天津科技大学高等数学检测题答案二.一

1、天津科技大学高等数学（二）检测题1-1答案一、填空题1. ； 2. ； 3. 2； 4. .二、选择题1. (c)； 2. （d）； 3. （d）； 4. (c) ； 5. (c).三、解答题 1.解：由，有，所以，.所以，在上是奇函数.2. 解： 即 即3. 解：因为， （1）所以，令，则，故有，即 （2） 联立方程（1）（2），解得.天津科技大学高等数学(二)检测题1-2答案 一、填空题1. ； 2. ； 3.； 4. （）， （）.二、选择题1. （d）； 2. (b).三、1.； 2. ； 3. ； 4. . 四、解答题1. 解：设成本函数为，收益函数为，利润函数为，则. 2. 解：设

2、卖出游戏机台时的成本函数为，收益函数为，利润函数为，则. （1）由，得，即卖出台可保本； （2）当时，此时亏本元； （3）由，即，得，所以当生产台时，可获利元.3. 解：设所围圆锥底圆半径为，由，用表示所围圆锥的体积，则 （）.天津科技大学高等数学(二)检测题2-1答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ；4. （1）1； （2）0； （3）0； （4）不存在.二、选择题1. (a)； 2. (c)； 3. (d)； 4. (c)； 5. (d).天津科技大学高等数学(二)检测题2-2答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. 不存在； 5. 0.二、选择题 1. (b)； 2. (b)

3、； 3. (d)； 4. (b)； 5.（a）.天津科技大学高等数学(二)检测题2-3答案一、填空题1. 、； 2. 、； 3. ； 4. .二、选择题 1. (d)； 2. (c) 、(b)； 3. (d) .三、计算题 1. 解：.2. 解：.3. 解：.4. 解：.5. 解：. 6. 解：因为，而有界，所以.于是，.7. 解：.8. 解：由，有 得天津科技大学高等数学(二)检测题2-4答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5.； 6. .二、选择题1. (d)； 2. (c) . 三、计算题 1. 解：. 2. 解：.3. 解：.4. 解： .四、解答题1. 证明：设，

4、则 ； ，因为，所以. 2. 证明：显然数列有界，又，这表明数列单调增加，于是极限存在. 设，对递推公式两边取极限，有，解得（由数列单调增加，故舍去），所以.天津科技大学高等数学(二)检测题2-5答案 一、填空题1.，； 2. ，0； 3. 1. 二、选择题1.（c）； 2.（b）； 3. （d）； 4. （c）.三、计算题1. 解：原式.2. 解：原式.3. 解：原式.4. 解：原式. （其中）.5. 解：当且仅当时，函数在点连续，由此有，首先，即，于是， 所以，、. 天津科技大学高等数学（二）检测题2-6答案一、选择题1.（d）； 2. （b）.二、证明题1.证明：令，由于是初等函数，所以

5、在上连续且，.由零点定理得方程在内至少有一个实根.2.证明：设，则函数在闭区间上连续，又，由零点定理知方程在内至少有一个实根，从而至少有一个不超过的正根. 注：也可以用替代.3.证明：记，由题设知在闭区间上连续，且， .若或，则可取或，若，则得，.由闭区间上连续函数的零点定理，知至少存在一，使即. 综上：至少存在一，使得. 4证明：由函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最小值与最大值，而，由介值定理推论有使得.天津科技大学高等数学（二）检测题3-1解答一、填空题1. ； 2. ； 3. 4，； 4. . 二、选择题1. (b)； 2.（b）； 3.（c）； 4.（b）； 5.（b）. 三、解答题

6、 1. 解：；，于是在点不可导. 2. 解：由于，故在处连续. 由导数定义， 所以，在处可导.3. 解：要使在处可导，必须在处连续，而；.由，有. 又 ，.由在处可导，有，得，此时.故当，时，函数在处可导.4. 解：由极限存在，及在点连续，则，于是 ，所以.天津科技大学高等数学（二）检测题3-2答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4.二、选择题1. （d）； 2.（a）； 3.（b）； 4.（d）. 三、计算题1.解：.2.解：.3.解：.4.解：.5.解：.6.解：由，所以.7.解：.8.解：.天津科技大学高等数学（二）检测题3-3答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. 0

7、；5. . 二、选择题1.（c）； 2.（b）； 3.（d）； 4.（c）. 三、计算题 1. 解：，取，由莱布尼茨公式，有， .2. 解：方程两边同时对求导，有，解得 ，所以.3. 解： 方程两边对求导，有，得； .4. 解：方程两边对求导，有， 当时，得，.切线方程为，即.天津科技大学高等数学（二）检测题3-4答案一、填空题1. 充分必要； 2. ； 3. ； 4； 5. (1) ， (2) . 二、选择题1. （b）； 2.（b）. 三、计算题1. 解：由，得 2. 解：, 3. 解： 由原方程知当时，故 4解：方程两边同时求微分，有，由原方程知，当时，代入上式，得，所以 5. 解： 天

8、津科技大学高等数学（二）检测题3-5答案一、计算题1. 解：；2. 解：；二、 解：(1)总收益；平均收益；边际收益；(2).三、解：(1) ；(2) ，说明当时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即时，价格上涨，需求只减少0.6%四、解：(1)； (2) 当时， 天津科技大学高等数学（二）检测题4-1答案一、填空题1； 2 二、选择题1. （）； 2. （c）； .（）； 4. （b）； 5. （a）三、证明题 1. 证明：取函数（）， ，于是恒为常数，设， 又，得，所以（）. 证明：取函数，对任何，则在闭区间上连续，在开区间内可导，由拉格朗日定理知，存在，使得，即，所以，当时， . 证明：

9、取 ，则在任何区间上连续且可导. 若方程有两个不同实根、，不妨设，则 ，由罗尔定理，有使得，与对任何实数，矛盾，所以方程不能有两个不同的实根.4. 证明：取函数, 则在上连续，在内可导，且. 由罗尔定理，有使得，而 .即，这表明方程至少有一个小于的正根.天津科技大学高等数学（二）检测题4-2答案一、填空题132； 2；3； 4二、选择题1. （）； 2. （d）三、计算题 1.解：原式. 2.解：原式.3. 解：原式=4. 原式= =3. 5. 解：令，则原式.6. 解：原式=而，故原式=7. 解：原式，而，故原式8.解：原式,而, 故原式天津科技大学高等数学（二）检测题4-3答案一、填空题1

10、单调增加； 2； 3； . ； 5. 2， 大 二、选择题1.（）； 2.（d）； 3.（）； 4.（a）； 5.（a）三、解：定义域为，由，得驻点为列表为单调增加区间是及，单调减少区间是；极小值为，无极大值. 四、解：定义域为，由得驻点，另在 点不可导列表为 单调增加区间是及，单调减少区间是；极大值为，极小值为.五、证明：令，所以当时，函数单调增加，故当时，即.证明：令，则,当时，得单调增加，于是；进而，有函数单调增加，所以，即 天津科技大学高等数学（二）检测题4-4答案一、填空题1； 2. 3, 6； 3及，； 4. 及， ， ， ， .二、选择题1（d）； 2. （a）.三、定义域为，由

11、，得；又在点不存在. 列表为：于是上凹区间为，上凸区间为及； 拐点是及.四、1.解: 定义域为.奇函数,故图形关于原点对称., .由，得；由得.由=，得水平渐近线，无铅直渐近线.2.解：定义域为.，由，得.，水平渐近线；铅直渐近线，且.天津科技大学高等数学（二）检测题4-5答案一、填空题1. 0, ； 2. ； 3. 2, 12； 4. 2.二、选择题1（b）； 2.（d）.三、解: 设小院的宽为,长为,则所需材料的长度为. 令,得驻点.由,知为极小值点.又驻点惟一,故极小值点就是最小值点,即当小院的宽为5长为10时最省材料.四、解：收益函数为，由，得唯一驻点.在内，；在内，于是是极大值点，也

12、是最大值点.所以，该产品最大收益时的产量为，此时价格是，最大收益是.五. 解: 设利润为,则.由.令,得唯一驻点.由于,故为唯一的极大值点,即为的最大值点.所以当产量(艘)时,利润为最大, 最大利润为(亿元).六、解:设表示降价后的销售价,为降价后增加的销售量,为总利润.则,即,总利润函数.令得唯一驻点由,可知当时,为极大值点.又驻点惟一,故极大值点就是最大值点,即当销售价定为时可获最大利润.天津科技大学高等数学（二）检测题4-6答案一、填空题1. ； 2. (； 3二、选择题 1. （a）； 2. （b）三、解：由，（）， (), 代入麦克劳林公式，得 （四、 解：由，（）, (),代入麦克

13、劳林公式，得， 其中，（）.五、 解：设，则， . . 于是， 所以，.六、由得，. 由函数在点的一阶泰勒公式，有 .天津科技大学高等数学（二）检测题5-1答案一、填空题1；2；3；4二、选择题1（d）；2（c）；3（c）三、计算题1解：原式.2解：原式.3解：原式.4解：原式.5解：原式. 6解：原式.四、解：由，知再由，知，从而(元)天津科技大学高等数学（二）检测题5-2答案一、填空题1；2； 3；4； 5 二、选择题 1（d）； 2（d）三、计算题 1解：原式.2解：原式.3解：原式4解：原式.5解：原式.6解：原式.或，原式.7解：令（），则原式 8解：设，则原式天津科技大学高等数学（

14、二）检测题5-3答案一、填空题1； 2；3； 4二、选择题1（c）；2（d）三、计算题1解：令，则，于是， 原式2解法一：令，则，于是，原式解法二：令（），则，于是，原式解法三：用倒代换，原式注：此题还有其他作法，以上作法仅在于抛砖引玉3解：原式4解：原式5解： 6解：设，则，于是原式.7解：原式8解：原式天津科技大学高等数学（二）检测题6-1答案一、填空题1. 必要，充分； 2. 6，51； 3. ； 4. ； 5. .二、选择题1.（a）； 2.（a）； 3. （b）； 4.（a）.三、计算或证明1. 解：设，由于，并且，故函数在区间上的最小值，最大值，由定积分的估值定理，得 ， 即 .

15、2证明：设（），则，于是在区间 上单调增加，在区间上的最小值，最大值，区间长度由定积分的估值定理，得 .3.证明：由定积分中值定理()，于是.天津科技大高等数学（二）检测题6-2答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. 4； 7. 1； 8. .二、选择题1.（a）； 2.（b）； 3.（b）； 4.（d）.三、计算或证明1. 解：当时，；当时，；当时，. 所以2. 解：.3. 证明：取，由已知在闭区间上可导. ，方程在开区间至多有一个实根；又，（注意），由零点定理的方程在开区间至少有一个实根.综上：方程在开区间有且仅有一个实根，即方程在开区间有且仅有一个实根.天津科技大学高等数学（二）检测题6-3答案一、填空题 1； 2. 0 ； 3. ； 4. ； 5. .二、选择题1.（c）； 2.（b）. 三、计算或证明 1. 解：令，则. 于是原式. 2解：令，则，于是原式. 3解：原式. 4解：原式. 5解：原式 . 6. 解：令，则.四、证明：令，则，于是. 天津科技大学高等数学（二）检测题6-4答案一、填空题1. ； 2. ； 3. 发散； 4. .二、选择题1. （d）； 2. （b）； 3. （a）； 4. （a）.三、计算题1. 解：. 所以，所以广义积分收敛，且收敛于.2. 解：由，得积分发散