第九讲 复数项级数

1、基础部数学室基础部数学室 宫雷宫雷复变函数与积分变换复变函数与积分变换第四章第四章 级数级数基础部数学教研室基础部数学教研室 宫雷宫雷第九次课第九次课 复数项级数与复数项级数与幂级数幂级数一、复数列的极限一、复数列的极限二、级数的概念二、级数的概念三、幂级数的概念三、幂级数的概念四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径五、幂级数的运算与性质五、幂级数的运算与性质第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数一、复数列的极限一、复数列的极限一、复数列的极限一、复数列的极限定义定义第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变

2、函数复变函数例例1 下列数列是否收敛？若收敛，求其极限。下列数列是否收敛？若收敛，求其极限。,cos)2(,)11()1(innennnin 一、复数列的极限一、复数列的极限定理一：定理一：bbaannnnnn lim,limlim第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数解：解：)sin)(cos11()11()1(ninnennin nnbnnann sin)11(,cos)11( , 0lim, 1lim nnba. 1limlimlim nnnbia 一、复数列的极限一、复数列的极限第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数

3、项级数与幂级数复变函数复变函数2cos)2(nnneeninn 0,2 nnnnbeenan , 0lim,lim nnba（发发散散）发散。发散。一、复数列的极限一、复数列的极限第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数二、级数的概念二、级数的概念二、级数的概念二、级数的概念1. 级数级数第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数2. 级数的收敛性级数的收敛性(1) 收敛性定义收敛性定义二、级数的概念二、级数的概念第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数

4、收敛的必要条件：收敛的必要条件：(2) 复数项级数收敛性条件复数项级数收敛性条件收敛的充要条件：收敛的充要条件：二、级数的概念二、级数的概念第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数二、级数的概念二、级数的概念第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数3. 绝对收敛绝对收敛二、级数的概念二、级数的概念均绝对收敛。均绝对收敛。和和绝对收敛绝对收敛 111nnnnnnba 第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数例例2 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散

5、性。.2)1()3(,!)8()2(),1(1)1(101nnnnnninninin 答案答案： （1）由定理，发散。）由定理，发散。 （2）由正项级数比值法，绝对收敛。）由正项级数比值法，绝对收敛。 （3）由定理，条件收敛。）由定理，条件收敛。二、级数的概念二、级数的概念第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数三、幂级数的概念三、幂级数的概念三、幂级数的概念三、幂级数的概念1.复变函数项级数复变函数项级数 第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数2.复变函数项级数的收敛性复变函数项级数的收敛性三、

6、幂级数的概念三、幂级数的概念第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数3.幂级数幂级数三、幂级数的概念三、幂级数的概念第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数4.阿贝尔阿贝尔(Abel )定理定理z0 xyO三、幂级数的概念三、幂级数的概念第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径1. 幂级数的收敛情况幂级数的收敛情况第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项

7、级数与幂级数复变函数复变函数四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数情况情况3 3图解图解 yx RCR.发散发散收敛收敛四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径称称 为收敛圆，为收敛圆， 为收敛半径。为收敛半径。RCR2.定义定义:第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径 级数收敛级数收敛 级数发散级数发散,11lim,1zSznn 时时 nnSzlim,1时时1,11.112 zzzzzzSnnn解：解：第四章第四章

8、 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数所以几何级数在圆域所以几何级数在圆域 内绝对收敛，并且内绝对收敛，并且zzzzznnn 11.1201 z3. 收敛半径的求法收敛半径的求法比值法比值法: : 如果如果 1, 0lim1 RCCnnn 根值法根值法: : 如果如果 1, 0lim RCnnn四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数四、收敛圆与收敛半径四、收敛圆与收敛半径第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数五、幂级数

9、的运算和性质五、幂级数的运算和性质五、幂级数的运算和性质五、幂级数的运算和性质1. 运算运算(1) 代数运算代数运算第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数(2) 代换运算代换运算五、幂级数的运算和性质五、幂级数的运算和性质第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数五、幂级数的运算和性质五、幂级数的运算和性质解解:bzzf 1)(abazababaz 111)(1,1|时时当当 abaz 00)()(1)(11nnnnnazababazabaz 01)()(11nnnazabbz第四章第四章 级数级数

10、第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数五、幂级数的运算和性质五、幂级数的运算和性质2. 性质性质第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数五、幂级数的运算和性质五、幂级数的运算和性质第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数1.复数列的极限定义复数列的极限定义. 判断复数列的收敛性转化为判断两个实数列的收敛性判断复数列的收敛性转化为判断两个实数列的收敛性.3.复变函数项级数的概念及收敛定义复变函数项级数的概念及收敛定义.2.复数项级数的概念，复数项级数收敛性的判断，复复数项级

11、数的概念，复数项级数收敛性的判断，复数项级数的绝对收敛与条件收敛数项级数的绝对收敛与条件收敛.4.幂级数的概念及收敛定理幂级数的概念及收敛定理(Abel(Abel定理定理).5.收敛圆与收敛半径的概念，幂级数收敛半径的求法收敛圆与收敛半径的概念，幂级数收敛半径的求法.六、小结六、小结六、小结六、小结第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数课后作业：课后作业： P142 3P142 3； 6 66.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质.六、小结六、小结第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数innnenini2)2(,11)1( 练习：练习：下列数列是否收敛？若收敛，求其极限。下列数列是否收敛？若收敛，求其极限。第四章第四章 级数级数第九讲第九讲 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数复变函数复变函数innnnininn222121111)1( ,12,11222nnbnnann