DF 得以解决此题请你回答图2 中线段 AD 的长.参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图 3：在 ABC 中， AD BC， BD =4，DC=6, 且 BAC=30 °，则线段AD 的长.练习 8已知： A、B、 C 三点不在同一直线上(1) 若点 A、 B、 C 均在半径为 R 的 O 上，（ i ）如图，当 A=45°，R=1 时，求 BOC 的度数和 BC 的长；（ ii ）如图，当 A 为锐角时，求证： sinA= BC

10、 ；2R(2) 若定长线段BC 的两个端点分别在MAN 的两边 AM、 AN(B、 C 均与 A 不重合 )滑动，如图，当MAN=60 °，学习必备欢迎下载BC=2时，分别作BP AM， CP AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由练习 9在四边形ABCD 中， AB DC， AB CD ，K， M 分别在 AD， BC 上， DAM = CBK求证： DMA =CKB 分析：连 KM ，由 DAM = CBK ，得到 A， B， M， K 四点共圆，则 DAB = CMK ， AKB = AMB ，而 DAB + ADC =180°，得到 CMK + KDC =180°，因此 C， D ，K ， M 四点共圆，所以 CMD =DKC ，即可得到 DMA = CKB 解答：解：连 KM ， DAM = CBK，A，B，M，K 四点共圆，