矩阵分析1矩阵的概念

1、矩阵分析办公室：2118移动短号：6685612021-10-29课程模块矩阵的概念5%行列式20%矩阵的性质和运算35%线性方程组的计算25% 维线性空间15%复习n2021-10-29课程考核方式平时成绩（考勤）期末成绩40%60%2021-10-29选修课的意义 必修课关注学生基本的科学文化素质，追求知识与技能的基础性、全面性、系统性、完整性，为学生的一般发展奠定知识技能与情感态度基础。但是，随着知识的发展，知识在不断走向分化、深化、细化的同时也不断地交叉、渗透、融合。知识的不断分化与整合使传统的学校课程很难反应人类知识的当代当代成就，滞后于知识的发展。必修课的数量与内容总是有限的，20

2、21-10-29它在知识的深度与广度上受到一定的限制，而选修课则可以弥补必修课的不足，它一方面可以对必修课的内容进行拓展或深化，另一方面，又可以发展学生的技能、特长。它扩展了学校课程的种类与范围，使学校课程生机勃勃，充满活力，强化了学校课程与知识世界的动态联系。发展学生的兴趣和特长，培养学生的个性选修课不是必修课的陪衬，更不是必修课的附庸，它是一个独立的课程领域，有自己独特的目标、任务、优势和作用，是现代学校课程制度的重要支柱，不可或缺。我们必须彻底打破中学课程结构封闭、僵化、萎缩的状态，重构个人对知识学习的模式，使必修课与选修课优势互补、动态平衡、充分释放各种课程的潜在功能，发挥每一个学生的

3、聪明才智，让每一位学生成为社会的高素质人才。矩阵的概念 矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念，是线性代数的重要内容之一，它贯穿线性代数的各个部分。矩阵是许多学科中常用的数学工具，它在自然科学、工程技术和国民经济的许多领域中都有着广泛应用。2021-10-29定义1 m n个数 排成m行n(1,2,;1,2,. )ija im jn 列矩形表格111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为mn矩阵，简称矩阵。 称为矩阵第i行第j列的元素。ija2021-10-29矩阵的表示法：矩阵的表示法： 一般用大写字母a,b,c， 表示矩阵，有时为了表明一个mn矩阵a的行数和列数，也把它

4、记为amn 或()ijm na注：注：1、当m=n时，矩阵amn 称为n阶方阵；2、当m=1时，矩阵amn 称为行矩阵；3、当n=1时，矩阵amn 称为列矩阵；4、当m=n=1时，矩阵amn 称为一个单独的数， 记为： 变成普通的数字。11 1 111()aa2021-10-29112111()ijmmaaaaamm行的列矩阵（又称为 维列向量）111211()ijnnaaaaann列的行矩阵（又称为 维行向量）2021-10-29例1 矩阵203111523243a3 4.(2,0,3,1),(1,1,5,2),(3,2,4,3).aaa是矩阵 的三个行称为矩阵 的行向量 的列2031115

5、23243 ，a称为矩阵 的列向量.2021-10-292m n00定义元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 或3()(),=(1,2,;1,2, ),ijm nijl kijijaabbml nkab im jnab定义设与为两个矩阵.如果且则称这两个矩阵相等，记为说明：两个矩阵相等的条件首先是这两个矩阵的行数与行数以及列数与列数相等；其次是对应位置上的元素都要相等，即只有完全一样的矩阵才称为相等.1212,3435abab2021-10-29下面我们来定义矩阵的运算1.加加法法定义4设111212122212()nnijm nmmmnbbbbbbbbbbb111212122212()nnijm

6、 nmmmnaaaaaaaaaaamn是两个矩阵，则矩阵2021-10-29()()ijm nijijm nccab111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab.abcab称为矩阵 与 的和，记为注意：两个矩阵必须在行数与列数分别相同时才能相加.()().ijm nijm naaaaa设，把称为矩阵 的负矩阵，记为().abab 由此我们可以定义矩阵的减法为：2021-10-292.数数量量乘乘法法(),ijm naak定义5设矩阵为一个数，称矩阵111212122212()()nnijm nijm nmmmnkakakakaka

7、kakak akakakaka.akka为 与 的数量乘积，记为说明：矩阵的数量乘法运算就是用一个常数去乘矩阵中的每一个位置上的元素.2021-10-29.注：矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算我们可以根据矩阵加法和数量乘法的运算法则验证如下几条运算律：, ,a b cm nl k0设与 都是矩阵,是常数，则(1);()(2)()();()(3)0;()(4)()0;()(5) ();()(6)();()(7)( )();()(8)1.abbaabcabcaaaak abkakbkl akalakl ak laaa 加法交换律加法结合律加法零元加法归零律数量对矩阵的分配律矩阵对数量的分配

8、律矩阵对数量乘积的结合律2021-10-292124330150132 ,112123142143ab例设32 .ab求解1243301532 =301322 1121231421433612960210=03962242693 124286ab2021-10-2936601229 10=0232946264923 812696141=2554107116 3.矩矩阵阵乘乘法法定义5设111212122212()nnijm nmmmnaaaaaaaaaaa2021-10-29111212122212()kkijn knnnkbbbbbbbbbbb则矩阵111212122212()kkijm k

9、mmmkccccccccccc1 12 21nijijijinnjikkjkca ba ba ba b其中abcab称为 与 的乘积，记为2021-10-29cijaibj说明：矩阵的乘法事实上就是矩阵 的第 行第 列的元素等于第一个矩阵 的第 行与第二个矩阵 的第 列的对应元素乘积的和.当然，两个矩阵只有在第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能够相乘.3230120,121213311ab例设2021-10-292301204121212131472311cab则下面我们来看看矩阵乘法的运算规律.5321,10684ab设有矩阵：53213417106846834ab则有：2021-10

10、-292153008410600ba由此可以看出矩阵的乘法不满足交换律.即一般来说：abba.abacbc同时我们看到，两个非零矩阵的乘积可以等于零矩阵，由此还可以得出矩阵乘法的消去律不成立.即当时也不一定有但是矩阵乘法满足以下运算律：(1)();(2)();();(3), ()();ab ca bca bcabacab cacbck k aba kb结合律:(分配率:对任何常数2021-10-297()10n n定义单位矩阵 主对角线上的元素全是 ，其余元素全是 的矩阵100010001.nnee称为 阶单位矩阵，记为，或简单的记为1nne注意： 阶单位矩阵在矩阵分析中的地位就相当于初等数学

11、中的,mm nm nm nnm ne aaaea易知：2021-10-298,.kankkaaka定义设 为 阶方阵， 是正整数 称 个 的乘积为 的 次幂，记为即=.kkaaaa 个,k l说明：当是正整数时由矩阵乘法的结合律我们有,klk la aa().klklaa因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以一般情况下有().kkkaba b2021-10-294 4矩矩阵阵的的转转置置9m n定义设矩阵111212122212()nnijm nmmmnaaaaaaaaaaan m称矩阵112111222212mmnnmnaaaaaaaaa2021-10-29taaa为矩阵 的转置矩阵，记为或矩阵的转置适合以下的规律：(1)();(2)();(3)();(4)().ttttttttttaaababkakaabb a请大家验证前三个等式，我们现在验证第四个111212122212=nnmmmnaaaaaaaaaa111212122212kknnnkbbbbbbbbbb2021-10-29()tttabb akmabij首先与都是矩阵，其次的第 行第 列的元素为1,nittjta b()tabij所以的第 行第 列的元素为1,njttita b,.tttittjtbitbatjab aij