最新高中数学-人教A版高中数学选修1-1课时提升作业二十三3.3.2函数的极值与导数精讲优练课型Word版含答案

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业 二十三函数的极值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·福州高二检测)函数f(x)=x+1x的极值情况是()a.当x=1时,极小值为2,但无极大值b.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值c.当x=-1时,极小值为-2,当x=1时,极大值为2d.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2【解析】选d.令f(x)=1-1x2=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,0)和(0,

2、1)上单调递减,所以当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()a.-1<a<2b.-3<a<6c.a<-1或a>2d.a<-3或a>6【解析】选d.f(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.3.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极

3、值,则该函数的一个递增区间是()a.(2,3)b.(3,+)c.(2,+)d.(-,3)【解析】选b.f(x)=6x2+2ax+36,因为f(x)在x=2处有极值,所以f(2)=0,解得a=-15.令f(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+).【补偿训练】设a为实数,求函数f(x)=ex-2x+2a,xr的单调区间与极值.【解析】因为f(x)=ex-2,令f(x)=0,解得x=ln2,当x<ln2时,f(x)<0,函数单调递减;当x>ln2时,f(x)>0,函数单调递增;故函数的减区间为(-,ln2),增区间为(ln2,+

4、),当x=ln2时函数取极小值,极小值f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.4.(2016·天津高二检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()a.0b.1c.2d.3【解析】选b.因为f(x)=2xln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()a.2b.3c.6d.9【解题指南】利用函数在x=1处有极

5、值得到a,b的关系式,再利用基本不等式求最大值.【解析】选d.f(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则aba+b22=9(当且仅当a=b=3时,等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·西安高二检测)已知函数f(x)=13x3+ax2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值为-712,则f(2)=.【解析】f(x)=x2+2ax+a.由题意知f(-1)=0,f(-1)=-712,即1-2a+a=0,-13+a-a+b=-712,解得a=1,b=-14.所

6、以f(x)=13x3+x2+x-14.所以f(2)=10112.答案:101127.(2016·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=.【解题指南】求出fx,解出方程fx=0的根,再根据不等式fx>0,fx<0的解集得出函数的极值点.【解析】fx=3x2-12=3x-2x+2,令fx=0,得x=-2或x=2,易知fx在-2,2上单调递减,在2,+上单调递增,故fx的极小值为f2,所以a=2. 答案:28.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=13x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是.【解析】f(x)=x2+2a

7、x+1,因为函数f(x)有两个极值点,所以方程f(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根,所以=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.答案:a<-1或a>1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·烟台高二检测)设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数.(1)当a=43时,求f(x)的极值点.(2)若f(x)为r上的单调函数,求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得f(x)=ex1+ax2-2ax(1+ax2)2.(1)当a=43时,若f(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=32,x2=12.当x变化时,f(x)和f(x)的变

8、化情况如表:x-,121212,323232,+f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以x=32是极小值点,x=12是极大值点.(2)若f(x)为r上的单调函数,则f(x)在r上不变号,结合f(x)与条件a>0,知ax2-2ax+10在r上恒成立,由此=4a2-4a=4a(a-1)0,又a>0,故0<a1.10.a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根?【解析】令f(x)=x3-3x2,y=a.f(x)的定义域为r.方程x3-3x2-a=0的根的个数即x3-3x2=a根的个数,f(x)=x3-3x2与y=a交点个数.由f

9、(x)=3x2-6x=0.得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f(x)>0;当0<x<2时,f(x)<0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4,如图所示,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.一、选择题(每小题5分,共10分)1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是()a.1<a<2b.1<a<4c.2<a<4d.a>

10、4或a<1【解析】选b.y=3x2-3a,当a0时,f(x)0,函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y=3x2-3a=0x=±a,不难分析当1<a<2即1<a<4时,函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值.2.(2016·宁波高二检测)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()a.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值b.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值c.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值d.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解析】选

11、c.当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),则f(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx-1,所以f(1)=e-10,所以f(1)不是极值.当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,则f(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=ex(x2-1)-2(x-1)=(x-1),所以f(1)=0,且当x>1时,f(x)>0;在x=1附近的左侧,f(x)<0,所以f(1)是极小值.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有三个不同的交点,则a的取值范围是.【解析】令f(x)=3x2

12、-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象得当-2<a<2时恰有三个不同的交点.答案:(-2,2)【补偿训练】已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=()a.-2或2b.-9或3c.-1或1d.-3或1【解析】选a.若函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为y=3x2-3,令y=3x2-3=0,解得x=±1,可知极大值为f(-1)=2+c,极小值为f(1)=c-2.由f(-1)=2+c=0,解得c=-2,由f(1)=

13、c-2=0,解得c=2,所以c=-2或c=2.4.(2015·陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.【解题指南】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.【解析】依题意得y=ex+xex,令y=0,可得x=-1,所以y=-1e.因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=-1e.答案:y=-1e三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设函数f(x)=-13x3+x2+(m2-1)x(xr),其中m>0.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(

14、1)当m=1时,f(x)=-13x3+x2,f(x)=-x2+2x,故f(1)=1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)=-x2+2x+m2-1.令f(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.因为m>0,所以1+m>1-m.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,1-m)1-m(1-m,1+m)1+m(1+m,+)f(x)-0+0-f(x)f(1-m)f(1+m)所以函数f(x)在(-,1-m)和(1+m,+)上是减函数,在(1-m,1+m)上是增函数.函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=-23m3+m

15、2-13.函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=23m3+m2-13.6.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,ar.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点12,再分情况讨论.【解析】(1)g(x)=f(x)=lnx-2ax+2a,所以g(x)=1x-2a=1-2axx.当a0,x0,+时,g(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x0,12a时,g(x)>0,函数g(x)单调递增,x12a,+时,g(x)<0,函数g(x)单调递减.综上:当a0,函数g(x)单调递增区间为(0,+).当a>0,函数g(x)单调递增区间为0,12a,函数g(x)单调递减区间为12a,+.(2)由(1)知f(1)=0.当a0,f(x)单调递增,所以x0,1时,f(x)<0,f(x)单调递减,x1,+时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0<a<12,12a>1时,由(1)知f(x)在0,12a内单调递增,所以x0,1时,f(x)<0,f(x)单调递