三角函数与解三角形-答案版

1、学习必备欢迎下载三角函数与解三角形1.【 2015 高考福建，文6】若 sin5为第四象限角，则tan的值等于（），且131212C55AB12D5512【答案】 D【 解 析 】 由 sin5， 且为 第 四 象 限 角 ， 则 cos1sin 212， 则1313tansincos5，故选 D12【考点定位】同角三角函数基本关系式【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin 、 cos、 tan三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题2.【 2015 高考重庆，文6】若 tana = 1 , tan(a + b ) = 1,

2、则 tan b = （）321155(A)(B)(C)(D)7676【答案】 Atan()tan111【解析】 tantan(23，故选 A.) tan() tan1171132【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】 本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【 2015 高考山东， 文 4】要得到函数ysin（4x）的图象， 只需要将函数ysin4x 的3图象（）（ A）向左平移个单位（ B）向右平移个单位1212学习必备欢迎下载（ C）向左平移个单位（ D）向右平移个单位33【答案】 B【解析

3、】因为ysin(4 x)sin 4( x) ，所以，只需要将函数ysin4x 的图象向右312平移个单位，故选B .12【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于 x 加或减的数据 . 本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混 .4. 【 2015 高考陕西，文6】“ sincos”是“cos20”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A【解析】cos20cos2sin20(cossin)(cossin)0 ，所以 sincos或 sincos

4、，故答案选A .【考点定位】1. 恒等变换；2. 命题的充分必要性.【名师点睛】 1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos20 ，求出 sincos或 sincos.2.本题属于基础题，高考常考题型.【 2015 高考上海， 文 17】已知点A 的坐标为 (43,1) ，将 OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至3OB ，则点B 的纵坐标为（） .A.33B.5 322C.11D.1322【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为， B(m, n)( m0, n0) ，则直线OB 的倾斜角为，3因为 A(4 3,1) ，学习必备欢迎下载131nn31327所以 tan， t

5、an(，4，即 m2243)m13 3n，3m1316943因为 m2n2( 43)2 1249 ，所以 n2 27n249，所以 n13 或 n13 （舍去），16922所以点 B 的纵坐标为 13 .2【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.【名师点睛】设直线OA的倾斜角为， B(m, n)( m0, n0)， 则kOAtan，kOBtan() ，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于m 、 n 的等式求解结论.3数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.5. 【 2015 高考广东，文5】设C 的内角， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 a2，c 23 ，

6、cos3，且 bc ，则 b （）2A3B 2C2 2D 3【答案】 B【解析】由余弦定理得： a2b2c22bc cos，所以 22 b222332 b 2 3，2即 b26b 80 ，解得： b2或 b4 ，因为 bc ，所以 b2，故选 B【考点定位】余弦定理【名师点晴】 本题主要考查的是余弦定理，属于容易题 解题时要抓住关键条件“ bc ”， 否则很容易出现错误本题也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角时要注意检验有两角的情况，否则很容易出现错误 解本题需要掌握的知识点是余弦定理，即 a2b2c22bc cos 6.【 2015 高考浙江，文11】函数 f x sin 2 x sin x

7、 cos x1的最小正周期是，最小值是【答案】, 322【解析】 fxsin 2 x sin x cos x 11sin 2x1 cos2x11sin 2x1cos2x322222学习必备欢迎下载2)3232sin(2 x，所以T； f ( x)min.242222【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换 .【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.7.【 2015 高考福建， 文 14】若ABC 中， AC3 ， A450 ，

8、C750 ，则 BC_【答案】 2【解析】由题意得 B1800A C 600 由正弦定理得ACBC，则 BCAC sin A ，sin B sin Asin B23所以 BC22 32【考点定位】正弦定理【名师点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理可以求解一下两类问题：（ 1 ）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（ 2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角关键是计算准确细心，属于基础题8. 【 2015高考重庆，文13】设ABC的 内 角A， B，C的对边分别为a,b, c, 且a = 2,cos C = -1 ,3sin A = 2sin B ,则c=_.4【答

9、案】 4【解析】由 3sin A = 2sinB及正弦定理知：3a2b,又因为 a2,所以 b 2 ，由余弦定理得： c2a2b22ab cosC4 922 3 (1)16 ，所以 c4 ;故填： 4.4【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，先由正弦定理将3sin A = 2sin B 转化为3a=2b 结合已知即可求得b 的值，再用余弦定理即可求解.本题属于基础题，注意运算的准确性及最后结果还需开方.9. 【 2015 高考陕西，文14】如图，某港口一天6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数y学习必备欢迎下载3sin(x ) k，据此函数可知，这

10、段时间水深(单位： m)的最大值为 _.6【答案】 8【解析】由图像得，当sin(x)1 时 ymin2 ，求得 k 5，6当 sin(x)1 时， ymax3 15 8 ，故答案为 8.6【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质，在三角函数的求最值中，我们经常使用的是整理法，从图像中知此题sin(x)1 时， y 取得最小值，继而求得k 的值，当6sin( x)1时， y 取得最大值 .2. 本题属于中档题，注意运算的准确性 .6【 2015 高考上海，文1】函数 f ( x)13sin 2 x 的最小正周期为.【答案】【解析】因为 2sin 2x1co

11、s2x ，所以 f (x)13 (1 cos2x)1 3 cos 2x ，所以函2222数 f ( x) 的最小正周期为.2【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为f ( x)13 cos2x ，再根据222求周期 . 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.T10.【 2015 高考湖南，文15】已知>0,在函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则=_.【答案】2【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为115Z, 距离最短的两个交点一定在同一（ （ k1，2），（ （ k2

12、， 2）， k1， k244学习必备欢迎下载个周期内，2 321522.（） （2 2），2442【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点”一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.11.【 2015高考天津， 文 14】已知函数 fxsin xcosx0, x R ,若函数 f x 在区间,内单调递增 ,且函数 fx的图像关于直线x对称 ,则的值为【答案】2【解析】由fx 在区间,内单调递增,且 fx 的图像关于直线x对称 ,可得2,且fsin2

13、cos 22 sin21,所以42 .422【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题 .注意本题解法中用到的两个结论: fxAsinxA 0,0的单调区间长度是半个周期 ;若 fx AsinxA0,0 的图像关于直线xx0 对称 ,则 f x0A 或 f x0A .12.【20152的值是 _.高考四川， 文 13】已知 sin 2cos0，则 2sincoscos【答案】 1【解析】由已知可得，sin 2cos，即 tan 222sincoscos22 tan1412sincos cos 2cos2

14、tan2141sin1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力 .【名师点睛】 同角三角函数 (特别是正余弦函数 )求值问题的通常解法是：22结合 sin cos 1，解出 sin与 cos的值， 然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用学习必备欢迎下载整体代换思想，先求出tan的值，对所求式除以sin2 cos2(1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.13. 【 2015高考安徽，文12】在ABC中 ，AB6，A75，B45， 则AC.【答案】2

15、【解析】由正弦定理可知：ABAC6ACsin180 (75 45 )sin 45sin 60AC 2sin 45【考点定位】本题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决本题的关键，本题考查了考生的运算能力.14.【 2015 高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为 30 ，则此D山的高度 CD_m.C【答案】 100 6 .BA【解析】在ABC 中，CAB 300 ，ACB750300450 ，根据正弦定理知，BC

16、AB，sin BACsin ACB即BCAB6001300 2，所以sin BAC22sinACB2C D B C t an D B C 30 0 2 31 00，故应63填1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生学习必备欢迎下载识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.【 2015高考上海，文14 】 已 知 函 数 f ( x) sin x . 若 存 在 x1， x2 ， xm 满 足0

17、 x1x2xm 6，且| f ( x1 )f ( x2 ) | | f (x2 )f (x3 ) | f ( xm 1 ) f ( xm ) | 12 (m 2, m N ) ，则 m 的最小值为.【答案】 8【 解析 】 因为 函数 f ( x)sin x 对 任 意 xi， x j (i, j 1,2,3, , m) ，| f ( xi )f ( x j ) |f (x)maxf ( x) min2 ，欲 使 m 取 得 最 小 值 ， 尽 可 能 多 的 让 xi (i1,2,3, m) 取 得 最 高 点 ， 考 虑0 x1x2xm 6，| f ( x1 )f ( x2 ) | | f

18、 (x2 )f (x3 ) | f ( xm 1 )f ( xm ) | 12 (m 2, m N ) 按 下 图取值满足条件，所以 m 的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.【 名 师 点 睛 】 本 题 重 点 考 查 分 析 能 力 ， 转 化 能 力 ， 理 解 函 数 ysin x 对 任 意 xi ，xj (i, j1,2,3, , m)， | f ( x )f ( x) | f ( x)maxf (x)min2是关键 .ij15.【2015高考北京， 文 11】在C 中， a3，b6 ，2，则3【答案】4【解析】由正弦定理，得ab，即362B.sin A3，所以 sin

19、 B，所以sin Bsin B242学习必备欢迎下载【考点定位】正弦定理.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理，属于容易题解题时一定要注意检验有两解的情况，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是正弦定理，即absinsin16. 【 2015 高考北京，文15】（本小题满分13 分）已知函数 f xsin x2 3 sin 2 x 2（ I ）求 fx的最小正周期；（ II ）求 fx在区间0, 2上的最小值3【答案】（ I ） 2；（II） 3.（） 02，x.x333当 x，即 x2时， f ( x) 取得最小值 .33 f ( x) 在区间 0, 2 上的最小值为f ( 2 )3 .

20、33考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题解题时要注意重要条件“0, 2”，否则很容易出现错误解本题需3要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即sin 21cos21， asin xb cosxa2b2 sin x，函数222f xsin x（0 ，0 ）的最小正周期是学习必备欢迎下载17.【 2015 高考安徽，文16】已知函数f ( x)(sin xcosx)2cos2x（）求f ( x) 最小正周期；（）求 f ( x) 在区

21、间 0, 上的最大值和最小值 .2【答案】（）；（）最大值为12，最小值为 0【解析】（）因为f (x) sin2xcos2 x 2sin x cos xcos2x1sin 2x cos2x2 sin(2 x)14所以函数 f ( x) 的最小正周期为T 2.2（）由（）得计算结果，f ( x)2 sin(2x) 1, 54当 x 0, 时， 2x2444由正弦函数 ysin x在 , 5 上的图象知，44当 2x2，即 x时， f (x) 取最大值21 ；48当 2x5，即 x时， f ( x) 取最小值 0 .444综上， f ( x) 在 0, 上的最大值为21，最小值为 0 .2【考点

22、定位】 本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、 三角函数 yAsin( x)B的性质，以及正弦函数的性质.【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数y Asin(x)B的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.18.【 2015 高考福建，文21】已知函数f x 10 3 sin x cos x10cos2x 222（）求函数fx的最小正周期；（）将函数fx的图象向右平移个单位长度，再向下平移a （ a 0）个单位长度后得6到函数 gx 的图象，且函数 g x的最大值为 2 （）求函数g x 的解析式；学习必备欢迎下载（）证明：存在无穷多个互不相同的正整

23、数x0 ，使得 g x0 0 【答案】（） 2 ；（）（） g x10sin x 8 ；（）详见解析【解析】（ I）因为 f x 10 3 sin x cos x10cos 2 x2225 3sin x5cos x510sinx65 所以函数 fx 的最小正周期2（ II）（i）将 f x 的图象向右平移个单位长度后得到 y10sin x 5 的图象， 再向下平移 a6（ a0 ）个单位长度后得到gx10sin x5a 的图象又已知函数 g x 的最大值为2 ，所以 105a2 ，解得 a13 所以 gx10sin x8 （ ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 gx00 ，就

24、是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ，使得 10sin x080 ，即 sin x045由 43知，存在 003，使得 sin04 5254由正弦函数的性质可知，当x0 ,0时，均有 sin x5因为 ysin x 的周期为 2，所以当 x2k0, 2k0 （ k）时，均有 sin x45因为对任意的整数k ， 2k02k02 01，3k ，都存在正整数xk2k0 ,2k4所以对任意的正整数0 ，使得 sin xk5亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 g x00【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性

25、都是通过将解析式变形为f ( x)A sin(x) 进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于学习必备欢迎下载f (x) 而言，即f ( x)Af ( x) 和 f (x)f (x)k ，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量x 而言，即f ( x)f (x) 和 f (x)f ( xa) ；本题第（）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得 g x00 ，转化为解集长度大于1，是本题的核心19. 【 2015 高考广东，文16】（本小题满分12 分）已知 tan2 （ 1）求 tan

26、的值；4（ 2）求sin 2的值2sin coscos2 1sin【答案】（ 1）3；（2）1【解析】试题分析：（ 1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan的值；（ 2）先利用4二倍角的正、余弦公式可得sin 22sincos，再分子、分母都除以sin 2sincoscos 21sin2sincos2cos 2cos2可 得sin 2sin 2cos212 tan2，代入数值，即可得sincostan 2tansin 2的值sin 2sincoscos21试题解析：（ 1） tantantan4tan1 21341 tan tan1 tan124（ 2）sin 2sin 2sinco

27、scos 212sin cossin 2sincos2cos 211sin 22sincos2cos 2sincos2 tantan2tan22 222221学习必备欢迎下载考点： 1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4 、同角三角函数的基本关系.【名师点晴】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题解本题需要掌握的知识点是两角和的正切公式、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，即tantan，tantantan1sin 22sin cos， cos22cos 21 ， tansin

28、cos20.【 2015 高考湖北，文 18】某同学用 “五点法 ”画函数f ( x)A sin( x) (0, |在| )2某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x032 22x536A sin( x)0550（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f ( x) 的解析式；（）将 yf (x) 图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y g( x) 图象，求6y g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心 .【答案】（）根据表中已知数据，解得A5,2,.数据补全如下表：6x03222x751312312612Asin( x)05050且函数表达式为

29、f ( x)O 最近的对称中心为.5sin(2 x) ；（）离原点(,0)612【解析】（ ）根据表中已知数据可得：A 5，53，解得2,2，2.366数据补全如下表：x03222学习必备欢迎下载x7513 12312612Asin( x)05050且函数表达式为f ( x)5sin(2 x) .6（）由（）知f ( x)，因此5sin(2 x5sin(2 x)g( x) 5sin2( x) .因为6666y sin x 的对称中心为 (k,0)， kZ . 令 2xk，解得 xk， kZ .即 yg( x) 图6212象的对称中心为 （ k，0）， kZ ，其中离原点O 最近的对称中心为(,

30、 0) .21212【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题 .【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力 .21.【 2015高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b, c, ab tan A .（ I）证明： sin B cos A ；(II) 若 sin C sin Acos B3A,B,C .，且 B 为钝角，求4【答案】（ I）略； (II) A30 ,B 120 ,C30.【解析】试题分析：（ I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin Asin Acos A ；cos A，所以 sin Bsin B3(II) 根 据 两 角 和 公 式 化 简 所 给 条 件 可 得 sin C sin A cos B cos Asin B， 可 得34sin 2 B，结合所给角B 的范围可得角 B,进而可得角 A,由三角形内角