系统动力学：延迟与平滑

1、系统动力学系统动力学：延迟与平滑延迟的现象比比皆是系统动力学模型中包含的物质流与信息流可能存在延迟。在现实生活中，延迟的现象比比皆是:厂家向顾客交付订货;感染一潜伏期一病症;播种与收获;投资与回报;延迟是信息反馈系统结构中颇为重要的一个角色。系统动力学延迟与DELAY1函数考虑一个简单的疾病蔓延模型，处潜伏期人口INC,其输入速 率为感染率INF,输出速率为疾病症候显现率SYMP,方程如下L INC.K = INC. J + DT*(INF. JK - SYMP.JK)NINC w TSS*INFRSYMP.KL = INC. K/TSS式中TSS为潜伏期，比如流感的潜伏期为3天。上述方程式可

2、用DYNAMO中的DELAY1函数代替，功能相同，但 简明方便得多(可以取消INC变量，gpiNC为隐含水平变量)。SYMP. KL = DELAYKINF.JK, TSS)SUSC1未病者1NF 咅 传染率INC处潜伏期者SYMP发病率SICK病患者CURE云RECQV康复者延迟与DELAY1函数（续）SUSC未病者1NF传染率INC处潜伏期者SYMP殳病率SICK病患者CURE去 治兪秦RECOV康复者DELAY1的结构：输入为INF（ 感染率），输出为SYMP （症 侯显现率）O传染事发病率 sy Mpi治愈率CURE NF . CURE I-i（TSS *XDELAY1（INFjK；r

3、sS）DUR治疗期SYMP与CURE两速率的结构是相 同的，都是水平/时间 常数。一阶物质流的延迟环节的输出 变化率取同一类型表达式 LEV. K/DEL, LEV为内部隐 含的水平变量，DEL为延迟 时间。系统动力学DELAY3三阶延迟环节同理，可把一阶延迟环节中隐含的一个水平变量再细分成若干个水平变量。 假定潜伏期TSS=3天，可把处潜伏期的人口INC划分为三部分，INCI, INC2 及INC3分别表示处于潜伏期第1天、第2天和第3天的人口。此时由INC到SYMP的延迟称为三阶指数物质延迟，DYNAMO中以DELAY3表示：R SYMP.KL = DELAY3(INF. JK, TSS)

4、注意：一个DELAY3方程等效于3个水平变量方程，三个肪程和三个速率方程SUSC未列者厂传染旳TNF J发病率ISYMP.处潜伏期人 口 1 NCI处豁伏期人I2INC2处潜伏期人 口 3 INC3SICK丄TSS/3潛伏胡TS5/3潜伏期TSS/3IDELAY30MF JKTSS)物质延迟的阶次阶次的含义在延迟结构中，指的是延迟环节内部包含的水平变量数。下图给出了不同阶次延迟环节的输入量发生突变时，（即为阶跃输入时），其 相应的输出量的曲线。这是一簇曲线，包括1, 2, 3, 6和12阶延迟的响应。曲线簇表明，1阶与3阶的延迟特性彼此差别很大。1阶延迟表现出简单的指数 形增长的特性，2阶延迟

5、开始表现出S形增长特性，3阶时的S形增长特性已较 明显，6阶与12阶的S形增长特性也就更加突出了。inIIIIIIIIIIII系统动力学系统动力学形模式。随着阶数的增加，延迟环节的响应的增长模式本质相同，其错开程度取决于延迟时间。显而易见，1阶与3阶的曲线差别很大，增长模式全然不同，但3阶曲线与6阶甚至12阶曲线相比则无本质差别，只是程度上差异而已，同样是S因此，DYNAMO中仅备有DELAY1与 DELAY3函数，而无更高阶次的单个函 数。信息延迟与物质在系统中流动存在延迟类似，信息在系统中传 递也存在延迟。商品信息的传递一般都带有延迟的特性。这种信息传 递的延迟，往往是系统结构中不可避免的

6、组成部分。平均或平滑信息导致延迟。系统动力学中描述信息的 延迟可用平滑函数。平滑函数与信息的平滑（续）9在DYNAMO中1阶信息平滑或平均的机制等效于如图的流图结构。可写出一阶“平滑”或“平均”函数的方程如下:L SVARK=SVARJ+DT*SRATEJKN SVAR=VARR SRATE.KL = (VAR.K-SVAR.K)/STIME系统动力学系统动力学式中:SVAR已平滑的变量;VAR待平滑的变量;SRATE平滑速率;STJME 平有日扌间STIME平滑时间。系统动力学系统动力学平滑函数与信息的平滑（续）10在DYNAMO中可在辅助方程中用SMOOTH函数代表上述方程:A SVAR.

7、 K=SMOOTH (VAR. K, STIME)式中：SMOOTH为平滑函数。被平滑的变量可以是水平、速率和辅 助变量。平滑时间STIME通常为常数 ,但也可以是变量。直观地看，平滑时间系指变量VAR经STJME 平有日扌间积累达到指数加权滑动平均值所需的 时间。系统动力学11平滑函数对输入量的响应持性若变量VAR为阶跃函数（突增后保持恒定），其平滑值SVAR将渐渐趋于此恒 定值。若VAR是一个脉冲，SVAR不能达到VAR的幅值，并按另一指数式的寻的特性 下降。若VAR是一振荡的输入量，其平滑值SVAR亦将随着振荡，但幅值要小得多。In；因此平滑函数具有平滑原变量的激烈起伏功能。经平滑得到的

8、平均值正是 所期望的真实趋势。m12信息延迟（续）当一变化量增加时，其平滑值也随之增加，但有滞后现象。系统动力学系统动力学平滑吋阎系统动力学系统动力学三阶信息延迟函数DLINF313可以把数个1阶平滑函数串接成为高阶的信息延迟。如图为三阶信息延迟的流图。图中每一水平变量都力图跟踪前 一级的水平值。利用DYNAMO的三阶信息延迟函数DLINF3,用一个方程式就能代 痕。A SV3. K=DLINF3 (VAR K, STIME)式中:SV3三阶信息延迟输出;DLINF3三阶信息延迟:VAR一输入变量;STIME平滑或延迟时间oST1ME/3系统动力学系统动力学物质延迟与信息平滑和延迟函数的流图符

9、号14输人率延迟时间变量1DLINF 3$延迟时间臥"DUNF 3 U舞时 变stI系统动力学测试函数16测试函数通过不同类型的摄动实验可从模型及其代表的反馈系 统获取大量信息。这些摄动实验是藉助各类测试函数 进行的。在模型测试中可采用变量的突增，斜坡，振荡与随机干扰等。这些实验均有助于揭示模型内部结构与其动态行为的 关系。这类测试的目的在于深入地研究模型和它所代 表的信息反馈系统。DYNAMO有各类模拟外生摄动的测试函数，包括：斜坡 RAMP,脉冲PULSE,正弦SIN,和噪声NOISE。SIMPLE INVENTORY MODKL简单祚存欖型方程式清单SIMPLE INVENTO

10、RY MODKL简单祚存欖型方程式清单简化的库存模型（流图）延迟时闻DEL正常发货率NSHIP阶跃 祥坡 脉冲 正眩 噪声'数输入网存订货率交贺 远迟TAS 发货申 平滑时间AVSHIP平均发坍率E>J ORDRCVINVWJORDRSSHIP1 TAT""冲应存凋I'节时间/SIMPLE INVENTORY MODKL简单祚存欖型方程式清单简化的库存模型（方朿NOTENOTESHIPNENTS 发货NOTER SHIRKL=NSHIP+TESTKSHIPMENT RATE (UNITS/WK)C NSHIPulOOA TEST. K=TEST1 *

11、STEP(STH,STRT) + XTEST2 * RAMP(SLP.STRT) +XTEST3 PULSE (IIGTH,STRT,INTVL ) 4-XTEST4 * ANP * S】N(6. 283 * TIME. K/PER) +XTEST5 * RANGE * NOISE()'C TESTI = 0/TEST2 =-0/TCSl'3 => 0/TEST4 = 0/TEST5 = 0C STH =10, STRT = 2 ,SL?=20 .HGTH =10,1NTVL 土 200, AMP = 10,XPER«5,KANGE=20L INV. K=INS

12、 J+DT * (ORDRCV.JK-SHIPJK)N INV=DSINVIN V ENTORY (UNITS)R ORDRCV. KL=DELAY3(ORDRS. JK ,DEL) ORDERS RECEIVED<UNITS/WK)C DEL=3(WKS)DELAY IN RECEIVING ORDERSNOTESIMPLE INVENTORY MODKL简单祚存欖型方程式清单CONTROL STATEMENTS 控制语句 25/LENGTH = 0/PRTPER - 0/PLTPER *=. 5 SHIP, TEST, INV .ORDRCV .ORDRS .AVSHIP, INVA

13、DJ SHtP=S/INY=lNOTE ORDERS 订货NOTER ORDRS. KL=AVSIIIP. K+INVADJ- KA AVSHIP.K=SMOOTH(SHIP. JK,TAS)C TAS=2(WKS)A INVADJ K = (DS1NV 一 INVK)/IATC IAT=2(WKS)N DSINV=D1C*NSHIPC DIC=3(WKSNOTENOTENOTESPEC DTPRINTPLOTORDERS PLACED (UNITS/WK)AVG SHIPMENT RATE (UNITS/WK) TIM£ TO AVERAGE SHIPMENTS ； INVENTO

14、RY ADJUSTMENT(UN1TS/WK) INVENTORY ADJUSTMENT TIME DESIRED INVENTORY (UN ITS)DESIRED INVENTORY COVERAGESIMPLE INVENTORY MODKL简单祚存欖型方程式清单SIMPLE INVENTORY MODKL简单祚存欖型方程式清单简化的库存模型（方程）19速率变量订货ORDRS的来历:R ORDRS. KL=AVSHIP. K+INVADJ. K AAVSHIP. K=SMOOTH (SHIP. JK, TAS)AINVADJ. K = (DSINV-INV K) /TAT隐含在这一组方程中的思 想是，订货率ORDRS等于 平均发货率加上库存调节 率 INVADJo式中洽ORDR