三角形的五心性质以及典型问题初中数学竞赛

1、优秀学习资料欢迎下载三角形的五心三角形的 “五心 ”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心一三角形的外心A定理 1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心 (外接圆圆心 )定理 2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等都等于三角形的外接圆半径定理 3：锐角三角形的外心在三角形内；O直角三角形的外心在斜边中点；BC钝角三角形的外心在三角形外定理4： A1BOC, B1 AOC, C1AOB2221.如图所示， 在锐角ABC 中， ADBC于D，DEAC于 E，DFAB于F ，O为ABC 的外心 .求证：（ 1）AEF ABC(2) AOEFAFOEBDC2.设 O为锐角A

2、BC的外心，连接 AO,BO,CO 并延长分别交对边于 L,M,N ，则111ABC 外接圆半径 )ALBM的值是 _.( 设 R 为CNA二三角形的内心定理 1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆M圆心 )FE定理 2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径K定理 3：内切圆半径 r 的计算：IB设三角形面积为 S，并记 p=1(a+b+c)，则 r=SCD H2p特别的，在直角三角形中 ,有 r =1(a+b c)2优秀学习资料欢迎下载定理 4： I 为三角形的内心，A、B、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交 BC 边于 N，则有 AI: IN

3、=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC定理 5：11，AIB1BIC 90,B90C 。A CIA 902223.如图所示， O1 与 O2 相交于 A, B 两点，且 O2 在 O1 的圆周上， 弦 O2C 交 O2 于 D 。证明： D是ABC 的内心 .CADO2O1B4.如图，在ABC中，点 D 、 E 是ABC ，ACB 的三等分线的交点，当A 60时，求 BDE度数ADEBC5.如图， I 是ABC 的内心， AI 的延长线交ABC 的外接圆于 D ，则， DIDBDCAIBCD优秀学习资料欢迎下载16.如图所示，ABC 的三边满足关系BC( ABAC) ， O, I 分别

4、为ABC 的外心，内2心，BAC的外角平分线交O于 E， AI 的延长线交O于 D， DE 交 BC于 H .求证：（ 1） AIBD ;(2)OI1 AE2EAOIBCHD三三角形的重心A三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理FE概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）BGC定理 1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。D定理 2：重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。定理 3：重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。定理 4：在平面直角坐标系中，重心

5、的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3 ，（ Y1+Y2+Y3)/3 。7.证明ABC 的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC 的面积之比8.设 K 是ABC 内任意一点，KAB ，KBC ，KCA 的重心分别为D , E, F ，求S DEF: s ABC优秀学习资料欢迎下载9.若ABC的重心为 G， AG2 ， BG3 ，CG5 ，求ABC的面积 .四三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心组 ”三角形的三条高（所在直

6、线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。定理 1：三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到6 个四点圆。定理 2：三角形外心O、重心 G 和垂心 H 三点共线，且OG GH=1 2。（此直线称为三角形的欧拉线（ Euler line ）定理 3：垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。定理 4：垂心分每条高线的两部分乘积相等。10.在ABC 中，若 AB5, BC6, CA7 ， H 为垂心，求AH 的长。11.锐角试求 HDABC 中，已知HE的长.H为垂心，AD 为BC 边上的高，E 为BC 中点，若ADBC5 ，12.已知 Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，O, O1 ,O2 分别是ABC ,ACD ,BCD 的内心。求证：（ 1） O1OCO2(2) OCO1O213.如图， AB 、 BC 、CD 分别与圆 O 相切于 E 、 F 、 G ， AB BC CD ，连结 AC 与 BD 相交于点 P ，连结 PF求证： PFBCADPEGOBFC优秀学习资料欢迎下载五三角形的旁心三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心， 叫做三角形的旁心。定理 1：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。定理 2：每个三角形都有三个旁心。定理 3：旁心到三