统计学第四章

1、第四章 差异量教学目的：1理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念;2掌握各种差异量指标的计算方法。数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。 两组数据可能平均水平相同， 但两组数据的分布特 征并不完全相同。【如】：比较下列两组数据A 组：88、82、73、76、81B 组：92、86、70、72、80两组平均数 XA XB 80,但Ra=88 73= 15, Rb =92 - 70 = 22。即A组较集中，B组 较分散。因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势， 也要描述其离中趋势。差

2、异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。第一节 全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一组数距中最大值与最小值之差。优点：意义明确，计算方便。缺点：反应不灵敏，易受极端值影响。、四分位距(一) 四分位距的的概念四分位距：是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。Q3 Q./ 、QD 31(4.1)2QD :表示四分位距；Qa：表示第三四分位数；Qi:表示第一四分位数。所以：四分位距的公式又为:QDP75P252欢迎下载12（二）四分位数的计算方法1、原始数据计算法（1）将数据由小到大进

3、行排列；（2）分别求出三位四分位数（点）（3）代入公式计算。【例如】：有以下 16 个数据 25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30,其中四分位距的计算方法如下：（1）先将原始数据从小到大排列好；12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40 Q1=18Md=27Q3=34（2）求出 Q1、Md、Q3；（3） 将Q1、Md、Q3的得数代入公式（4.1）。DQ341822、频数分布表计算法利用频数分布表计算公式为：QD 巴电（4.2）2关键是分别计算P75和P25,百分位数计算方法掌握了，

4、这里的计算就不会有什么问题。（三）优缺点优点：意义明确，不受极端值影响。缺点：反应不灵敏。三、百分位距百分位距：是指两个百分位数之差。常用的百分位距有两种：P90 Pl0和P93 P7优点：意义明确，不受极值影响。缺点：反映不灵敏。第二节平均差、平均差的概念平均差：是指每个数据与本组数据的平均数（或中位数）之差的绝对值的算术平均数（用MD表示）。、平均差的计算方法1、原始数据计算法公式为：MD|X X|N| X Md |或MDN如:求 88、82、73、76、81 的平均差。X 解：X(88 82 73 76 81) 5 80N| X X | Zl ,MD(| 88 801 |82 80|N|

5、76801|81801)54.4(4.3)|73 80|2、频数分布表计算法公式为:MDf | Xc X |N(44)Xc：为各组组中值【例】：求表4.1中30数据的平均差。分数6070 -80 -90 -频数512103组中值65758595表4.130个分数的频数分布表解：（1）企 5 65 12 75 10 853 9578.7N30MD10 |85 78.7 | 3 |95(5 |6578.7 | 12 |7578.7 |78.7 |)307.5三、平均差的优缺点优点：意义明确，反应灵敏。缺点：不适合代数运算。第三节方差和标准差、方差和标准差的概念1.方差：是一组数据离差平方的算术平均

6、数（用表示）。例:求72，78，80，86的方差和标准差解:（1）求算术平均数（4.5）（4.6）定义公式为:2(X X)NX :为离差；2（X X）:为离差平方和。2、方差的方根即标准差2(X X)N72 78 80 8679(2)求方差(X X)2N25(72 79)2(78 79)2(80 79)2(8679)24(3)求标准差：标准差的值越大,说明数据越分散。二、方差和标准差的计算方法1.原始数据计算法2(X X)NX22NX XX22 X X2NXN2 2X2 NXNX).X2X丄)N所以得:X2NX2N(4.7)【例】：计算80、（NX)2（4.8）78、84、80、72的方差和标

7、准差。解:X2N2 2(8078(f)842802型(80 78 84 80 72)52（4.9）（4.10）15.3615.363.92.频数分布表计算法公式为:XfXc 2-(-)2NNfX：fXc 2C(c)NNXc：为组中值；f:为组频数；fxc2：为f个数据的平方和； fXc:为f个数据的和。例题：参看教材48。三、方差和标准差的优缺点：优点：严密确定，反映灵敏，适合代数运算。缺点：不太容易理解，易受两极端值影响。第四节相对差异量一、相对差异量的概念平均差、方差、标准差等都带有单位，是绝对差异量。常常不能对不同组的数据差异直接比较。差异系数：也叫相对差异量，是指同一组数据的标准差与算

8、术平均数的百分比（用CV表示）。公式为：(4.11)xCV -= 100%Xcv值越大，表明数据离散程度越大。、差异系数的用途1. 比较不同单位资料的差异程度。【例题】：某班学生的平均身高为 152cm,标准差为5.1cm;平均体重为47公斤，标准差为3.2公斤，问该班学生身高变异大还是体重变异大？解：身高：CVxX100%5.1152100%3.36%体重：CVx100%3.2100%6.8%X47得：该班学生体重变异大。2. 比较单位相同平均数差异较大的两组资料的差程度。【如】:某班语文测验平均分为86.5分，标准差为5.5分；英语平均分为 71分，标准差为5分，则:5.5语文：CV86.

9、5100%6.36%英语：CV5100%7.04%71所以，英语成绩的变异大。3. 可判断特殊情况：一般CV值在5%35沱间。当CV 35时，X可能失去意义；即对各个数据的代表 性差 当CV 5时,X或x的计算可能有误。第五节偏态量和峰态量偏态量和峰态量：是判断频数分布是否为正态分布的统计量，是一种粗略指标。2正态性检验常用检验。、偏态量偏态量有两种计算方法1. 皮尔逊指数法SKX M0xX (3Md 2X)x3(X Md)x(4.12)(4.13)当SK=O则分布是对称形；当SK>0时，分布为正偏；当SK< 0时，分布为负偏。【例】：某校200名学生的英语平均分为 80分，中位数

10、为82分，标差为8分，其偏态度为：解：SK3(X Md)x3(8082)80.75SK 0.750,该校学生的英语分数的分布为负偏态2. 根据动差来计算动差：是指力与力距的乘积(力学中的概念)3(X X)N33xf(Xc X)3N33x当3=0时，分布对称；当3时，N应大于200.例题：参看教材57页。(4.14)(4.15)3>0时，分布是正偏态；当3<0时，分布是负偏态。计算、峰态量峰态量：是用于说明分布曲线高狭和低阔程度的量。1. 用两个百分位距来计算(4.16)P75P252( P90P10 )当Ku=0.263时，分布是正态峰；当 Ku<0.263时，分布为高狭峰；

11、当 Ku >0.263时，分布低阔。表4.1 小学二年级80个学生身高的四分位距计算表身高频数累计频数计算四分位距115 11118 324121 8n112Q= 126.40124 10222127 20=242Q= 132.84130 1961QD = 3.22133 1273136 477139 279142 180总和80【例题】：根据表 4.1 数据将计算出的 P75=132.84 , P25=126.40, P9o=135.75 , Pio=122.5代入公式(4.17 ),则峰态量为：132.84126.40Ku0.2432(135.70122.50)由于Ku 0.2430

12、.263,则分布为高狭峰2、根据动差来计算(XNX)f ( XcNX)(4.17)(4.18)当a 4=0时，分布是正态峰；当a 4>0时，分布是高狭峰；当a 4<0时，分布是低阔峰。计算a 4时，N应大于1000,峰态系数方比较可靠。表4.4以平均数为原点四种动差的计算表XX X2(X X)3(X X)(X X)456-15.5240.25-3 723.8857 720.1458-13.50182.25-2 460.3833 215.1361-10.50110.25-1 157.6312 155.1263-8.5072.25-614.135 220.1170-1.502.25-3.385.077420.56.2515.6339.08797.5056.25421.883 164.108412.50156.201 953