第二次 复变函数

1、第二讲 复变函数1. 复变函数概念复变函数概念2. 复变函数的极限、连续复变函数的极限、连续1. 点、点集、区域点、点集、区域（1） 点点 的的 邻域：邻域：a.),(azzaUa * 点点 的的 去心邻域：去心邻域：a.0),(azzaU（2）内点：）内点：的内点。是则称邻域的如果存在是复数集合，设DzDzUzDzD0000,),(,（3） 无穷远点的邻域无穷远点的邻域无穷远无穷远 点的去心邻域点的去心邻域0zD（4） 境界点境界点（5） 外点外点（6） 边界边界（7） 开集开集（8） 连通集连通集（9） 区域与闭区域区域与闭区域2. 复变函数定义复变函数定义).(, zfwzwivuwGz

2、fiyxzG记作）的函数（简称复变函数是复变数则称复变数之对应与就有一个或几个使得确定的法则如果存在一个的非空集合是一个复数设是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一个个若若)(zfwz值一个是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个若若)( zfwz值一个，的定义集合（定义域）称为复变函数集合)(zfG的值域。称为复变函数集合)(),(*zfGzzfwwG为因变量。，称为自变量（也称宗量）称wz注：注：),();,(vuivuwyxiyxz).,(),()()(yxivyxuiyxfzfw ),(),(yxvvyxuu故),(),()(yxvvyxuuivuzfw 可见，复变函数因变量的实

3、部与虚部都是自变量实部与虚部的二元函数。例如：例如：（1） N次幂函数;nzw（2） 指数函数;zew（3）正弦函数;sinzw（4）余弦函数;coszw（5）正切函数;tanzw（7）双曲正弦函数;2zzeeshzw（8）双曲余弦函数;2zzeechzw（6）常数函数;Cw（9） 线性函数.,(为复常数）babazw例例1).,(),(,)(2yxvvyxuuivuwiyxzzzfw求出二元实函数令设函数答案：.2),(,),(22xyyxvyxyxu例例2,)(ivuwiyxzezfwz令设函数.),(),(是周期函数并说明函数求出二元实函数zewyxvvyxuu答案：,sin),(,co

4、s),(xeyxvyeyxuxx.2i周期注：注：2424oxy基本周期带,sin)(ivuwiyxzzzfw令设函数例例3.sin),(),(是周期无界函数并说明函数求出二元实函数zwyxvvyxuu答案：.cos),(,sin),(xshyyxvxchyyxu.2周期为).(,22)sin(0yeeieeiyyyyyy注：注：也是周期无界函数。类似可知，zwcos22221111)(yxiyyxxiyxf将例例4.的函数表示成 z答案：.1)(zzzf令,ivuwiyxz则复变函数)(zfw相当于两个二元函数).,(),(yxvvyxuu如果把定义域D放在一个复平面（z平面）上，把值域f(

5、D)放在另一个复平面（w平面）上，那么在几何上，可以把)(zfw看作是z平面上的点集D变换到w平面上复变函数的点集f(D)的一个映射。单值函数：把z平面上的一个点映射到w平面上的一个点。多值函数： 把z平面上的一个点映射到w平面上的两个或两个以上的点。1. 复变函数的几何意义复变函数的几何意义oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)(zw=f(z)w旋转变换旋转变换(映射映射)即即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw )( iiiiirereezewrez设设解：解： sinsi

6、nsincosyxvyxu.绕坐标原点转动角度平面上的图形此函数将zx、uy、v(z)、(w)o 2. 单值函数的几何意义举例单值函数的几何意义举例例例5 研究线性函数为正的实常数）(zewi的映射特征。,rzzezewii.)()(zArgwArg注：注： 称此函数所对应的变换为旋转变换，为旋转角。例例7研究线性函数为正的实常数）rrzw(的映射特征。例例6解：解：,argarg,zwzrw倍。的方向伸缩平面上的图形沿复矢量此函数将rzz注：注： 称此函数所对应的变换为相似变换，称r为相似系数。研究线性函数为复常数）bbzw(的映射特征。解：解：如果把z平面与w平面重合，则由复数的向量表示可

7、知，这个映射将z平面上的图形作刚体平移，即图形的每一点都平移一个相同的复矢量。注：注： 称此函数所对应的变换为平移变换。oxyoxyb例例8.,(映射都是复常数）所构成的研究babazw解：解：骤完成映射：故这个函数可由三个步，则令bzrewreaii,;) 1 (1zezi旋转映射;)2(12rzz 伸缩映射.)3(2bzw平移映射z1z2zbwxyo例例9映射成什么图形？将单位圆线性函数1)1()31()(zizizf解：解：,2313ieia令).1(2)(3izezfwi则1)1()31()(zizizfw将单位圆线性函数.2)1(iw映射成圆oxyo1x1yox2x2yi1uvo例例

8、10所构成的映射。研究单值函数zRw2* 关于圆周的对称点关于圆周的对称点 设点A与点B在由圆心O出发的射线上，若它们到圆心O的距离OA与OB的乘积等于圆半径R的平方，则称点A与点B是关于圆周的一对对称点（也称为一对反演点）AMRBO解：解：表示，令与复数分别用复数的一对对称点，是关于圆与点设点wzOBA,iiewrez.R,2222zRreRerRwrrwzii，故得则由对称映射组成：是由两个，所以反演函数关于实轴的对称点为又zRwzRzR222。）关于实轴对称的映射（的圆周对称的映射；）关于半径为（21R(称此函数为反演函数）zR2zR2oxyz的圆内）在半径为（RzzoxyzR2zR2的

9、圆外）在半径为（Rz例例11平面上的象。在求区域已知函数wzzw3arg0,3解：解：得则由设333,iiierzwewrez.3,3 r平面映射下映射为在函数平面上的区域因此，wzwzz33arg0上的上半平面区域。uvoxyo今后讨论如无特别声明，都限于单值函数。今后讨论如无特别声明，都限于单值函数。.)()(lim)(,)(,0, 0, 0),(),( 000)000AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz时，或当时的极限，记作当为则称有时当）（，若存在数设（1. 极限定义极限定义几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,

10、它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw (1)(1) 定义中定义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更高. .0zz 注：注： (2) A是复数是复数. .(3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. .0z000),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设定理定理1(复变函数极限与其实部和虚部极限的关系复变函数极限与其实部和虚部极限的关系)00)(lim0ivuAzfzz则0),(),(0),(),(),(li

11、m),(lim0000vyxvuyxuyxyxyxyx BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则则若若定理定理2 以上定理均用极限定义证以上定理均用极限定义证! !注：注： 例例12.lim20zzz求解：解：,2)(2222xyiyxiyxzw.2,22xyvyxu都是初等函数，实二元函数又xyvyxu2,22.2)2(lim,)(lim002

12、020220000yxxyyxyxyyxxyyxx.2)(lim2000202020ziyxyxzzz故例例13.lim0zzzz求解：解：,22222222iyxxyyxyxz zzzz.2,222222yxxyvyxyxu时，有趋于点沿直线当动点又)0 , 0(),(mxyyxP此极限与路经有关，,11limlim2222222200mmxmxxmxuxmxyx也不存在。不存在，从而zzyxyxuzyxyx022220000limlimlim例例14.1lim1ziziz求解：解：,1)1(limlim)(lim11111iyxizyxyxiz,02lim)1(lim)1(lim11111

13、iyixzyxyxiz.515252211lim1iiiziziz2. 连续定义连续定义.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处处连连续续上上点点在在曲曲线线，则则称称且且、若若内内连连续续在在内内处处处处连连续续，则则称称若若在在区区域域处处连连续续在在，则则称称若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx处连续在函数定理定理3证明证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实

14、轴上不连续。在正实轴上不连续。在正实轴上zzzxxPyxxyxxarg2arglim , 0arglim)0)(0 ,( )2(000000故故不不连连续续。在在原原点点没没有有定定义义， arg)()1(zzf 证明证明xy(z)ozz)0 ,(0 xP例例15例例16处也连续。点在处连续，则函数在点证明：若函数00)()(zzfzzf证明：证明：).,(),()(),(),()(yxivyxuzfyxivyxuzf则设处连续，在点0)(zzf处连续，在点),(),(),(00yxyxvyxu处连续，在点因而),(),(00yxyxv处连续。在点故函数0)(zzf 连续函数的和、差、积、商连

15、续函数的和、差、积、商 (分母不为分母不为0) 仍为连续函数仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。.0)()()()(10点点外外处处处处连连续续在在复复平平面面内内除除分分母母为为的的；在在整整个个复复平平面面内内是是连连续续由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲线线上上恒恒有有上上连连续续在在若若内内的的曲曲线线段段为为闭闭曲曲线线或或端端点点包包括括在在设设曲曲线线有界性：有界性：定理定理4在闭区域上的连续性：)(zf上连续。在闭区域则称的边界上也连续，内连续，且在区域在区域若DzfDDzf)()(：闭区域上一致连续函数.)(上有定义在闭区域设函数Dzf上一致连续。在闭区域则称时，恒有只要对任何点若DzfzfzfDzUzDz)(,)()(),(, 0, 0000等价定义上一致连续。在闭区域则称时，恒有且当对DzfzfzfDzzzDzz)(,)()(, 0, 0212121例例17证明： 函数2)(zzfw在有界闭区域D:1z上一致连续。证：证：,21Dzz,2)(212121zzzzzz2121222121)()(zzzzzzzfzf,0欲使,)()(21zfzf只要,221zz也即只要,221zz故取,2则