高中物理之圆周运动的临界问题

1、圆周运动的临界问题教学目标：1掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式；2学会应用牛顿第二定律解决圆周运动问题3掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能教学重点：匀速圆周运动教学难点：应用牛顿第二定律解决圆周运动的动力学问题教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：自主预习：1火车转弯问题 由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力 铁轨拐弯处半径为r，内外轨高度差为h，两轨间距为l，火车总质量为m，则： (1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外

2、轨均不受压的速度vp (2)若火车实际速度大于vp，则外轨将受到侧向压力 (3)若火车实际速度小于vp，则内轨将受到侧向压力 2“水流星”问题 绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。 (1)杯子在最高点的最小速度vmin(gl)1/2 (2)当杯子在最高点速度为v1>vmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v2<vmin，则杯子不能到达最高点议一议：若“水流星”问题中杯子中水的质量为m，当在最高点速度为v2>vmin时，水对杯底的压力为多大?3变速圆周运动特点：（1）速度大

3、小变化有切向加速度、速度方向改变有向心加速度故合加速度不一定指向圆心（2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心4处理圆周运动动力学问题般步骤（1）确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图（2）标出已知量和需求的物理量（3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合（4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解重点、难点释疑：斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度agtan的问题1斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度agtan 因为f2fncosmg f1fnsinma 所以agtan 2火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和的关系仍为agtan，再用t

4、anh/l,av2/r解决问题 3加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有agtan的关系典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。1如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有即，否则不能通过最高点。临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高

5、点v=小球能通过最高点的条件是在最高点v>小球不能通过最高点的条件是在最高点v<2弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动。3弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。当弹力大小f<mg时，向心力有两解：mg±f；当弹力大小f>mg时，向心力只有一解：f +mg；当弹力f=mg时，向心力等于零。物理最高点与几何最高点如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，c为最高点，d为

6、最低点，c点速度最小，d点速度最大。但是若加水平向右的电场e，小球带电量为十q，则在a点速度最小，在b点速度最大，小球在a点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在b点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时c、d两点的特性相似我们把a、b两点称为物理最高点和物理最低点，而把c、d两点称为几何最高点和几何最低点。解题方法探究：题型一：有关摩擦力的临界问题【例1】如图所示，用细绳一端系着的质量为m=0.6kg的物体a静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔o吊着质量为m=0.3kg的小球b，a的重心到o点的距离为0.2m若a与转盘间的最大静摩擦力为f=2n，为使小球b保持静止，求转

7、盘绕中心o旋转的角速度的取值范围（取g=10m/s2）解析：要使b静止，a必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度a需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，a有离心趋势，静摩擦力指向圆心o；角速度取最小值时，a有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心o对于b，t=mg对于a，rad/s rad/s所以 2.9 rad/s rad/s题型二：水平面内圆周运动的临界问题【例2】如图所示，质量为m=0.1kg的小球和a、b两根细绳相连，两绳固定在细杆的a、b两点，其中a绳长la=2m，当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角1=30°，2=45°，g=10m/s2求：（1）当

8、细杆转动的角速度在什么范围内，a、b两绳始终张紧？（2）当=3rad/s时，a、b两绳的拉力分别为多大？解析（1）当b绳恰好拉直，但tb=0时，细杆的转动角速度为1，有：tacos30°=mg 解得：1=24 rad/s当a绳恰好拉直，但ta=0时，细杆的转动角速度为2，有：解得：2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧2.4 rad/s3.15 rad/s（2）当=3 rad/s时，两绳都紧 ta=0.27 n， tb=1.09 n点评分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法题型三：等效场问题【例3】如图所示，o点系一细线，线的另一端系一带电量为+

9、q，质量为m的带电小球，空间存在电场强度为 e的匀强电场，小球绕o点在竖直平面内恰好做圆周运动，则小球的最小速率为多大?反馈练习（a类） 班级 姓名 1如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过o点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ab）aa处为拉力，b处为拉力ba处为拉力，b处为推力ca处为推力，b处为拉力da处为推力，b处为推力o l2一小球质量为m，用长为l的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于o点，在o点正下方l/2处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间a小球线速度没有

10、变化b小球的角速度突然增大到原来的2倍c小球的向心加速度突然增大到原来的2倍d悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍解析在小球通过最低点的瞬间，水平方向上不受外力作用，沿切线方向小球的加速度等于零，因而小球的线速度不会发生变化，故a正确；在线速度不变的情况下，小球的半径突然减小到原来的一半，由v=r可知角速度增大为原来的2倍，故b正确；由a=v2/r，可知向心加速度突然增大到原来的2倍，故c正确；在最低点，f-mg=ma，可以看出d不正确点评本题中要分析出悬线碰到钉子前后的瞬间物理量的变化情况，问题就很好解了，因而，要根据题目的条件分析物理过程后再选用公式，不能随意照套公式3一质量为m的金属小球

11、用l长的细线拴起，固定在o点，然后将线拉至水平，在悬点o的正下方某处p钉一光滑的钉子，如图所示，为使悬线碰钉后小球仍做圆周运动则op的最小距离是多少?(g10 ms2)4飞行员驾机在竖直平面内作圆环特技飞行，若圆环半径为1000m，飞行速度为100m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍（g=10m/s2）解析如图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg和向上的支持力t1，合力是向心力即fn1=t1-mg；在最高点时，飞行员受向下的重力和向下的压力t2，合力产生向心力即fn2=t2+mg两个向心力大小相等且fn= fn1=fn2=mv2/r则此题有解：因为向心力fn

12、= mv2/r 在最低点：t1-mg= mv2/r 则t1=mv2/r+mg解得：t1/mg=v2/（rg）+1=2在最高点：t2+mg= mv2/r 则t2=mv2/r-mg解得：t2/mg=v2/（rg）-1=0即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重量的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力点评竖直面内的非匀速圆周运动，在列动力学方程时，要按照牛顿第二定律列方程的步骤进行，受力分析是关键，列方程只要在法线方向上用牛顿第二定律公式f=mv2/r是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力的法向分力coba5如图所示，半径为r，内径很小的光滑半圆管竖直放

13、置，两个质量均为m的小球a、b以不同速率进入管内，a通过最高点c时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点c时，对管壁下部的压力为075mg求a、b两球落地点间的距离解析两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，a、b两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差对a球：3mg+mg=m va=对b球：mg075mg=m vb=sa=vat=va=4rsb=vbt=vb=r（2分）sasb=3r点评竖直面内的非匀速圆周运动往往与其它知识点结合起来进行考查，本题是与平抛运动相结合，解这类题时一定要先分析出物体的运动模型，将它转化成若干个比较

14、熟悉的问题，一个一个问题求解，从而使难题转化为基本题本题中还要注意竖直面内的非匀速圆周运动在最高点的两个模型：轻杆模型和轻绳模型，它们的区别在于在最高点时提供的力有所不同，轻杆可提供拉力和支持力，而轻绳只能提供拉力；本题属于轻杆模型mro6在质量为m的电动机上，装有质量为的偏心轮，偏心轮转动的角速度为，当偏心轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大?解析设偏心轮的重心距转轴，偏心轮等效为用一长为的细杆固定质量为(轮的质量)的质点，绕转轴转动，如图4-3-7，轮的重心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心

15、轮对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，即：f=m 根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为f=m，其向心力为：f+mg=m2r 由得偏心轮重心到转轴的距离为：r=(m+m)g/(m2) 当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大对偏心轮有：f'-mg=m2r 对电动机，设它所受支持力为fn，fn=f'+mg 由、解得fn=2(m+m)g由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2(m+m)g点评本题中电动机和偏心轮组成为一个系统，电动机对地面刚好无压力，是偏心轮运动的结果，因而把它们隔离开来进行研究思路比较清晰；先以电动机为研究对象，再以偏心轮为研究对

16、象，分别列方程，再利用牛顿第二定律把它们联系起来即可求解；另外还要找出最高点和最低点这两个临界状态 7如图所示，杆长为l，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴o自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为f=mg/2，求这时小球的瞬时速度大小。解析：小球所需向心力向下，本题中f=mg/2mg，所以弹力的方向可能向上也可能向下。若f向上，则 若f向下，则点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。 需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题务必分清。反馈练习（b类） 班级 姓名 1火车以某一速

17、度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是(b)a.轨道半径r=b.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外c.若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内d.当火车质量改变时，安全速率也将改变2 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的a处静止开始下滑，沿轨道abc运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的34，圆滑半径为r，斜面倾角为，sbc=2r。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？ 解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一

18、个力f，如图所示。可知f1.25mg，方向与竖直方向左偏下37º，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过d点，若恰好能通过d点，即达到d点时球与环的弹力恰好为零。由圆周运动知识得：即：由动能定理有：联立、可求出此时的高度h。3一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为r（比细管的半径大得多）在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）a球的质量为m1，b球的质量为m2它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0设a球运动到最低点时，b球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、r与v0应满足的关系式是_解析：这是一道综合

19、运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题a球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下若要此时两球作用于圆管的合力为零，b球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对b球的压力一定是竖直向下的由机械能守恒定律，b球通过圆管最高点时的速度v满足方程根据牛顿运动定律对于a球，对于b球，又 n1=n2解得 4 如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为r，ob沿竖直方向，上端a距地面高度为h，质量为m的小球从a点由静止释放，最后落在水平地面上c点处，不计空气阻力，求：(1)小球运动到轨道上的b点时，对轨道的压力多大?(2)小球落地点c与b点水平距离s是多少

20、?解析：(1)小球由ab过程中，根据机械能守恒定律有： mgr 小球在b点时，根据向心力公式有； 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力，为3mg (2)小球由bc过程，水平方向有：s=vb·t 竖直方向有： 解得 5如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的a点由静止出发到b点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点c，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点a，试求滑块在ab段运动过程中的加速度.解析：设圆周的半径为r，则在c点：mg=m 离开c点，滑块做平抛运动，则2rgt22 vctsab 由b到c过程： mvc2/2+2mgr

21、mvb2/2 由a到b运动过程： vb22asab 由式联立得到： a=5g46如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点a由静止下滑，若小球恰能通过半径为r的竖直圆形轨道的最高点b而作圆周运动，问点a的高度h至少应为多少？（5r/2）7在一根长为l的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球b和c，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点a转动，将杆拉到某位置放开，末端c球摆到最低位置时，杆bc受到的拉力刚好等于c球重的2倍求：（g=10m/s2）（1）c球通过最低点时的线速度；（2）杆ab段此时受到的拉力解析（1）c球通过最低点

22、时，受力如图且作圆周运动f向=tbc-mg即2mg-mg= tabcabtbc=2mgmgmg得c球通过最低点时的线速度为：vc= （2）以最低点b球为研究对象，其受力如图4-3-9所示，b球圆周运动的f向=tab-mg-2mg即tab-3mg=，且vb=vc 得杆ab段此时受到的拉力为：tab=35mg 点评此题涉及到两个物体，按常规要分别研究各个物体，分别列出方程，此时还不能求解，必须还要找到两个物体联系的量再列一个方程才能求解，因而，找到两个物体物理量间的联系是解题的关键；本题中两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同是个隐含条件5.19圆周运动的临界问题2007.9.25自主预习：1火车转

23、弯问题 由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力 铁轨拐弯处半径为r，内外轨高度差为h，两轨间距为l，火车总质量为m，则： (1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度vp (2)若火车实际速度大于vp，则 轨将受到侧向压力 (3)若火车实际速度小于vp，则 轨将受到侧向压力 2“水流星”问题 绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。 (1)杯子在最高点的最小速度vm

24、in (2)当杯子在最高点速度为v1>vmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v2<vmin，则杯子不能到达最高点议一议：若“水流星”问题中杯子中水的质量为m，当在最高点速度为v2>vmin时，水对杯底的压力为多大?3变速圆周运动特点：（1）速度大小变化有 加速度、速度方向改变有 加速度故合加速度不一定指向 （2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向 4处理圆周运动动力学问题般步骤（1）确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图（2）标出已知量和需求的物理量（3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合（4）用牛顿第二定律和平

25、衡条件建立方程求解重点、难点释疑：斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度agtan的问题1斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度agtan 因为f2fncosmg f1fnsinma 所以agtan 2火车、汽车拐弯处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和的关系仍为agtan，再用tanh/l,av2/r解决问题 3加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有agtan的关系典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹

26、力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。1如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点，弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有即，否则不能通过最高点。临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v=小球能通过最高点的条件是在最高点v>小球不能通过最高点的条件是在最高点v<2弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：，否则车将离开桥面，做平抛运动。3弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物

27、体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。当弹力大小f<mg时，向心力有两解：mg±f；当弹力大小f>mg时，向心力只有一解：f +mg；当弹力f=mg时，向心力等于零。物理最高点与几何最高点如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，c为最高点，d为最低点，c点速度最小，d点速度最大。但是若加水平向右的电场e，小球带电量为十q，则在a点速度最小，在b点速度最大，小球在a点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在b点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时c、d两点的特性相似我们把a、b两点称为物理最高点和物理最低点，而把c、d两点称为几何最高点和几何最低点。

28、5.20解题方法探究：2007.9.26题型一：有关摩擦力的临界问题【例1】如图所示，用细绳一端系着的质量为m=0.6kg的物体a静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔o吊着质量为m=0.3kg的小球b，a的重心到o点的距离为0.2m若a与转盘间的最大静摩擦力为f=2n，为使小球b保持静止，求转盘绕中心o旋转的角速度的取值范围（取g=10m/s2）题型二：水平面内圆周运动的临界问题【例2】如图所示，质量为m=0.1kg的小球和a、b两根细绳相连，两绳固定在细杆的a、b两点，其中a绳长la=2m，当两绳都拉直时，a、b两绳和细杆的夹角1=30°，2=45°，g=1

29、0m/s2求：（1）当细杆转动的角速度在什么范围内，a、b两绳始终张紧？（2）当=3rad/s时，a、b两绳的拉力分别为多大？题型三：等效场问题【例3】如图所示，o点系一细线，线的另一端系一带电量为+q，质量为m的带电小球，空间存在电场强度为 e的匀强电场，小球绕o点在竖直平面内恰好做圆周运动，则小球的最小速率为多大?5.21反馈练习（a类） 班级 姓名 2007.9.271如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过o点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）aa处为拉力，b处为拉力ba处为拉力，b处为推力ca处为推力

30、，b处为拉力da处为推力，b处为推力o l2一小球质量为m，用长为l的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于o点，在o点正下方l/2处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间a小球线速度没有变化b小球的角速度突然增大到原来的2倍c小球的向心加速度突然增大到原来的2倍d悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍3一质量为m的金属小球用l长的细线拴起，固定在o点，然后将线拉至水平，在悬点o的正下方某处p钉一光滑的钉子，如图所示，为使悬线碰钉后小球仍做圆周运动则op的最小距离是多少?(g10 ms2)4飞行员驾机在竖直平面内作圆环特技飞行，若圆环半径为1000m，飞行速度为100m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍（g=10m/s2）coba5如图所示，半径为r，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球a、b以不同速率进入管内，a通过最高点c时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点c时，对管壁下部的压力为075mg求a、b两球落地点间的距离5.22反馈练习（b类） 班级 姓名 2007.9.281火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是( )a.轨道半径r=b.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道