实体和结构国际杂志

1、A. Gasmi等人/ 国际固体和结构杂志 48（2011）843-853实体和结构国际杂志 固体和结构国际杂志 剪切变形、伸展环接触的闭合解两刚性表面Amir Gasmi a, Paul F. Joseph a, Timothy B. Rhyne b, Steven M. Cron bDepartment of Mechanical Engineering, Clemson University, 102 Fluor Daniel Building, Clemson, SC 29634, USAb Michelin Americas Research and Development Comp

2、any, 515 Michelin Road Greenville, SC 29615, USA_文章信息 摘要 文章历史 使用弯曲梁理论和分析方法考虑圆环与平面接触。应用于2010年 八月十八收到 包括轮胎，弹簧和加强件等。控制微分方程是使用虚拟工作原理导出于2010年十月十三收到修订表格 的，并且该公式包括由于弯曲，横向剪切和周向延伸引起的变形。三在2010年九月二十一可在线 个相关联的刚度量，EI，GA和EA分别作为独立参数保留在微分方程 中。这允许通过适当的限制直接获得特殊情况，例如不可伸长关键词 的Timoshenko光束（EI和GA）或可伸展的欧拉梁（EI和EA）。接触 研究了这三

3、个刚度参数对接触压力解的影响，其示出了如何为应用的目的选择这弯曲梁 些基本参数。虽然该制定是针对小位移理论的，但是考虑径向和周向分布载荷，可扩展性 这允许变形状态下的压力是垂直的而不是径向的，这样的显示是重要的。剪切变形 所有力和位移量的闭合形式表达式根据接触边缘的角位置获得，其必须用数字确定。Timoshenko梁 可扩展性使接触区域内的解析表达式复杂化，并且在这种情况下提出了串联解。 析地确定环的刚度的两项渐近表达式。最后，使用商业有限元软件ABAQUS验证所有解决方案，注意非线性行为和这些解决方案的有效范围。©2010 Elsevier Ltd.版权所有1介绍 在若干工程应用中

4、可能遇到弯曲梁或杆，例如桥结构，航空航天结构，轮胎，弹簧，管子，用于壳的加强件等等。由于广泛地使用弯曲梁，已经在理论开发和各种相关的力学问题的解决方案中显示了大量的兴趣。并且第一个贡献可以追溯到19世纪，在过去三四十年间已经进行了涉及动态和静态行为的许多分析和计算研究。大多数最近的努力集中于考虑轴向延伸和横向剪切变形的圆拱的振动。例如，Tüfekçi和Arpaci（1998）确定了均匀横截面的圆拱的自由面内振动的确切解，包括横向剪切变形和旋转惯性效应的影响。 Lin和Lee（2001）通过使用Lin（1998）给出的广义Green函数提出了具有一般弹性边界条件的动态分析的闭

5、形解。 Qatu（1993）为薄而厚的层状弯曲梁开发了一组运动方程，并为简单支撑的弯曲梁获得了精确闭合形式的固有频率。他还研究了旋转惯性，剪切变形，曲率和厚度比以及材料正交对固有频率的影响。其他参考文献参见Markus和Nanasi（1981），Laura和Maurizi（1987）和Chidamparam和Leissa（1993）。最近对于弯曲梁的静态分析也有兴趣，因为Timoshenko（1955）在第六章中将EulerBernoulli的线性弯曲理论延伸到弯曲梁的早期贡献以及Flügge（1960）建立了壳的应力分析并详细考虑了圆柱形和球形壳。 Limetal（1997）提出了

6、当横向载荷作用在梁中心线时，Timoshenko和欧拉-伯努利弯梁的挠度和应力结果之间的确切关系。这样的结果使得能够直接转换Timoshenko的“熟悉的”欧拉 - 伯努氏溶解度。 Lin（1998）提出了Green的功能方法来解决n阶常微分方程，并应用该方法获得具有一般均匀弹性边界条件的可扩展圆弧曲线Timoshenko梁的静态分析的精确解。虽然大多数研究是圆形梁，林和黄（2007）提出了一种分析方法来确定任意曲率的二维静态弯曲梁的各向同性材料的一般解决方案，而不考虑剪切变形。他们认为椭圆，抛物线和指数螺旋形是例子。林和Hsieh（2007）的文件（林和黄，2007）延伸到劈裂的弯曲梁，仍然

7、包括剪切变形。他们考虑了纵横比，厚度比，正交比和堆叠序列对层压环的影响。后来Lin和Huang（2007）通过包括剪切变形的影响，得到了具有可变曲率的平面内弯曲梁的静态闭合形式解。在同一上下文中，Guedes和Alcides（2008）使用梁的分析分析来评估三点弯曲法，以确定弯曲梁两端的环向模量和最大周向应力。尽管弯曲梁广泛用于结构中，但是已经公开了涉及弯曲梁接触的几个研究。 Wu和Plunkett（1965）使用欧拉-伯努利梁理论考虑大偏转效应，解决了使用刚性砧座接触的不同半径的两个薄的不可延伸环的大变形接触问题。这些后来的作者没有考虑剪切变形和可延展性，并且表明在触点的边缘处存在剪切力的不

8、连续性。 Block和Keer（2007）利用平面应变各向同性弹性来研究由平坦，刚性表面缩进的无摩擦，弹性弯曲梁的接触。接触问题使用Michell-Fourier系列扩展解决。将弹性解与传统的欧拉 - 伯努利梁进行比较，解决方案对于薄环的极限情况表现出良好的一致性。在Robbins（1965）的技术报告中，介绍了使用壳体理论和包括剪切变形的影响夹紧在两个边缘上的各向同性半环的接触的解决方案。在Block a， Keer（2007）和Robbins（1965）对各向同性材料行为的研究中，压力在变形状态下被认为是径向的，这与小变形理论一致。如将示出的，径向压力导致梁内的错误的轴向力，此外，从环设计

9、的观点来看，将弯曲刚度与剪切刚度解耦以便产生特定的压力分布是有利的。 上述研究是针对无穷小应变理论和对于本文考虑的环问题，重要的是承认大位移的影响。目前的研究没有考虑大位移，读者可参考第4章中的Fris-ch-Fay（1962），他介绍了具有初始曲率的不可伸长柔性条的非线性弯曲理论。 因此，本研究通过考虑垂直于刚性板的接触应力来解决均匀弯曲梁在平坦，刚性表面上的对称接触。控制方程和解是三个基本刚度参数EA，EI和GA的函数，分别是轴向刚度，弯曲刚度和剪切刚度。可以获得的极限情况的常见示例是欧拉-伯努利梁和不可伸展的Timoshenko弯梁理论。为了验证结果，将本解析解与使用ABAQUS的有限元

10、法进行比较。提出了环的全部刚度选项的接触压力的参数研究。2弯曲梁理论图一描绘了一个均匀曲梁的矩形交叉-部分。圆形梁是由其几何特征统一的横截面,不变的厚度b宽度h和曲率半径R表示横截面的重心。在即将到来的小节,只有平面变形考虑和三维弹性连续体建模为一维梁见图1 b。得票率最高(1921)和得票率最高(1922),然后古典Euler-Bernoulli(欧拉,1744)假设,控制微分方程派生的。2.1 Timoshenko弯梁2.1.1 平衡方程在Timoshenko（1921）和Timoshenko（1922）之后，假定梁变形后横截面仍保持直线，这意味着均匀剪切应变。 剪切校正因子用于补偿均匀剪

11、切应变的假设，如例如Cowper（1966）所示。 相关的位移字段由下式给出：其中ur()，和ur0(),（）分别是相对于横截面的质心的横向位移，圆周位移和横截面旋转。 引入厚度变量z = r- R，位移场变为. 将（2）代入到应变的标准表达式中极坐标.给出角度 1和 2如图所示的圆之间的部门虚拟应变能，1b已经给出将4代入5得到就弯矩，轴向力和剪切力的应力结果而言.虚拟应变能表达式（6）可写为综合上述各部分，虚拟应变能的表达式，考虑施加在梁的中间表面处的径向和周向分布载荷qn()和qr()，外部虚拟势能可以写为虚拟工作的原理指出，平衡中的可变形连续体的虚拟工作为零，这是通过9-11所得等式

12、（12）对于任何允许的虚拟径向和周向位移和虚拟横截面旋转的集合是有效的。 因此，具有可扩展性的均匀弯曲的Timoshenko梁的静态平衡方程由这些平衡方程给出（12）中所示的基本自然边界条件 2.1.2 控制微分方程材料行为现在引入使用线性本构关系，其中E和G可以是z的函数。 将（4）代入（7）中给出了关于位移的应力导数的表达式如下：其中引入等式中的刚度系数代入公式（15）得到:将（15）代入平衡方程（13），给出位移场的控制微分方程，在极限中，随着半径R变得远大于厚度，h，R + z可以被R代替，这允许刚度表达式（16）被更熟悉的细长束表达式代替将（18）代入式 （17）给出了均匀弯曲的拉伸

13、Timoshenko梁的近似控制微分方程如下，耦合微分方程 （19）经受以下独占的本质/自然边界条件; 其中任一个必须在波束的每个边缘处已知，对于梁的结构构件，其厚度与其特征长度相比应该是可以忽略的。 在弯曲梁的情况下，特征长度是曲率半径R.。此外，基于在控制方程的一些比较模拟（17）和近似等式 （19），只有当h / R大到足以违反标准束假设时，才有明显的差异。 因此，就直射束而言， （19）被认为是长度比约为十分之一的连续体问题的适当近似。2.2. 欧拉伯努利弯曲梁欧拉 - 伯努利运动学假设表明，在变形之前，垂直于形心轴的平面保持平面并且与形心轴正交（Wu和Plunkett，1965）。

14、由于这对应于零剪切应变， （4）3 Euler-Bernoulli横截面旋转的运动约束可以表示为：因此，位移场（1）变为，因此解集变成根据刚度表达式（16）的控制微分方程可以获得并写成如下：使用h与R相比小的近似，可以将控制微分方程简化为使用与R相比h很小的近似，可以将控制微分方程简化为这些方程经受以下边界条件，3.解决程序为了分析求解均匀弯曲梁的控制方程，（19）或（23），方便的是将它们解耦，并且只用一个未知数表示一个方程。 在由方程（19）给出的均匀弯曲的Timoshenko波束的情况下，横向位移的非耦合方程以及圆周位移，横截面旋转和横向位移之间的关系可以表示如下这里有等式类似地，对于均

15、匀弯曲的欧拉 - 伯努利梁，横向位移的非耦合方程和圆周和横向位移之间的关系可以由下式给出：注意，在极限中，由于GA变得比EA和EI / R 2大得多，这意味着欧拉伯诺利波束理论是Timoshenko波束理论的特定情况。 因此，在接下来的部分中，仅考虑Timoshenko波束方程。3.1. 均质解决方案假设零分布加载，对于均匀弯曲的Timoshenko波束的（24）的一般均匀解给出如下：其中(Ck)1<k<6是未知的系数，其可以通过指定边界条件来确定。尽管（24）清楚地示出了径向位移的控制方程的阶数ur是5，表示旋转微分方程的阶数的上述通用值，圆周位移u h0分别为4阶和6阶。 内力

16、和力矩可以通过组合方程 （15），（18）和（26），3.2.接触解考虑一个拱，其中角坐标的原点在6点取得，压在如图2所示的平坦的刚性地面上。假设弧的整个长度将接触，其中角度h =±h L对应于接触的两个边缘。因为对于无摩擦接触，接触压力q（）垂直于刚性地面，即垂直力的径向和圆周分布是根据压力给出的在接触区域内有四个未知函数：ur，u，和q。这些未知数必须满足三个控制微分方程（19）和由接触运动学提供的第四个方程。下面如图2所示，当平坦的刚性地面向上移位d时，垂直位移可以表示为此外，两个坐标系中的位移场之间的关系由下式给出， 结合（28）（30）与（19）给出了一个完整的差分系统，由

17、三个未知函数u， 和q组成的以下三个方程，分别为水平位移，横截面旋转和接触压力：这些微分方程可以容易地解耦成一个非耦合的四阶微分方程，其具有水平位移u中的非常系数。使用变换，虽然可以根据广义超几何表达式获得（33）的闭合形式均匀解，但是这些表达式是乏味的并且在本研究中将避免。对于不可伸长束的特殊情况，闭合形式解适合。然而，对于可延伸梁的一般情况，提出了一种解决接触问题的替代方案，其利用原始微分方程（19）代替（31） 。利用对称性，接触压力是一个偶函数，因此可以用以下一系列余弦表示，形成一个完整的基础：由于这里考虑的控制方程是线性的，因此可以应用对应于任意分量n的解的叠加。此外，考虑到一般解是

18、特定解加上均匀解的叠加，以下符号用于表示一般解，假设（34）其中ur(n),是以下耦合微分方程的特定解：在确定对应于形式（34）的任意压力的一般解（35）之后，必须实施接触条件（29），其现在用径向和切向位移表示如下 ：现在考虑截断（34）到有限数量的项，即利用子序列ie,（37）中的垂直位移的两个表达式将不会相等。因此，最小寻找将满足条件（37）至足够精确的阶数的项，理解在该线性解中，以弧度表示的接触角h L，这是通过扩展方程的每一侧来实现的。 （37）转换成泰勒级数和匹配项。由于有利的原因，如对称性，可以表明，泰勒的公式（37）满足顺序2（m + 1）。例如，如果在近似压力表达式（34）中

19、m = 3，则通过适当匹配项，将使（37）的泰勒展开满足h的2（3 + 1）= 8阶的顺序，h 10L。由于在大多数情况下接触角比单位小得多，因此认为m = 3足以给出优异的结果。此外，通过将近似解与由（37）给出的精确边界条件进行比较，可以容易地验证准确度。4.接触环考虑如图1所示的与两个刚性表面接触的薄环。两个平坦表面通过相等的位移d朝向彼此移位。如图3所示，环被细分为接触的区域I和不接触的区域II。在该解决过程中仅假定一个接触区域。该问题关于垂直和水平轴是对称的。因此，解决这个问题相当于解决了四分之一的环。使用对称性可以恢复整个环的解。区域I的解决方案在第3.2节中描述。由于关于h =

20、0的对称性，接触区域引入对应于（26）中的C2，C3和C6的三个未知系数。然而，在来自（37）的泰勒级数项的匹配中消除了这些中的一个。因此，从区域I有两个未知数，将被称为（C k)1<K<2。考虑到关于h = p/2和以下（26）的对称性，在区域II中，位移表达图。 3.两个刚性板之间的接触环。式根据三个未知系数（C k)5<K<6写成如下：相似的，外部的力和瞬间等式是除了来自两个区域的总共五个系数，接触角h L也是未知的，这使得总共六个未知数。 这些常数通过使接触边缘处的所有基本量和自然量相等来确定，接触边缘是两个区域的边界。 六个连续性条件是上述等式 （40）26提

21、供五个线性方程，以求解关于未知接触角h L的五个未知系数（C k)1<K<5。 将（C k)1<K<5的解析表达式代入式 （40）1提供由数值确定的h L的非线性方程。一个重要的基本结果是总负载和垂直偏转之间的关系。 为了找到关于垂直偏转到第二阶的总负载的串联膨胀，将接触角h L写为串联膨胀他的表达式然后代入（40）1并扩展为二阶，得到以下解因此，可以表示关于偏转的总负载的二阶扩展。一阶结果表示在两个径向相对的点载荷之间的环的情况下偏转和总载荷之间的关系。从（43）可以获得的小偏转的另一个基本结果是接触压力被确定独立于三个刚度参数。 Rhyne和Cron（2006）已经

22、表明，当剪切变形占主导地位时，该结果是有效的。4.1验证为了验证分析结果，有限元软件ABAQUS用于模拟具有适当边界条件的半环，因为两个边缘在两个分析刚性板之间被按压。使用线性平面Timoshenko梁元件B21来对梁进行建模，并且使用无穷小变形和线性几何解算器。用于该验证研究的材料和几何形状示于表1中。分析和有限元方法结果在图1中对于位移非常一致。图4a中，内力和力矩产生于图4a。如图4b所示，图5中的力 - 位移曲线。 6。在图4b中，垂直压力的影响被显示为在确定接触区域内的轴向负载时是重要的。一般来说，基于这些结果，清楚的是，线性分析模型能够针对小偏转给出相对良好的结果。然而，如图1所示

23、。如图6所示，对于引起大的刚性体旋转的大偏转，线性解决方案不能预测大负载的正确软化趋势。在本研究中采用的分析基于线性弹性的假设，即小位移梯度。基于由（43）给出的预测的硬化趋势，其即使在小负载下也不匹配非线性软化趋势，可以得出结论，需要包括非线性几何的效果以正确地确定第二多项式强迫位移关系的系数。了解这一限制，在下一节研究梁的材料行为对接触压力的影响。4.2梁刚度参数对接触压力的影响所研究的问题的参数空间涉及几何参数d / R，其是偏转和梁的质心处的曲率半径之间的比率（图3），并且两个无量纲材料刚度参数，它们分别是轴向和弯曲刚度之间的比率以及剪切和弯曲刚度之间的比率。第一个参数量化了梁可延伸性

24、的重要性。第二个参数量化了剪切刚度的重要性。这些参数考虑材料属性表格1用于验证研究的光束属性。图 4.分析和有限元解的比较（a）位移分量（b）内力和力矩。图4b示出了当使用径向压力时在接触区域内的轴向力的差异。图5 分析得到的接触压力与有限元方法的比较。假定归一化压力结果的焦点在材料行为上，使用d / R = 0.27的恒定值，这将清楚地示出解决方案的趋势。为了了解两个材料刚度参数k和c的影响，关键的限制情况总结在表2中。表2材料刚度参数k和c对接触压力的影响的重要情况。k = 227 c = 0.0909 来自表1和图1和2的正交环图4-6k = 3637 c = 1399 各向同性环，m

25、= 0.3和h / R = 1/40固定的 lim 不可伸展梁; 对c的值敏感的压力（参见图7和9）固定的 lim 0异常情况下，伸展性占主导地位，变形和接触面积减少到一个点（见图8）固定的 lim 欧拉 - 伯努利梁行为：弯曲变形支配剪切变形，压力在接触边缘变成两个尖峰(参见图7和8)固定的 lim 0剪切变形支配弯曲并且压力变得均匀（参见图9）在图7中，k参数大，其表示不可伸长的梁，并且c的值从非常小变化到非常大，其中剪切主导弯曲，其中弯曲主导剪切的欧拉 - 伯努利行为。这些结果示出了当剪切变形变得更重要时，两个压力尖峰的欧拉 - 伯努利情况如何切换到更均匀的压力。在>105的极端情

26、况下，中心的压力是负的，表明将存在两个独立的接触区域，非接触中心。由于满足接触条件，化学解决方案是正确的，但结果是非物理的，除非允许粘附。在图8中，梁具有恒定值=106，其对应于弯曲变形支配剪切的欧拉 - 伯努利梁。 k参数的变化揭示了可扩展性的影响。由于剪切变形受到抑制，当伸长率主导弯曲变形时，压力范围从不可伸长极限（大k）的两个尖峰到单点负载。在后面的限制中收敛变得困难。 也许从设计的角度来看，最有趣的情况是实现有趣的压力，如图1所示。在这种情况下，使用小的值=10-5，其对应于剪切变形主导弯曲变形的梁,再次研究了对另一个参数的范围的压力的影响。当k大于c（剪支配延伸）时，实现了向上的，接

27、近恒定的轮廓。当k和c具有相同的数量级（剪切和延伸是可比较的）时，压力变得更均匀，并且实际上切换到稍微向下凹。然后对于比c小得多的k，再次出现难以收敛的单点负载的极限情况。 可以看出，式 （45）。 最终结果如图1所示。 图10示出对于对应于不可伸长梁的固定值k=10-4，总负载如何取决于作为刚度参数c的函数的接触角。 当剪切支配弯曲（小c）和当弯曲支配剪切（大c）时，两个线性曲线表现为极限情况。 制剂的多功能性，改变材料参数和细长比，提供了两种限制情况之间的转变。图7.归一化接触压力分布对于由k=10-6定义的几乎不可伸展的束和d = 0.27R的固定偏转的比率c的灵敏度。图 9.标准化接触

28、压力分布对比率k的敏感性，比率=10-5，其中剪切主导弯曲，固定偏转d = 0.27R。图8.归一化接触压力分布对于比率k的敏感性，对于c = 10 6（欧拉 - 伯努利梁行为）和固定偏转d = 0.27R。图 10.总负载 - 接触长度关系对比率c的敏感性，比率k=10-4.5.结论和评论考虑了在两个刚性平板之间压紧的环的无摩擦接触的问题。由剪切和轴向载荷引起的变形已包括在控制微分方程中。接触压力取为垂直而不是径向，以容易解决问题的非线性特征。由于对称性，将环的四分之一分成两个区域，即自由表面区域和接触区域，然后溶液在接触边缘处匹配。该解决方案通过数值确定接触角来获得，拟合接触边缘处的必需量

29、和自然量。 所提出的解决方案提供了全范围的压力分布，因为三个材料刚度参数，EI，EA和GA连续变化。呈现归一化的压力，允许使用两个材料刚度参数k和c，其分别量化轴向弯曲刚度和剪切与弯曲刚度的比率。从实际使用和设计的观点来看，可以获得最重要的效果，因为比值R2 GA / EI从压力几乎均匀的小变化到大，其中压力在边缘处呈现两个不同的尖峰的接触。实际上，对于各向同性材料行为的情况，接触压力分布在接触边缘处显示尖峰，在中心处显示非常低的压力。此外，不可延伸的假设是各向同性波束的适当近似。然而，当材料是高度正交各向异性时，即，如果剪切模量和弯曲模量之间的比率小，则接触压力趋于变得更均匀。 包括延展性和

30、剪切力的本近似理论不正确地预测了接触压力的接触边缘处的不连续性。弹性解决方案要求压力在接触边缘处下降到零，并且包括径向法向应变是合理的。此外，不考虑大位移的线性弹性假设导致接触应力分布以及负载 - 挠度曲线的误差。 本文中使用的相同公式可用作制定具有可变曲率，沿着梁的轴线的可变材料特性以及不同形状和可变横截面的弯曲梁的控制方程的方法。确认 本研究得到NIST / ATP资助。克莱姆森作家衷心感谢通过米其林美洲研究和开发公司获得支持。附录A.不可伸长的环 本文提出的一般弯曲梁配方的有趣的特殊情况是不可伸长极限，这意味着变形仅由于弯曲和剪切。对于细长束，这种假设等于考虑到重心轴与中性轴重合，即，使

31、用（A.1）和（4）1，得出结论在这种情况下，轴向力N和位移分量之间的先前关系不再有效。 使用平衡方程 （13）并代入（15）的力矩和剪切表达式，不可伸长梁的控制微分方程由下式给出：A1一般均匀解去耦（A.3）并且使qh和qr等于零，得到一般均匀解，A2. 一般封闭形式接触解图1中描述的问题的解决方案。 对于不可伸长的梁的情况可以分析地确定。 同样，力的径向和圆周分布由方程 （28），接触条件由下式给出。 （29）。 使用公式将极坐标位移分量写入笛卡尔坐标系中。 （30），并利用以下数学变换，可以使用（A.3）获得接触的控制方程，并写成如下，耦合微分方程（A.6）的解是：ReferencesB

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