离心率的求法

1、圆锥曲线离心率的若干求法圆锥曲线离心率的若干求法一、根据条件先求出一、根据条件先求出 a，c，利用，利用 e=ca求解求解 例例 1 若椭圆经过原点，且焦点为若椭圆经过原点，且焦点为 f1(1，0)，f2(3，0)，则其离心率为则其离心率为( ) a.34 b.23 c.12 d.14 解析：由解析：由 f1、f2的坐标知的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，又椭圆过原点，ac=1，a+c=3，a=2，c=1, 所以离心率所以离心率 e=ca=12. .故选故选 c. . 例例2 2 如果双曲线的实半轴长为如果双曲线的实半轴长为2，焦距为，焦距为6，那么双曲线，那么双曲线的离心率为的离心

2、率为( ) a. 3 32 2 b. 6 62 2 c. 32 d2 解解析析：由由题题设设a=2，2c=6，则则c=3，e=ca=32, ,因因此此选选c 解析：由已知，直线解析：由已知，直线 l l 的方程为的方程为 bx+ay bx+ay - -ab=0.ab=0. 由点到直线的距离公式，得由点到直线的距离公式，得 ababa a2+b+b23 34 4c c，又，又 c c2=a=a2+b+b2, , 4ab=4ab=3 3c c2, , 两边平方， 得两边平方， 得 16a16a2(c(c2a a2)=3c)=3c4. .两边同除以两边同除以 a a4， 并整理， 得， 并整理， 得

3、 3e 3e4- -16e16e2+16=0.+16=0. 解得解得 e e24 4 或或 e e24 43 3. .又又 0a2，e e24 4，e e2.2.故选故选 a.a. 解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线， a=ba=b，c=c= 2 2a a， e eca2 2. .故选故选 c.c. 二、根据圆锥曲线的统一定义求解二、根据圆锥曲线的统一定义求解 解析：如图解析：如图1 1所示，所示，abab是过是过f f1且垂直于且垂直于x x轴的弦，轴的弦， adadl1于于d d，|ad|ad|为为f f1到准线到准线l1的距离，的距离， 根据椭圆的

4、第二定义，根据椭圆的第二定义，e=e=|af|af1| |ad|ad|= =1 12 2|ab|ab|ad|ad|= =1 12 2， 即即 e=1 12 2. .故填故填1 12 2. . 5,54,40,01,222222222ecaaacabxabxxaby即所以则中，整理得把它代入到抛物线渐近线方程为：四、根据曲线方程列出含参数的关系式，求四、根据曲线方程列出含参数的关系式，求 e 的取值的取值范围范围 例例 7 设设(0， 4 4)，则二次曲线，则二次曲线 x2coty2tan=1 的离心率的离心率的取值范围为的取值范围为( ) a.(0a.(0，1 12 2) b.() b.(1

5、12 2，2 22 2) c.() c.(2 22 2， 2 2) d.() d.( 2 2，+ +) ) 解析：由解析：由 x2coty2tan=1，(0， 4 4)， 得得 a2tan，b b2= = cot, , c2a2+b2tan+ + cot, , e e2c2a2tan+ + cottan1+1+ cot2, , (0， 4 4)，cot21, , e e22，e e 2. .故选故选 d.d. 五、构建关于五、构建关于 e 的不等式，求的不等式，求 e 的取值范围的取值范围 例例8 如图，已知梯形如图，已知梯形abcd中，中，ab2cd，点，点e分有分有向线段向线段a ac c

6、所成的比为， 双曲线过所成的比为， 双曲线过c、 d、 e三点， 且以三点， 且以a、 b为焦点 当为焦点 当2 23 33 34 4时，求双曲线离心率时，求双曲线离心率e的取值范围的取值范围 图3解解析析：以以 ab 的的垂垂直直平平分分线线为为 y 轴轴，直直线线 ab 为为 x 轴轴，建建立立如如图图 3 3所所示示的的直直角角坐坐标标系系 xoy，则则 cdy 轴轴. . 因因为为双双曲曲线线经经过过点点 c、d，且且以以 a、b 为为焦焦点点，由由双双曲曲线线的的对对称称性性知知 c、d 关关于于 y 轴轴对对称称依依题题意意，记记 a(c，0)，c(c c2 2，h),e(x0，y

7、0) )，其其中中 c=1 12 2ab为为双双曲曲线线的的半半焦焦距距，h 是是梯梯形形的的高高 由由定定比比分分点点坐坐标标公公式式得得 x0- -c c+ +c c2 21 1+ +( (- -2 2) )c c2 2( (1 1+ +) )，y0h h1 1+ + 设设双双曲曲线线的的方方程程为为x x2a a2y y2b b21，则则离离心心率率e=c ca a. 由由点点c、e在在双双曲曲线线上上，所所以以，将将点点c的的坐坐标标代代入入双双曲曲线线方方程程得得 c c24 4a a2h h2b b21 ， 将将点点e的的坐坐标标代代入入双双曲曲线线方方程程得得c c24 4a a

8、2( (2 21 1+ +) )2( (1 1+ +) )2h h2b b21 再再将将e=c ca a、 得得 e e24 4h h2b b21， h h2b b2e e24 41 ，e e24 4( (2 21 1+ +) )2( (1 11 1+ +) )2h h2b b21 将将式式代代入入式式，整整理理得得 e e24 4（44）12，13 3e e2+2 由由题题设设2 23 33 34 4得得，2 23 313 3e e2+23 34 4解解得得 7 7e 1 10 0 所所以以双双曲曲线线的的离离心心率率的的取取值值范范围围为为 7 7， 1 10 0 （20102010 辽宁

9、文数）辽宁文数） （9）设双曲线的一个焦点为f，虚轴的一个端点为b,如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （a）2 （b）3 （c）312 （d）512 解 析 ： 选d. 不 妨 设 双 曲 线 的 焦 点 在x轴 上 ， 设 其 方 程 为 ：22221(0,0)xyabab， 则一个焦点为( ,0), (0, )f cbb 一条渐近线斜率为：ba，直线fb的斜率为：bc，()1bbac ，2bac 220caac，解得512cea. （20102010 广东文数）广东文数）7.7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等

10、差数列，则该椭圆的离心率是等差数列，则该椭圆的离心率是 a.a.54 b. b.53 c. c. 52 d. d. 51 （20102010 四川文数）四川文数） （1010）椭圆）椭圆222210 xyaabb的右焦点为的右焦点为f f，其右准线与其右准线与x轴的交点为轴的交点为a在椭圆上存在点在椭圆上存在点p p满足线段满足线段apap的垂直的垂直平分线过点平分线过点f f，则椭圆离心率的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 （a a） （） （0 0，22 （b b） （） （0 0，12 （c c） 21，1 1） （d d） 12，1 1） 解解析析：由由题题意意，椭椭圆圆上上存存在在点点 p，使使得得线线段段 ap 的的垂垂直直平平分分线线过过点点f， 即即 f 点点到到 p 点点与与 a 点点的的距距离离相相等等 而而| |fa| |22abccc | |pf| | ac, ,ac 于于是是2bc ac, ,ac 即即 acc2b2acc2 222222accacacacc111