电动力学 磁标势_39p

1、3-2 磁标势13-2 磁标势2ELl dE021)()(12ppdEpp0)(xEjB0LfIl dHB规范条件规范条件JA2矢势微分方程矢势微分方程0 A1. 磁场为有旋场磁场为有旋场, 不能在全空间引入标势不能在全空间引入标势静电力作功与路静电力作功与路径无关径无关, 引入的引入的电势是单值的；电势是单值的；2. 静磁场作功与路径有关静磁场作功与路径有关, 即使在能引入的区域标势即使在能引入的区域标势一般也不是单值的一般也不是单值的引入磁标势的引入磁标势的两个困难两个困难根据磁场的无散性引入磁矢势描述根据磁场的无散性引入磁矢势描述整个空间的磁场。矢势的描述是普整个空间的磁场。矢势的描述是

2、普遍的，但使用矢势求解磁场问题时，遍的，但使用矢势求解磁场问题时，往往要求解矢量积分或矢量微分方往往要求解矢量积分或矢量微分方程，计算过程相当繁琐。程，计算过程相当繁琐。磁场的矢势磁场的矢势 AB与与 A 的关系的关系3-2 磁标势3只能在只能在 区域引入，且在引入区域中任何回路都不能区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。与电流相链环。0H3-2-1 磁标势的引入磁标势的引入引入磁标势的条件引入磁标势的条件 无自由电流分布的单连通区无自由电流分布的单连通区0Hrmml dH00mH标量磁势标量磁势，简称，简称磁势磁势 (Magnetic Potential) , 单位：单位：A(

3、安培安培)0ISdJl dHP276 (I.8)式式令令P342 (I.14)式式标量场的梯度必为无旋场标量场的梯度必为无旋场 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义仅适合于无自由电流区域，且无物理意义m 多值性多值性 等磁势面（线）方程为等磁势面（线）方程为 常数常数， 等磁势面（线）与磁场强度等磁势面（线）与磁场强度 H 线垂直。线垂直。m引入标势，求解微分方程的边值问题就如同解静电场的势微引入标势，求解微分方程的边值问题就如同解静电场的势微分方程一样，减少了顾忌矢量方向的麻烦。分方程一样，减少了顾忌矢量方向的麻烦。3-2 磁标势4在恒定磁场无电流区域在恒定磁场无电流区域 V 引入磁标势引入

4、磁标势:关于区域关于区域 V 的选取的选取:要求要求V 内任何回路都不能链环传导电流。内任何回路都不能链环传导电流。对于如图所示电流环，不能选仅扣对于如图所示电流环，不能选仅扣除电流环的空间，在这样的空间，除电流环的空间，在这样的空间，存在可以链环电流环的回路。存在可以链环电流环的回路。0 l dH讨论：讨论：1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。磁标势是在空间电流密度等于磁标势是在空间电流密度等于0的前提下，的前提下，利用数学方法引入的概念。利用数学方法引入的

5、概念。磁标势不象电势那样具有明确的物理意义。但在满足条件情磁标势不象电势那样具有明确的物理意义。但在满足条件情况下引入磁标势，可大大简化磁场的计算。况下引入磁标势，可大大简化磁场的计算。选扣除曲面的空间为考察空间选扣除曲面的空间为考察空间V 3-2 磁标势5则则 在恒定磁场中，设在恒定磁场中，设B 点为参考磁势，点为参考磁势， 由安培环路定律，得由安培环路定律，得AlBmAl dHl dHABAB 推论：推论：kIABAB 与积分路径的关与积分路径的关系系mIBmAAlBl dHl dH多值性多值性 k=整数整数为了克服为了克服 多值性，多值性，规定规定:积分路径不得穿过从电流回路为周界的积分

6、路径不得穿过从电流回路为周界的S 面（磁屏障面）。面（磁屏障面）。m AmBABAlBABl dHl dH,m这样，这样， 就成为单值函数，两点之间的就成为单值函数，两点之间的磁压磁压与积分路径无关与积分路径无关3-2 磁标势63-2-2 磁标势方程磁标势方程非线性介质非线性介质, 铁磁性物质铁磁性物质MBH0P22 (4.18)式式HB线性介质线性介质0HB)(00HfMHB0H在引入磁标势的区域在引入磁标势的区域, 磁场满足场方程磁场满足场方程 0 B)(00HfMHB不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质,而且也可讨论铁磁介质或非线性介质而且也可讨论铁磁介质或非

7、线性介质Mm0磁荷密度磁荷密度MH02)(mmm0)(00MHB0m02mm磁标势满足磁标势满足Poisson方程方程静磁场引入磁标势，与静电场电静磁场引入磁标势，与静电场电势类似，关于电势的结论和求解势类似，关于电势的结论和求解方法都可以移植到磁标势。方法都可以移植到磁标势。mH0 E比较电场比较电场2静电场电势静电场电势3-2 磁标势73-2-3 磁标势磁标势 的边值问题的边值问题m磁标势的引入，磁标势的引入，把研究磁场问题的方法与研究静电场问题的方法统一起来。把研究磁场问题的方法与研究静电场问题的方法统一起来。可用研究静电场问题的方法来解决恒定磁场问题。可用研究静电场问题的方法来解决恒定

8、磁场问题。正如求解静电场问题那样，正如求解静电场问题那样，唯一性定理在恒定磁场的边值问题中仍然适用唯一性定理在恒定磁场的边值问题中仍然适用。在求解磁场的边值问题时，还需要选用定解条件。在求解磁场的边值问题时，还需要选用定解条件。分界面上的边界条件：分界面上的边界条件：推导方法与静电场类似，推导方法与静电场类似， hl 在介质分界面上，磁标势连续在介质分界面上，磁标势连续3-2 磁标势8又由又由nnBB12)(2112MMnnnmm对非线性介质，对非线性介质，铁磁性物质铁磁性物质)(210MMnm012mmmnnMHB00012BBn0)()(110220MHMHn)()(2112MMnHHn对

9、线性介质，对线性介质，铁磁性物质铁磁性物质nnmm2121nnHH2211nnBB21由由nnmmmm221121由由nnttBBHH2121总之，总之，对于线性介质对于线性介质在介质分界面在介质分界面上，磁标势法上，磁标势法向方向导数不向方向导数不连续连续分界面上的分界面上的磁荷面密度磁荷面密度mHmH3-2 磁标势9静磁场静磁场静电场静电场无旋场是引入标势的前提无旋场是引入标势的前提无无“自由磁荷自由磁荷”“磁荷磁荷”来源于介质的磁化来源于介质的磁化02mm0H0mH Mm0MHB00mH0 E0PfEPPPED0E02Pf3-2 磁标势10载流导线载流导线 I 位于无限大位于无限大铁板上

10、方的磁场分布铁板上方的磁场分布线电流线电流 I 位于两铁板之间的磁场位于两铁板之间的磁场线电荷线电荷 位于两平行导体间的电场位于两平行导体间的电场线电流线电流 I 与线电荷与线电荷 产生的通量线与产生的通量线与场线场线,等磁势线与等电势线的类比等磁势线与等电势线的类比电场线电场线等电势线等电势线等磁势线等磁势线磁力线磁力线3-2 磁标势11讨论讨论磁标势和磁标势和“磁荷磁荷”的引入，适用于所有磁介质。的引入，适用于所有磁介质。对于铁磁介质，表中的关系仍然适用。对于铁磁介质，表中的关系仍然适用。磁荷是假想的。磁荷是假想的。磁化可认为是介质中分子电流环形成规则排列。磁化可认为是介质中分子电流环形成

11、规则排列。介质磁化是表面出现宏观磁化电流，介质磁化是表面出现宏观磁化电流，可等效为分界面上出现可等效为分界面上出现“束缚磁荷束缚磁荷”。把分子电流环等价为磁偶极子，把分子电流环等价为磁偶极子，磁偶极子并不意味存在分离磁偶极子并不意味存在分离“磁荷磁荷”。恒定磁场解的唯一性定理表述：恒定磁场解的唯一性定理表述：如果在空间域如果在空间域V中存在着电流中存在着电流和磁介质，电流是稳恒的，则满足场方程、边值关系和边界和磁介质，电流是稳恒的，则满足场方程、边值关系和边界条件的解是唯一的。条件的解是唯一的。因此，无论用什么方法求得满足场方程和边值关系的解都是因此，无论用什么方法求得满足场方程和边值关系的解

12、都是唯一正确的解唯一正确的解.3-2 磁标势12mmqFHmmP0HHHmPHB0HqFmBJMJ磁荷观点：磁荷观点： 电流观点：电流观点：MJBf00MBH0讨论讨论3-2 磁标势13（1）静电场可在全空间引入，无限制条件；）静电场可在全空间引入，无限制条件； 静磁场要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。静磁场要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。磁标势与静电势的差别磁标势与静电势的差别（2）静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。）静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁

13、场人们认为分子电流具有磁偶极矩，自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，由一对等量异号点磁荷构成，不能分开。由一对等量异号点磁荷构成，不能分开。（3）虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物理）虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物理 本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。 描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子 电流观点不能同时使用。电流观点不能同时使用。3-2 磁标势14探索磁单极子探索磁单极子1975年美国加利福尼亚

14、大学的普赖斯等人宣布，在他们探测宇年美国加利福尼亚大学的普赖斯等人宣布，在他们探测宇宙线的气球实验中，发现乳胶片上记录到了一些可疑的轨迹。宙线的气球实验中，发现乳胶片上记录到了一些可疑的轨迹。他们认为这可能是一个磁荷量他们认为这可能是一个磁荷量g137e和质量是质子和质量是质子200多倍的多倍的磁单极子产生的。磁单极子产生的。1982年年2月，美国斯坦福大学的物理学家，月，美国斯坦福大学的物理学家，35岁的凯布雷拉宣布，岁的凯布雷拉宣布，他取得了突破，找到了磁单极子。他制作了一套他取得了突破，找到了磁单极子。他制作了一套“超导量子干超导量子干涉仪涉仪”，200天一次实验数据与狄拉克的磁单极子理

15、论完全符合。天一次实验数据与狄拉克的磁单极子理论完全符合。可是，以后并没有重复观察到那次实验中观察到的现象。可是，以后并没有重复观察到那次实验中观察到的现象。电磁电磁“佳偶佳偶”不对称不对称: 因为电荷电场的电力线不是闭合的，它起因为电荷电场的电力线不是闭合的，它起源于正电荷，终止于负电荷，或延伸至无限远，它在电荷处不是源于正电荷，终止于负电荷，或延伸至无限远，它在电荷处不是连续的；而磁体磁场的磁感应线永远是闭合的，它在磁体内部和连续的；而磁体磁场的磁感应线永远是闭合的，它在磁体内部和外部处处连续。外部处处连续。1931年，著名的英国物理学家狄拉克首先从理论上论证了在微年，著名的英国物理学家狄

16、拉克首先从理论上论证了在微观界中存在着只有一个磁极的粒子观界中存在着只有一个磁极的粒子磁单极子。磁单极子。常用的探测方法有：感应法、电离法、声学法和电磁法常用的探测方法有：感应法、电离法、声学法和电磁法;“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”。3-2 磁标势15通过磁标势求解磁场问题的基本方法通过磁标势求解磁场问题的基本方法(1) 根据边界条件求磁标势所满足根据边界条件求磁标势所满足的的Possion方程或方程或Laplace方程的解方程的解(2) 由磁场强度由磁场强度H与磁标势与磁标势m的微分关系求的微分关系求H(3) 由磁场强度由磁场强度H与磁感应强度与磁感应强度

17、B的关系求的关系求B。02mm02m或或mHMHB003-2 磁标势16例例 证明证明 磁性物质表面为等势面磁性物质表面为等势面. 解解 以脚标以脚标1代表磁性物质，代表磁性物质，2代表真空，代表真空，0)(0)(1212HHnBBn磁场边界条件磁场边界条件nnHH120ttHH12nnBB120)(12BBn222HB111HB0)(12HHn两式相除得：两式相除得：210210ttnnHHHH 因此，因此，在该磁性物质外面，在该磁性物质外面， 与表面垂直，与表面垂直，因而表面为等磁势面。因而表面为等磁势面。2H3-2 磁标势17解：解：分为铁球内和铁球外为两均匀区域。分为铁球内和铁球外为两

18、均匀区域。0MM000Mm球内022例例p83 求磁化矢量为求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。的均匀磁化铁球产生的磁场。0M在铁球外没有磁荷在铁球外没有磁荷. .在铁球内由于均匀磁化，在铁球内由于均匀磁化，cos,1nnnnnPRbRaRnnnnnddnP1coscos!21cos2mPRdRcmPRbRamnmnnnmnnmmnmnnnmnnmsin)(cos)(cos)(cos)(,1,110磁荷只分布在铁球表面上，磁荷只分布在铁球表面上，球内外磁势满足拉普拉斯方程球内外磁势满足拉普拉斯方程球外012,R轴对称问题轴对称问题)()()(),(RfR球外磁势必随距离增大而减小，球外磁势

19、必随距离增大而减小，故其展式只含故其展式只含 R负幂次项负幂次项)(cos11nnnnPRb)(cos2nnnPRa球内磁势当球内磁势当R=0时有限，故只含时有限，故只含 R 正幂次项正幂次项与与 无关，要求无关，要求 m=0123-2 磁标势18铁球表面边界条件铁球表面边界条件:或或RRBB2121HH21解解(续续)：球外磁势必随距离增大而减小，球外磁势必随距离增大而减小，故其展式只含故其展式只含 R负幂次项负幂次项)(cos11nnnnPRb)(cos2nnnPRa球内磁势当球内磁势当R=0时有限，故只含时有限，故只含 R 正幂次项正幂次项0RR 0R当当 （ 为铁球半径为铁球半径)时时

20、设球外为真空，设球外为真空，RHBRR10101)(cos) 1(20nnnnPRbncos00200202MRMHBRRR)(cos)(cos)(cos) 1(101020PMPRnaPRbnnnnnnnnn)(cos)(cos010nnnnnnPRaPRbRRBB212112例例p83 求磁化矢量为求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。的均匀磁化铁球产生的磁场。0M3-2 磁标势19解解(续续)：)(cos11nnnnPRb)(cos2nnnPRa0131Ma 300131RMb 0nnba101113010200.2PMPaPRbPRb)(cos)(cos)(cos) 1(101020

21、PMPRnaPRbnnnnnnnnn比较比较 的系数，的系数，1P013012MaRb.101001201000PRaPaPRbPRb)(cos)(cos010nnnnnnPRaPRb01201RaRb1n比较比较 的系数的系数 ，nP23003cosRRMRMRM0031cos3130303RRMR例例p83 求磁化矢量为求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。的均匀磁化铁球产生的磁场。0M3-2 磁标势20解解(续续)：铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，为：铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，为：VMMRm3430铁球的体积铁球的体积球内磁场球内磁场0231MH000032)(MMHB)(cos

22、11nnnnPRb)(cos2nnnPRa23003cosRRMRMRM0031cos3130303RRMR12例例p83 求磁化矢量为求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。的均匀磁化铁球产生的磁场。0M3-2 磁标势21例例p85 求求电流线圈产生的磁标势电流线圈产生的磁标势可以把线圈看成许多逆时针方向的小电流线圈，可以把线圈看成许多逆时针方向的小电流线圈，小电流线圈的磁矩为小电流线圈的磁矩为产生的磁标势产生的磁标势电流线圈在电流线圈在x 点产生的磁标势点产生的磁标势x 点在上方时，点在上方时， 0； x 点在下方时，点在下方时， 时的磁屏蔽作用时的磁屏蔽作用以球心为原点取球坐标，选取以球

23、心为原点取球坐标，选取 H0 的方向为的方向为 ez，在外场在外场H0 的作用下，球壳极化产生一个附加场并与外的作用下，球壳极化产生一个附加场并与外场相互作用最后达到平衡，场相互作用最后达到平衡，B的分布呈现轴对称的分布呈现轴对称定解问题定解问题题中源的表示是题中源的表示是3-2 磁标势33P108 习题习题10解解(续续)1R2R1m2m3m 有一个内外半径为有一个内外半径为R1 和和R2 的空心球位的空心球位于均匀外磁场于均匀外磁场 H0内，球的磁导率为内，球的磁导率为 ，求空腔内的，求空腔内的场场B，讨论讨论 0 时的磁屏蔽作用时的磁屏蔽作用解出解出a1、b1、c1、d13-2 磁标势34P108 习题习题10解解(续续)1R2R1m2m3m 有一个内外半径为有一个内外半径为R1 和和R2 的空心球位的空心球位于均匀外磁场于均匀外磁场 H0内，球的磁导率为内，球的磁导率为 ，求空腔内的，求空腔内的场场B，讨论讨论 0 时的磁屏蔽作用时的磁屏蔽作用时时=0即球壳腔中无磁场即球壳腔中无磁场