基于Poisson过程与分布的股票价格过程

1、基于 poisson 过程与分布的股票价格过程钟艳君 ,王 军(北京交通大学 理学院 ,北京 100044)摘 要 :根据概率论中的 poisso n 过程 , poisso n 分布和渗流理论 ,研究证卷市场中的股票价格波动 过程 ,通过建立相应的金融收益模型 ,构造出股价的随机过程. 再利用价格过程的特征函数 ,研究股 价过程概率分布的收敛问题. 同时还讨论了在不同时段内股价波动的性质和状态.关键词 : poisso n 过程 ; poisso n 分布 ; 渗流理论 ; black- scholes 公式 ; 特征函数中图分类号 :o211 . 9 文献标识码 :aconstructio

2、n of a stock price process by poisson process and its distributionz ho n g y a n- j u n , w a n g j u n( school of science ,beijing j iaoto ng u niversity ,beijing 100044 ,china)abstract :we investigate t he fluct uatio n of p rice p rocess in a stock mar ket wit h poisso n p rocess , poisso n dist

3、ributio n and percolatio n t heo ry ,and co nst ruct t he co rrespo nding rando m p rice p rocess. acco rding to t he characteristic f unctio n of t he stock p rice , we st udy t he co nvergence of t he p ro babilit y dist ributio nfo r t he stock p rice p rocess ,and discuss t he p roperties of flu

4、ct uatio ns fo r t he stock p rice .key words :poisso n p rocess ; poisso n dist ributio n ; percolatio n t heo ry ; black- scholes fo r mula ; charac2teristic f unctio n在金融数学与金融工程领域里 ,对于股票价格波动过程的研究具有着重要的理论意义和实际意 义1 ,2 ,其中股票价格 black- scholes 公式被广泛接 受和应用 ,其表达式为这就说明价格过程概率分布的极限状态与 black-scholes 公式的概率分布

5、是相同的. 在股票市场中 , 股票价格的波动是由投资者的投资行为所决定的 , 对某一股票而言 ,如果买入的数量超出卖出的数量 ,t t 则可以认为此时这只股票的价格被低估了 ,因此这s t = s 0exp 0( s) d s +0 ( s) d b ( s) ,只股票的价格将上升 ,同理可以讨论相反的情况.其中 ,( s ) 为漂移系数 ,( s ) 为波动系数 , b ( s ) 为标准布朗运动. 在实际问题中 , 我们所接触的许多价 格过程的时间参数具有离散性 , 因此我们希望构造相应的金融模型来逼近和模拟股票价格过程 , 而且 需要证明所构造的金融模型能够收敛到股票价格 black-

6、scholes 公式. 在文中 , 我们将应用概率论中1 模型构造设在股票市场中 , 假设交易次数 n t 服从参数 为的齐次 poisso n 过程 , 即在时刻 t 已发生股票交 易的次数为 n t . 这里假定发生交易的时刻是随机 的 , 则在时刻 t 之前恰好发生 k 次股票交易的概率poisso n 过程 , poisso n 分布和渗流理论3 26 来构造和为p ( n t= k) . 进一步地 , 假设在每次交易中有 i 个刻画股价的波动 ,并证明了所建立价格过程的特征函数收敛到 black- scholes 公式所对应的特征函数 ,独立区域同时进行交易 , 其中 i 为一随机变

7、量且服收稿日期 :2005- 05- 17基金项目 :国家自然科学基金资助项目( 70471001) ;教育部教外司基金资助项目( 2003 406 ) 98 从参数为 0 的 poisso n 分布. 而且不同区域在交易 时会收到利好 、利空或中立的市场消息 , 这些消息会经过渗流模型加以传播 , 从而影响投资人的行为 , 进 而影响股价的波动. 下面我们根据渗流理论来构造 模型.首先 , 假设二维格点上相邻格点以一定的概率p 为开 , 以 1 - p 为闭 , 这样就以中心格点 ( 例如 , 原 点) 为中心形成一个串 , 而串上的格点就是受到中心格点所影响的格点. 进一步构造股票价格模型

8、 : 设在时刻 t 前的交易次数为 k n t = 1 , 2 , , n t ,设二维渗流临界值为 pc , 当传播概率为 p 满足 p <pc 时 , 由渗流理论可知 e p cm ( 0) 较小 , 所以股票价格 s t 波动不大 ; 当 p > pc 时 , 以概率 1 产生无穷渗 流串 , 即 e p cm ( 0) 较大 , 因此股价发生较大的波 动. 根据渗流理论 3 有以下结论成立 : > 0 , 当 m 充分大时有 :(i) 若 p < pc - , 则有1m 2 e p cm ( 0) < ( 4)(ii) 若 p > pc , 则有且不

9、同时间的交易活动认为是相互独立 ; 在每一次交易活动中 , 假设每个区域 i ( 1 i i ) 以概率 发12m 2 e p cm ( 0) ( p)- ( 5)出买入的消息 , 以概率发出卖出的消息 , 以概率 1- - 持中立. 对于某二维格点区域 i ( 1 i i ) ,假设 t = n 时 , 达到渗流概率 pc2, 并设初始传播假设所有投资者站在一个边长为 m 的正方形的格概率为 p0 . 则在 n 之前有 nn/22 次交易活动发生 , 其点上 , 仅有一个投资者发布消息且站在原点 o 处 ,且只有在相邻格点上的投资者才可以相互影响 , 相中设第 k ( k < n n/

10、 2 ) 次交易活动中传播概率为k邻格点以概率 p 为开 ( 影响) , 以概率 1 - p 关闭 ( 不 影响) , 并设 cm ( 0) 表示从原点 o 出发受消息影响格当 k npk = p0 +nn/ 2即 t > n( pc - p0 ) 1点的个数.当交易时间第 k 次发生时 ( k n t ) , 假设 g ( k )概率为n/ 2 (2 ) 时 , 已达到 pc , 此时固定传播 1 = + 1 , - 1 , 0 ( 对于任意区域 i , 1 i i ) , 分别表示站在原点的投资者发出买入 , 卖出和中立的消息 , 即¯p = p k = pc +n n/

11、2( pc - p0 ) 1p ( g ( k) = + 1) = , p ( g ( k ) = - 1) = , 根据前面的构造可知 g ( 1) , g ( 2) , g ( n t ) 是相 互独立且同分布的随机序列. 对于第 k 次交易 , 交易区域 i ( 1 i i) , 定义函数对于充分大的 n , 我们将对达到渗流临界值之前和渗流临界值之后股票价格模型的情况分别进行 讨论.第一步 : t < n 时 , 根据式 ( 4 ) 选取适当的 ,ka (i ) = g ( k) cm ( 0)/ m 2 ( 1)2kk , 对于固定的 n , 使得式( 1) 表示的是实施买卖

12、( 买入或卖出) 的投资者占 投资总人数的比例 , 这个数值将影响股票的价格波k k ke p a (i ) = ( - )ke p cm ( 0) n m2n= a n动. 设 s k 表示第 k 次交易活动发生时股票的价格 ,由于每次交易活动中投资区域 i k 的个数服从一参( 1 i ik )( 6)m ( 0)ae p c2 =n数为0 的柏松分布 , 因此定义股票价格波动模型为e p a (i )kk2 =(k+k ) 4mn nikks k / s k - 1 = exp c a (i ) ( 2)i = 1式中 , c ( 0 < c < 1) 为市场深度参数 , 可

13、以通过历史数据加以待定 , 由式 ( 2) 得股票价格 s t 为( 1 i i k )( 7)第二步 : t n 时 , 根据式 ( 5 ) 对于适当的 ,2可使得s t = s n= s 0expn ti kca (i ) ( 3)ke¯p a (i ) = (- )e p cm ( 0) n 2= atkk = 1 i = 1m n n式中 , s 0 为股票初始价格.( 1 i i k )( 8)2 理论推导和主要结论ke¯p a (i )2 = (+)m n ( 0) me p c24n= r0kk由式 ( 1) , a (i ) 的数学期望为( 1 i ik )

14、( 9)ke a (i ) = ( - ) 1m 2e p cm ( 0) .首先研究随机变量 1na (i ) 的特征函数 , 根据 99 式 ( 6) ( 9) 有当 t < n 时 ( 即渗流没有发生) 1 n ns ik2eex p i za (i ) | n ns = h ·ke exp i z a (i ) =h = 0kp ( n ns = h) =n k = 1 i = 1n21 + i z e a (i ) - z1e a (i ) 2 + o =h ik1in k 2 n k n neexp izh = 0a (k ) ·p ( n ns = h)

15、 =n k = 1 i = 11 + i z a + o1( 10) ikn n n eexp iz 1a (i ) h ·p ( n ns= h) =k当 t n 时 ( 即渗流已经发生)h = 0i = 1 n20 iz a ke exp i z a (i ) =e exp nh = 0+ o ( 1n n) h ·p ( n ns= h) .n21 + i z e a (i ) - ze a (i ) 2 + o 1=我们考虑 n 时的情况.n k 2 n k n n( n)lim ee iz w s = lim exp ( i z0 a ) h ·n11

16、+ ( i z a - 1 z 2 r0 ) / n + o2n n( 11) nn (ns) he - nsh !n =h = 0再由于 i k 为一服从参数0 的泊松分布 , 当 t < 2i klim expns exp (n ki z0 a n) - 1 =时 , 随机变量 1a (i ) 的特征函数如下给出 ,i = 1nlim expns 1 + i z0 a + o ( 1 ) - 1 =由复合 poisso n 分布的特征函数 5 有ikn nn 2exp ( i z0 as) 1ke exp i z 1a (i )=i = 1 n1(ii) 当 s 1 时的情况 , 此

17、时已达到渗流概率 , 类s2exp 0 1 + i z a + onn n- 1 =似地讨论 w ( n) 的特征函数. 由式(10) 式(13) 有0 i z a 1lim ee i z w( n)n ns ika i =expn + o( 12)n nn s = lim e exp i zn 1 i = 1(k )k =ik n n/ 2 ikkk当 t n 时(即渗流已发生) , 随机变量 1 a (i )lim e exp i z 1a (i ) ·2的特征函数为i = 1 nn n k = 1 i = 1i1i ke exp i zn n ( s - 1/ 2)ika (k

18、 ) =ke exp i z 1a (i ) =n k = 1i = 1i = 1n( i z a - 1 z r )exp i z0 a( ( s - 1 ) + 1 ) -z 20( s - 1 ) r02.sexp 0 1 + 2 0 1+ o- 1 =222nn n当 n 趋于无穷大时 , w ( n) 的特征函数的极限为exp0 ( i z a - 1 z 2 r0 )1 2 + on n n( 13)lim e exp i z w ( n) =sn exp i z0 a( ( s - 1 ) + 1 ) -z 20( s - 1 ) r02.由于交易活动发生的时刻是离散的 , 下面

19、为将股票价格变化的时间连续化 , 即讨论离散时间的极 限状态. 设 0 < s < 1 , 令 t = ns , 定义222综合上面 (i) 、(ii) 归纳而得 , 对于任意 0 < s < 1 , 令1n tikn ns ik0 as , 0 < s < 2w ( n)1 i1 ( s) = ,s =n k = 1ki = 1a (k ) =n k = 1 i = 1a (i ) .0 a 12+ 0a ( s -1 ) ,21 s < 12下面就分成两种情况进行讨论 :(i) 当 0 < s < 1 时 , 没有达到渗流概率 , 由式

20、22 ( s) =0 ,0 < s < 12,s( 10) , 式 ( 12) , 则 w ( n) 的特征函数为( n)ee iz w s =0 r0 ,12s < 1( 下转第 110 页) 110 定义 2artin 代数 是拟倾斜代数 , 如果 满足下列两个条件 :( 1) gl dim 2 .( 2) r l = ind.定理 2 是一个含有 i p 路的 artin 代数 , 下 面命题等价 : 是拟倾斜代数. 中的任意 i p 路都可以提升成一条i p路 ,且 i p路中没有钩子.证明 , 是拟倾斜代数 , gl dim 21 由引理 2 可知 ind 中的任意

21、 i p 路都可以提升成一 条 i p路 , 且路中没有钩子. , ind 中的任意 i p 路都可提升成一条i p路 1 由定理 1 可知 r l = ind, 且 i p路中没 有钩子 , 再由引理 2 可知 是拟倾斜代数 , 证毕.定义 3artin 代数 是 sho d 代数 , 如果对ind 有 r l = ind. 一个 sho d 代数 如果不 是拟倾斜代数 , 则称 是严格 sho d 代数.定理 3 是一个含有 i p 路的 artin 代数 , 下 面命题等价 : 是严格 sho d 代数.ind 中的任意 i p 路都可以提升成一条i p路 ,且至少存在包含钩子的 i p

22、路 , 这条 i p路中要么有一个钩子 , 要么有两个连续的钩子.证明 , 是严格 sho d 代数 , r l= ind, 由定理 1 得到 ind 中的任意 i p 路都可以 提升成一条i p路 , 不是拟倾斜代数 , 即 gl dim >2 ,由引理 2 和定理 2 可知 i p路中要么有一个钩子 ,要么有两个连续的钩子. , 中的任意 i p 路都可以提升成一条i p路 , 由定理 1 可知 r l = ind , 是 sho d 代 数 , 存在包含钩子的 i p路 , 再由定理 2 可得 不是拟倾斜代数 , 所以 是严格 sho d 代数 , 证毕.参考文献 :1 happe

23、l d , ringel i ,smalo s. tilting in abelian categories and quasitilted algebra j . mem. amer . mat h. soc ,1996 ,120 :575 .2 coel ho f u ,l anzilot ta m . algebra wit h small ho mologicaldimensio n j . manuscri p t mat h. ,1999 ,100 :1 - 11 .3 coel ho f u , skowro nski a. on t he auslander- rieten c

24、o m2po nent s of a quasi- tilted algebra j . fun. mat h. , 1996 ,149 :67 - 82 .4 skowro nsk a. regular ar- co mpo nent s co ntaining direct2ing modulesj . proc. mat h. soc. , 1994 , 120 :19 - 26 .5 coel ho f u . tow- side gluings of tilted algebrasj . j . al 2gebras ,2003 ,269 :456 - 479 .( 上接第 99 页)则 w ( n)s 的特征函数的极限与 black- scholes 公式w= ( s)