初二全等三角形全攻略

1、 初二全等三角形全攻略专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1三边对应相等的两个三角形全等（简写成“sss”）2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“sas”）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“asa”）4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“aas”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“hl”）也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等三角

2、形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？常胜教育 赵老师 电话qq996464280（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等例1 已知：如图1，ceab于点e，bdac于点d，bd、ce

3、交于点o，且ao平分bac那么图中全等的三角形有_对分析：由ceab，bdac，得aeo=ado=90º由ao平分bac，得eao=dao又ao为公共边，所以aeoado所以eo=do，ae=ad又beo=cdo=90º，boe=cod，所以boecod由ae=ad，aeo=ado=90º，bac为公共角，所以eacdao所以ab=ac又eao=dao， ao为公共边，所以aboaco 图1所以图中全等的三角形一共有4对百度hi 牛顿罗庚 渤海初中数学答疑群1306344（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已

4、知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案例2 如图2，已知ab=ad，1=2，要使abcade，还需添加的条件是（只需填一个）_分析：要使abcade，注意到1=2，所以1+dac=2+dac，即bac=eac要使abcade，根据sas可知只需ac=ae 图2即可；根据asa可知只需b=d；根据aas可知只需c=e故可添加的条件是ac=ae或b=d或c=e（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显

5、，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等例3 已知：如图3，ab=ac，1=2求证：ao平分bac分析：要证ao平分bac，即证bao=bco，要证bao=bco，只需证bao和bco所在的两个三角形全等而由已知条件知，只需再证明bo=co即可证明：连结bc因为ab=ac，所以abcacb因为1=2，所以abc-1acb-2 图3即3=4，所以bo=co因为ab=ac，bo=co，ao=ao，所以aboaco所以bao=cao，即ao平分bac（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等

6、三角形 常年网上家教招收初中学生，欢迎联系例4 已知：如图4，在rtabc中，acb=90º，ac=bc，d为bc的中点，cead于e，交ab于f，连接df求证：adc=bdf证明：过b作bgbc交cf延长线于g，所以bgac所以g=ace因为acbc，cead，所以ace=adc所以g=adc因为ac=bc，acdcbg=90º，所以 图4acdcbg所以bg=cd=bd因为cbf=gbf=45º，bf=bf，所以gbfdbf所以g=bdf所以adcbdf所以adcbdf1 说明：截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分

7、成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等 例1如图（1）已知：正方形abcd中，bac的平分线交bc于e，abcdfeg图（1）求证：ab+be=ac解法（一）（补短法或补全法）延长ab至f使af=ac，解法（二）（截长法或分割法）在ac上截取ag=ab，例2、已知：如图1-1所示，在四边形abcd中，bcba，ad=cd，bd平分abc，求证：a + c = 180°例3 已知：

8、ad为abc的角平分线，abac，求证：abacbddc。1:在rt三角形abc中,角bac=90度,ab=ac,bd平分角abc,ce垂直于bd,求证bd=2ce.(要求:不能用补短法,只能用截长法)2、已知,如图.在三角形abc中,角c等于2角b,角1等于角2,求证ab=ac+cd(要求:不能用截长法,只能用补短法)3、已知：如图，在四边形abcd中，bd是abc的角平分线，ad=cd，求证：a+c=180°4、如图，已知abc中，ad是bac的角平分线，ab=ac+cd，求证：c=2b2平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对rt,有时可作出斜边的

9、中线 例 abc中，bac=60°，c=40°ap平分bac交bc于p，bq平分abc交ac于q， 求证：ab+bp=bq+aq说明：本题也可以在ab截取ad=aq，连od，构造全等三角形，即“截长补短法” 本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2），过o作odbc交ac于d，则adoabo来解决 如图（3），过o作debc交ab于d，交ac于e，则adoaqo，aboaeo来解决 如图（4），过p作pdbq交ab的延长线于d，则apdapc来解决 如图（5），过p作pdbq交ac于d，则abpadp来解决（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）abcp

10、q图（5）doabcpq图（4）dooabcpqd图（2）abcpqde图（3）o 3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。abcpd例已知：如图（6），p为abc内一点，且pa=3，pb=4，pc=5，求apb的度数分析：直接求apb的度数，不易求，由pa=3，pb=4，pc=5，联想到构造直角三角形 4倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。eabcdfh例1如图（7）ad是abc的中线，be交ac于e，交ad于f，且ae=be求证：ac=bf 例2如图，点d、e三等分abc的bc边，求证：ab+ac

11、>ad+ae例3如图，abc中，d为bc中点，ab=5，ad=6，ac=13。求证：abad。5翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形abcdegf例1如图（8）已知：在abc中，a=45º, adbc，若bd=3，dc=2， 求：abc的面积例2abcd如图，在abc中，adbc，abc=2c。求证：ab+bd=cd例3在abc中，12，abc2c。求证：abbdac。练习1、如图5，在中，求证：。练习2、已知：如图6，正方形abcd，q在dc上，p在bc上。求证：pa=pb+dq。1如图1，已知bd平分abc，ac=b

12、c，c=90°，aebd于e，判断ae与bd的数量关系并证明.2如图3，在abc中，a=90°，ab=ac，d为ac的中点，aebd于e，延长ae交bc于f，求证：adb=cdf 图 3（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视例5 要在湖的两岸a、b间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量a，b两点间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案(1)画出测量图案(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示

13、） 图5 (3)计算a、b的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）分析：可把此题转化为证两个三角形全等第(1)题，测量图案如图5所示第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点o，在ao的延长线上取一点c，并测得oc=oa，在bo的延长线上取一点d，并测得od=ob，这时测得cd的长为，则ab的长就是第(3)题易证aobcod，所以ab=cd，测得cd的长即可得ab的长解：(1)如图6示(2)在陆地上找到可以直接到达a、b的一点o，在ao的延长线上取一点c，并测得ocoa，在bo的延长线上取一点d，并测得odob，这时测出cd的长为，则ab的长就是(3)理由：由测法可得oc=oa，od=ob又

14、cod=aob，codaobcd=ab= 图6 评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识练习：1已知：如图7，d是abc的边ab上一点，abfc，df交ac于点e，de=fe 图7求证：ae=ce2如图8，在abc中，点e在bc上，点d在ae上，已知abd=acd，bde=cde求证：bd=cd 3用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 图8方法：如图9所示，先在aob的两边上取op=oq，再取pm=qn，连接pn、qm，得交点c，则射线oc平分aob你能说明道理吗？ 图9 4如图10，abc中，ab=ac，过点a作gebc

15、，角平分线bd、cf相交于点h，它们的延长线分别交ge于点e、g试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 图105已知：如图11，点c、d在线段ab上，pc=pd请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明所添条件为_，你得到的一 对全等三角形是_ 图116如图12，1=2，bc=ef，那么需要补充一个直接条件_（写出一个即可），才能使abcdef 图127如图13，在abd和acd中，ab=ac，b=c求证：abdacd 图138如图14，直线ad与bc相交于点o，且ac=bd，ad=bc求证：co=do图149已知abc，ab=ac，e、f分别为ab和ac延长线

16、上的点，且be=cf，ef交bc于g求证：eg=gf 图1510已知：如图16，ab=ae，bc=ed，点f是cd的中点，afcd求证：b=e 图1611如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）(a)带和去 (b)带去 (c)带去 (d)带去 图1712有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理 图18 13如图19，将两根钢条aa'、bb'的中点o连在一起，使aa'、bb'可以绕着点o自由

17、转动，就做成了一个测量工件，则a' b'的长等于内槽宽ab，那么判定oaboab的理由是（ ）（a）边角边 （b）角边角（c）边边边 （d）角角边 图19专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等

18、例6 如图20，12，aeob于e，bdoa于d，交点为c 求证：ac=bc 图20证法：aeob，bdoa，adc=bec=12，cd=ce在acd和bce中，adc=bec，cd=ce，34acdbce(asa)，ac=bc说明：本题若用全等方法证明点c到oa、ob距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法例7 已知：如图21，abc中，bd=cd，12求证：ad平分bac证明：过d作deab于e，dfac于f

19、图21在bed与cfd中，12，bedcfd，bd=cd，bedcfd(aas)dedf，ad平分bac说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等（2）利用角的平分线构造全等三角形过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，abcd，e为ad上一点，且be、ce分别平分abc、bcd求证：ae=ed分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点e是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点e分别作ab、bc、cd的垂线段证明：过点e作efab，交ba的延长线于点f，作egbc，垂足为g，作e

20、hcd，垂足为hbe平分abc，efab，egbc，ef=eg同理eg =ehef=ehabcd，fae=defab，ehcd，afe=dhe=90º 图22在afe和dhe中，afe=dhe，ef=eh，fae=dafedheae=ed以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在abc中，ad平分bac，c=2b求证：ab=ac+cd分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在ab上截取ae=ac，连接de，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段ab分成ae和be两段，只需证明be=cd就可以了证明：在ab上截取ae=ac，连接dead平分bac，ead=cad 图

21、23在ead和cad中，ead=cad，ad=ad，ae=ac，eadcadaed=c，cd=dec=2b，aed=2baed=b+ebd，b=edbbe=edbe=cdab=ae+be，ab=ac+cd延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24，在abc中，ad平分bac，cead于e求证：ace=b+ecd分析：注意到ad平分bac，cead，于是可延长ce交ab于点f，即可构造全等三角形证明：延长ce交ab于点fad平分bac，fae=caecead，fea=cea=90º在fea和cea中，fae=cae，ae=ae，fea=cea 图24feaceaac

22、e=afeafe=b+ecd，ace=b+ecd（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25，在abc中，ad平分bac，过点d作deab，de交ac于点e易证aed是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 图25例11 如图26，在abc中，ab=ac，bd平分abc，debd于d，交bc于点e求证：cd=be分析：要证cd=be，可将be分成两条线段，然后再证明cd与这两条线段都相等证明：过点d作dfab交bc于点fbd平分abc，1=2dfab，1=3，4=abc 图262=3，df=bfdebd，2+def=90º，3+5=90ºdef=5df=efab=ac，abc=c4=c，cd=dfcd=ef=bf，即cd=be练习：1如图27，在abc中，b=90º，ad为bac的平分线，dfac于f，de=dc求证：be=cf 图272已知：如图28，ad是abc的中线，deab于e，dfac于f，且be=cf求证：（1）ad是bac的平分线；（2）ab=ac 图283在abc中，bac=60º，c=40º，ap平分bac交b