人教版数学直线与方程知识点专题讲义

1、学习必备欢迎下载必修二直线与方程专题讲义1、直线的倾斜角与斜率（ 1）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：. 与 x 轴相交 ; . x 轴正向 ; . 直线向上方向 .直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为00 .倾斜角的范围 001800.090 , k tan0 ；90180 , k tan0（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90 0 的直线斜率不存在.经过两点 P1 ( x1, y1 ), P2( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式是 ky2y1 ( x1 x2 ) .x2x1每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.2、直线方程的几种形

2、式名称方程的形式已知条件局限性(x1, y1) 为直线上一定点，k不包括垂直于x 轴的点斜式yy1k (xx1 )为斜率直线k 为斜率， b 是直线在 y 轴上不包括垂直于x 轴的斜截式ykxb的截距直线yy1xx1y2y1x2( x1 , y1), ( x2 , y2 ) 是直线上两不包括垂直于 x 轴和x1两点式定点y 轴的直线(其中 x1x2 , y1y2 )学习必备欢迎下载a 是直线在 x 轴上的非零截x 轴和xy不包括垂直于距， b 是直线在 y 轴上的非零截距式1aby 轴或过原点的直线截距Ax By C 0无限制，可表示任何一般式A， B，C为系数(其中 A, B不同时为 0）位

3、置的直线注：过两点P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）（1）若 x1x2 且 y1y2，直线垂直于x 轴，方程为 xx1 ；（2）若 x1x2且 y1y2，直线垂直于y 轴，方程为 yy1 ；（3）若 x1x2且 y1y2 ，直线方程可用两点式表示）3、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行斜截式： 对于两条不重合的直线l1 : yk1 xb1, l2: yk2 xb2 ，则有l1 / /l 2k1k2 , b1b2注：当直线l1 ,l2 的斜率都不存在时，l1与 l 2 的关系为平行.一般式： 已知l1 : A1xB1

4、yC10 ,l2: A2 xB2 yC20 ，则l1/ /l2AB12AB,AC2112AC21注： l1与 l2 重合A1 B2=A2 B1 , AC12A2C1l 1 与 l2 相交A1 B2A2 B10（2）两条直线垂直斜截式： 如果两条直线l1 , l2 斜率存在，设为k1 , k2 ，则l1l 2k1k21注：两条直线l1 ,l 2 垂直的充要条件是斜率之积为-1 ，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1 ，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果l1, l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时，l1与 l 2 互相垂直.学习必备欢迎下载一般

5、式： 已知 l1 : A1xB1 yC10 ,l2 : A2 xB2 yC20 ，则l1l 2A1 A2 B1 B204、线段的中点坐标公式xx1x22若两点 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) ，且线段 P1, P2 的中点 M 的坐标为 ( x, y) ，则y1y2y25、 直线系方程（ 1）过定点的直线系斜率为 k 且过定点 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 yy0 k (xx0 )过两条直线l1 : A1xB1 yC10 , l2 : A2 xB2 yC 20的交点的直线系方程为A1 x B1 y C1( A2 xB2 y C 2 )0 （为参数），其中直线

6、l 2 不在直线系中（ 2）平行垂直直线系平行于已知直线AxByC0 的直线系 AxByC10垂直于已知直线AxByC0 的直线系 BxAyC106、两条直线的交点设两条直线的方程是l1 : A1 xB1 y C10 , l2 : A2 xB2 yC 2 0 两条直线的交点坐标就是方程组A1xB1 yC10的解，A2 xB2 yC20若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.7、几种距离（1）两点间的距离平面上的两点P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 ) 间的距离公式 P1P2( x2 x1 )2(

7、 y2 y1 )2特别地，原点O (0,0) 与任一点 P( x, y) 的距离 OPx2y2（2）点到直线的距离学习必备欢迎下载Ax0By0C点 P ( x0 , y0 ) 到直线 l : AxByC0的距离 dA2B2（3）两条平行线间的距离两条平行线 l1 : Ax By C1 0 , l 2 : Ax By C2C2C10 间的距离 dB2A2注：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 .8、有关对称问题（1）中心对称若点 M (x1, y1) 及 N ( x2 , y2 ) 关于 P( a,b) 对

8、称，则由中点坐标公式得x2ax1y2by1直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1 / l 2 ，由点斜式得到所求直线方程.（ 2）轴对称点关于直线的对称若两点1( 1, 1)与 2关于直线l : Ax By C 0对称，则线段1 2 的中点在P x yP ( x2 , y2 )P P对称轴 l 上，而且连接P1 P2 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组A( x1x2 )B( y1y2 ) C 0x222？y2y1Ay2(1x2x1)B可得到点1 关于l对称的点P2的坐标(x2

9、, y2 )（其中A 0, x1x2）P直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 .注：曲线、直线关于一直线yxb 对称的解法：y 换 x ， x 换 y . 例：曲线学习必备欢迎下载f ( x, y)0 关于直线yx2 对称曲线方程是f ( y2, x2)0曲线 C : f ( x, y)0关于点 ( a, b) 的对称曲线方程是f (2ax,2by)09、直线 l 上一动点P 到两个定点A、B 的距离“最值问题” ：（ 1）在直线 l 上求一点P，使 PAPB 取得最小值，若点 A、 B 位于直线 l 的同侧

10、时，作点A （或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或 B/ ,连接 A/ B(或AB / )交 l于P，则点 P即为所求点 .若点 A、B 位于直线的异侧时，连接AB 交于 l 点 P ，则 P 为所求点 .可简记为“同侧对称异侧连”. 即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（ 2）在直线 l 上求一点P 使 PAPB 取得最大值，方法与（ 1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”若点 A、B 位于直线 l 的同侧时，连接AB 交于 l 点 P ，则 P 为所求点 .若点 A、 B 位于直线的异侧时，作点A （或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或 B / ,连接 A/ B(或AB / )交 l于P，则点 P即为所求点 .2 2(3) PA PB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”.10、直线过