压缩映像原理翻译部分1

1、部分1.文摘结果 主题和概括。压缩映像原理是一种研究非线性方程最有用的工具，比如代数方程，积分或微分方程。原则是一个不动点定理，证明了完备度量空间的压缩映像本身有一个独特的固定点通过反复图像的映射下任意起始点的空间获得极限的定义。因此，这是一个建设性的不动点定理并且可以实现定点的数值计算。 从古代数学（即计算古代数字平方根的古代方案）以来，迭代格式一直被使用并且在牛顿法求解多项式或代数方程组和皮卡德的迭代过程求解初值和边值非线性常微分方程的问题变得特别实用(见,58,59)。 在完整的赋范线性空间中，这个原理首先被巴拿赫5证明在收缩映射（在巴拿赫的许多结果请看60）。同时，豪斯多夫为完备度量空

2、间的收缩映射（来自caccioppoli 17， 75）提供了总体框架原则，介绍了一个抽象的度量空间的概念。它出现在各种文本实际分析(前一个注释,56) 在这些记录中，我们用不同的形式开发压缩映像原理并且提供不同数学文献中的许多应用程序。我们的目的是向读者介绍一些关于已经发现有用的原则在不同区域的分析。我们会讨论这些分析：牛顿法的收敛；如何确定分形是固定的点集值压缩迭代函数系统；积极使用希尔伯特的度量矩阵的门阶-弗罗贝尼乌斯定理和这个无限维空间的拓展(定理krein-rutman)；常微分方程的存在性和唯一性定理的基本理论（picard-lindel定理）和各种相关的结果；abel-liouv

3、ille类型的积分方程理论的应用程序；隐函数定理；变分不等式的基本存在和唯一性定理；非对称二次形式的lax-milgram类型结果；cauchy-kowalevsky基本存在性定理的偏微分方程的分析条件。 这些记录已经收集了几年,最近，被用来作为研讨会中vigre项目的一个部门基础部分。我们在这里要感谢那些参加了研讨会的本科学生,给了我们有价值的反馈。 2完备度量空间 在本节中,我们短暂回顾大多数本科生数学课程中一些非常基本的概念。我们将假定这些是必要的知识,这里是相关基本文本,例如。15,32,62。2.1 度量空间。给定一个数组m,一个度量关于m(也称为m是一个函数距离)。 满足 (2.1

4、)(最后一个要求是称为三角不等式)。我们叫这一对(m,d)为度量空间（我们经常使用m表示） 一个数组 在m中收敛于的前提是 这里我们可以写成 我们叫数组在m中是一个柯西数组，前提是对任意，存在 一个度量空间m是完整的,当且仅当每一个柯西序列在m收敛于一个点。 度量空间形成一个useful-in-analysis的拓扑空间。我们需要讨论的一些概念在研究这些空间的同时。然而,我们可以在度量空间的环境里这样做而不是一般的环境。下面的概念通常是在一个高级微积分或分析的基础课程。我们将简单地列出这些概念和参考在相应文本(例如。32或72)的正式定义。我们考虑一个固定的度量空间(m,d)。 开放和封闭的子

5、集m;有界和全有界集m;极限值(聚点)的一个子集m;m的一个子集(注意关闭关闭开放的球不是一定是封闭球);一组直径集合;一组被密集的概念集合;一个点到另外一个集合之间的距离（或两个集合）假设(m,d)是一个度量空间并且 . 如果我们限制d在x,将是一个度量空间的“相同”指标m 。我们重要注意的是如果m是完整和x m是一个封闭的子集, 然后也是完整的度量空间(任何柯西序列在将m的柯西序列,因此将收敛于某些点在m中，如果在m中逼近必须在中现在m)。概念的紧密性是关键。一个度量空间对于任何簇相关m的开集合，有一个有限的自子集。（用m的任意一个覆盖面来描述这种情况）。我们可以“分析性的”分析紧密性如下

6、。对任何在m中的和点；对于任何的正整数k>0,我们说y是的一个聚点，存在并且。因此在任何的开发球中，在每个数组m都存在一个聚点时，我们的m是紧密的。在本章的剩余部分,我们简要列表和描述一些有用的度量空间的例子。2.2赋范矢量空间. 如果m是一个真实的或复杂的向量空间矢量 (标量)。一个映射在下列条件下被叫做模： 如果m是一个向量空间并且是一个m里的模，（m，）是一个赋范矢量空间。我们不应模糊地说m是一个赋范矢量空间。m是一个向量空间并且是一个m里的模， m就变成了一个度量空间通过我们定义一个度量空间d： 赋范矢量空间,是一个完备度量空间,在度量d的指标上面,叫做巴拿赫空间。因此,一个封闭

7、的巴拿赫空间的子集可能总是被视为完备度量空间,因此,一个封闭的子空间的巴拿赫空间也是一个巴拿赫空间。 我们暂时一下现在的讨论再一起讨论一个小的关于巴拿赫空间的目录,以供将来参考。我们应当考虑唯一真正的巴拿赫空间,类似的定义复杂的类似物。 在所有情况下,验证这些空间赋范线性空间是非常简单的,完整性的验证,另一方面通常是更加困难。的许多例子将稍后讨论的设置完成度量空间的子集或巴拿赫空间的子空间。巴拿赫空间的例子例2.1 （r，）是一个简单的巴拿赫空间例子。例2.2 以下是许多我们可以使用的定理： 例2.3 我们使用坐标态加法和标量乘法运算,向量空间,可配备标准的某些子空间,尊重他们是完整的。(1)

8、 当1<p<时(2) 另外 完整。例2.4 令h是一个复杂的向量空间。h上的内积是一个映射满足：（1） 对任意的是一个线性映射。（2） 如果h是一实数的向量空间，并且内积是一个实值函数，。（3） 并且当且仅当x=0，就定义（h，）将是一个赋范矢量空间。如果h是完整的,我们称h为希尔伯特空间。我们注意到 (真正的)是希尔伯特空间。连续函数的空间进一步的例子分析的重要空间。下面是一个关于上述空间简短的讨论。例 2.5 定义我们注意到对于 ，我们定义并且对于对于常用点态定义f+g和以及上面被证明的定理，由此可见是一个赋范矢量空间。这个空间完全遵照的完整性，遵循定理。(请看15)另一个常用

9、定理是这相当于上面定义的规范；基于如下的不等式等价规范给我们严密的想法和一个可能，在一个给定的相同的想法应用，使用等效的规范，使得计算和验证容易或给我们更透明的结论。例2.6 让成为一个开集rn，k同上；定义令由于连续函数的序列的一致性是连续的，它遵循的空间是一个banach空间。假如如上并且是一个开集满足我们令因此，是一个banach空间。例2.7 令是rn中的开集。令是一个多指标。（非负整数）.我们令令然后f是一阶偏导数。给出了当，定义令然后，对可微函数的族使用进一步的收敛结果，跟随这个空间是一个banach空间。空间是用类似方式定义在的方式定义的空间和如果是有界的那么它是巴拿赫空间。2.

10、3 完备性 在这一节中，我们将简要讨论完成的概念在一个度量空间和赋范向量空间中完成。定理2.8 如果（m，d）是一个度量空间，则存在一个完备度量空间和一个映射就像我们给出一个简短的证明。我们让c成为一系列在m中的柯西序列。我们观察到，如果xn和yn是m中的要素。是一个柯西序列。如下的三角不等式。我们定义该映射是一个伪度量（缺乏唯一的条件）从度量的定义）。关系r定义在c中的关系或等价的，是一个等价关系在c上。在空间c/r上，所有等价类集合在c中，应记为m.如果我们表示r xn，所有这类是r等于xn，我们可以定义这定义了一个度量我们下一个连接到m。有一个自然的映射m到c，由（序列，所有的条目都是相

11、同的元素）。我们显然有从而映射（我们称之为h）是的等距形象m是密集的，如下容易从上面的解释。备注 2.9 我们观察到（m，d）是“独特的本质”。if（m1，d1）和（m2，d2）是映射h1，h2在m中的完备性，然后存在一个映射就像上面的定理，其证明是相似的以前的结果（定理2.8）的证明，回顾一个规范定义了一个度量我们定义（使用该定理的符号）。对于一个给定的柯西序列也很清楚，通过定义加法，设置为一个向量空间自然的标量乘法。定理2.10 如果是一个赋范向量空间，则存在（本质上独特的）完整的赋范向量空间（巴拿赫空间）和（这是一个等距同构）就像在中是密集的。2.4 勒贝格空间 在这一节中，我们将简要讨

12、论勒贝格空间用连续函数的域是rn空间中产生，如果我们定义f的支撑是闭集每当supp（f）是一个紧凑的（即封闭有界）集合并且被为的定义在rn上具有紧支撑的定义连续k值函数集表示时，我们说f具有紧密支撑。（一般情况下，如果是一个开放的集合）我们首先需要对定义黎曼积分。要做到这一点，没有在这个过程中，我们假设读者是熟悉的用这个概念来定义封闭的矩形框。是固定的真实数字（对于每一个盒子）。我们观察到，如果并且b1和b2这样的盒子，每个包含是一个盒包含这让我们来定义黎曼积分f在rn上。其中b是包含任何封闭的盒子。映射是一个线性映射（线性函数）从到k，另外满足（1）假如f在rn中是非负的，那么（2）如果是c

13、0序列的非负函数是单调降低（逐点）为零，即，那么定义2.11 对于 ，我们定义这是很容易证明，是一种规范称为c0的l1范数-（rn）。我们现在的写生过程完成赋范向量空间有限在这样一种方式，我们可以把向量函数rn上完成。定义2.12 子集被称为一组测量零的对于任何存在着一系列的框，如，当我们说一个属性持有“几乎无处不在”如果点集在它持有量为零。在一个非常完备的讨论中，可以发现以下定理的证明和l1完备性 37，7章。定义2.13 一个序列在赋范向量空间称为一个快速的柯西序列，如果收敛。定理2.14 如果fn是快速柯西序列，然后fn 收敛点在rn。定义2.15 rn上的勒贝格可积函数f：f是k值函数

14、定义在rn ，有快速柯西序列收敛于f .在rn。定理2.16 如果f是一个勒贝格可积函数，fn 和 gn是快速柯西序列收敛f，然后这样的结果，我们可以定义其中fn是任何快速的柯西序列收敛在rn。由此产生的映射在所有定义在空间上的勒贝格可积函数是在这个空间上的线性泛函也满足定理2.17 映射在，即满足规范的所有条件，除了，并不意味着f是上的零。进一步的是完整的半范数是一个密集的子空间。通常我们确定两元素满足；即，我们定义了一个的等价关系每当设置一个的零度量，这种等价关系方面的加法和标量乘法运算两等效函数具有相同的半范数。所有的向量空间等价类，然后成为一个完备的赋范线性空间（巴拿赫空间）。这个空间

15、，我们叫备注2.18 1.我们再次把读者参阅 37 为一个完整的讨论主题.其他相关的，例如，勒贝格积分的收敛定理，等。由此产生的空间3. 一个也可以模仿这个程序，以获得另一个勒贝格空间在代替原范式当然，在类似的情况，可以定义4. 对于给定的，定义在的，功能性因子被称为分布定义的f分布，更常见的，在上的线性泛函的集合被称为一组分布，如果不是这样的，其分布被定义因此，和，分布在f上，我们从今以后，对于给定的5. 笛卡尔乘积可以被看作是一个规范定义为赋范线性空间。在后者的完备性空间叫sobolev空间。这样的元素，则存在一个序列遵循l1-范式如下另一方面，采用一体化，因此也就是说，在这个意义上，这可

16、以概括如下：空间是所有l1-函数的分布的导数是l1-函数，以及如果我们在上述的过程中用l2-范式代替l1-范式，获得空间常常被表示的，用线性规划作为基础空间，一个可以定义sobolev空间在函数n变量和开放区域的情况下，类似的过程被用来定义sobolev空间。后来我们在这些笔记中对空间特别感兴趣，我们指的是有兴趣的读者到本书亚当斯 1 了解sobolev空间的详细发展和性能。2.5 在hausdorff度量 让度量空间m 和度量d。对于和中心为x和半径的开放封闭球。如前所指出的封闭球是封闭的，但不需要关闭的开放球。设a是一个非空闭子集m.对于，我们定义我们观察到如果a一个是紧密的，那么这些集合

17、是相等的；如果一个是不紧密的，这包含可能是正当的。定义 2.19 我们令对于每一个集合中的一对a,b，我们定义这是一个简单的练习，以证明以下命题。命题 2.20 对于我们从此以后这样表示共同价值命题 2.21 对于被表示为h是一个在上的度量（hausdorff度量）。我们简要地得出证明。h是对称于其参数和当且仅当a=b为了验证三角不等式成立，我们令，让然后因此然后这意味着同样的以下推论，这是一个直接结果的定义，将在以后使用。命题 2.22 令给定的，存在，下面将要介绍hausdorff双闭集合之间距离的计算。例2.23 令然后所以例 2.24然后有一个自然映射关联点m和给定的元素这种映射，作为

18、一个容易验证，是一个等距i.e.,我们下一步建立的是一个完整的度量空间，每当是完备的度量空间（参见 25 ，包含许多非常好的练习，关于hausdorff度量和度量空间的构造层次上述方式。）令成为一个序列集合，我们可以叫序列为快速序列，假设我们有下列引理，证明如下hausdorff度量。引理2.25 令 完备度量空间与序列集合如，假如j是给定的正整数并且，则存在看到上面的过程如下：让和通过向后引导定理 2.26 如果是一个完整的度量空间，那么也是一个度量空间。证明。令是一个柯西序列，通过一个序列，我们可以假设让是一个快速收敛序列，我们断言的闭合是h的元素和服从hausdorff度量。建立h中的元素a，它足以说明a是是有界集合。于是令和，以及是一