design and analysis of experiments

1、图15-5.例15-5的残差与纤维直径x的关系图图15-4. 例15-5的残差与拟合值的关系图拟合值与残差的关系图见图15.4,协变量与残差的关系图见图15.5，机械与残差的关系见图15-6。残差的正态概率图见15-7。这些图形没有显示出于假设有什么主要的违背之处，所以我们可以得出这样一个结论：协方差模型（15-15式）对抗断强度的数据是适合的。 注意到这样一个现象会很有趣，那就是如果分析的协方差方程并没有执行那么会发生什么呢。也就是说，略去协变量，将抗断强度的数据作为单一影响因子来分析会发生什么状况。抗断强度的数据方差分析见表15-14。在这个分析的基础上，我们可以得出这么一个结论，在产生的

2、纤维强度上，机械有着巨大的差异。这与由协方差方程得出的结论截然不同。如果我们怀疑机械在影响纤维强度上有巨大的不同，那么我们将试图使3台机械输出的力量相等。但是，在这一问题中，在消除了纤维直径的线性效应后，几台机械所产生的纤维强度没有什么差异。减少机械内部的纤维直径变化将有帮助，因为这会减少纤维的强度变化性。图15-6.残差与机械的关系图图15-7.例15-5的残差正态分布图表15-14.抗断强度数据作为单因子实验的不正确分析方差来源平方和自由度均方P值机器140.40270.204.090.0442误差206.001217.17总和346.401415-3.2 计算机解决方案现在有几个可用的计

3、算机软件来进行协方差分析。在例15-4中由Minitab General Linear Models 输出的数据展示在表15-15中。这个输出的结果与前面给出的很相似。似在题."Analysis of Variance" 的部分中， "Seq SS" 对应于模型总平方和的"序贯分解，即表15-15.例15-5的Minitab输出（协方差分析）然而“Adj SS”对应于每个因子的“额外”平方和，即 注意到用于检验没有机器效应的校正平方和，用于检验假设=0的校正平方和。由于取整，统计在表15-15中的数据与手工计算的有稍微的不同。程序也根据式15-

4、31（在样本输出中Mintab指的是最小均值）计算调整处理的均值和标准误差。程序也会用第3章讨论的配对多重比较法来比较所有的处理均值。15-3.3由一般线性回归显著性检验来发展在协方差模型中，利用一般回归显著性检验法，可以正式发展ANCOVA程序来测试。 （15-35）考虑通过最小二乘法估计模型15-15式中的参数。最小二乘函数为 （15-36）通过我们可以得到正规方程 (15-37a) i=1,2,.,a (15-37b) (15-37c) 把方程15-37b中的a个方程相加，因为我们得到15-37a，因此，给方程15-37添加一个线性独立方程式必须的来得到解。一个合逻辑的边界条件是 。 使

5、用这个条件，从15-37a式得 (15-38a)由15-37b式得 (15-38b)在带入后15-37c式可以被改写为 但是我们可以看到和因此15-37c的解是这就是在之前15-3.1中给出的15-26式。我们可以将总平方和的减少量表示为适合全模型（15-15式）的因为正规方程的秩有a+1个自由度，所以此平方和有a+1个自由度。这个模型的误差平方和是 (15-39)有个自由度。此量 由前面的15-27式所得。 现在考虑限制模型的零假设，即 。这个简化模型是 (15-40)这是一个简单的线性模型，而且这个模型的最小二次正规方程组是 (15-41a) (15-41b)这些方程组的解是和 ，而且拟合

6、此简化模型而在总平方和中的减少量是 (15-42)该平方和有两个自由度。 我们可以发现可以用于检验 的合适的平方和是 (15-43)使用了。注意到具有 a+1-2=a-1 个自由度并且等于由在15-3.1式中的给出的平方和。因此 的测试统计量是 (15-44)这就是我们之前给出的15-30式。因此通过使用一般回归显著性检验法，我们已经证明了在15-3.1节中的协方差分析的启发性发展。15-3.4 含协变量的因子实验协方差分析可以用于更复杂的处理结构，例如因子设计。假如对每种处理组合具有足够的数据，几乎任何复杂的处理都可以通过协方差方法来分析。我们接下来将说明怎么将协方差分析用于工业试验中最广泛

7、的因子设计中，即因子。 假定在所有处理组合中协变量对响应变量的影响是相同的，类似于在15 - 3.1小节给定的程序，一个协方差分析表可以被执行。唯一的差别就是对平方和的处理。对于n次重复的因子设计，处理平方和是。它是因子A,B,和AB相互作用的平方和的和。调整的处理平方和可以分解为单个作用部件，也就是调整的主效应平方和和和调整的交互作用平方和。当拓宽处理的设计结构时，重复的数量是关键。考虑因子的布置，至少需要两次重复来评估所有的处理组合（协变量的交互处理），而每个处理组合都要用一个单独的协变量。这相当于对每个处理单元组合设计拟合一个简单回归模型。每个单元有两个观测组，一个自由度用于估计截距（处

8、理作用），而另一个被用于估计斜率（协变量的影响）。对于这种饱和的模型，没有自由度可用于估计误差。因此，假设在最一般的情况下，一个完全的协方差分析至少需要3次重复。随着独立设计的单元（处理组合）和协变量的数量增加，这种问题变得更加显著。 若重复的数量有限，可以制定不同的假设来进行一些有用的分析。可制定的最简单的假设（通常也是最糟糕的）就是协变量不产生作用。如果错误的未考虑协变量，整个分析和随后的结论可能会有显著误差。另一个选择就是假设协变量的交互作用在这里没有被处理。 即使这种假设是不正确的,协变量在所有处理上的平均影响仍将增加精度的估计和测试的处理效果。这个假设的唯一缺点就是，如果几个处理水平

9、和协变量有交互作用，有的项可能会消去协变量的其他项，而如果估计是不受其他交互作用的那么可能会没有什么意义。第3种选择就是假设一些因素（例如一些二因子或者更高的交互作用）是无关紧要的。这允许一些自由度被用作估计误差。但是，这种处理方法应该被小小地进行而且后续的模型应被评估地彻底，这是因为除非分配给它足够的自由度否则误差的估计将会相对不精确。若有两次重复，那么每一次的假设都会有一些自由度来估计误差并允许执行有用的假设测试。实施什么样的假设取决于实验情况和实验者愿意承担多大的风险。我们应注意到在模型建立战略的影响上，如果一个处理因素被消除，那么将由原来的产生的两个不是真正重复的“重复”。这些“隐形重

10、复”将使自由度可以用来参数评估，但是不应该被重复的用作估算纯误差，因为原设计的执行可能不会以这种方式随机进行。 为了说明其中的某些观点，考虑表15-16中的重复两次的因子设计和协变量。若没有不协变量来分析响应变量y，那么相应的模型结果为： 总体模型在和的水平上有意义。残留分析表示除了观察报告y = 103.01是不寻常外没有问题,。表15-16.有两次重复的设计的响应与协变量数据表15-17.对表15-16中的实验进行MInitab协方差分析，假设有公共斜率如果选择第2种假设，公共斜率没有协变量交互作用的处理，则完整的效应模型和协变量效应可以被估计。Minitab的输出结果（来自General

11、 Linear Models程序）见表15-17.注意通过考虑到协变量，被大量减少。按顺序逐个移除无意义的交互和主效应C后，最后的结果分析显示在表15-18中。次简化模型提供了比表15-17中带有协变量的全模型更小的。表15-18.对表15-16中实验的简化模型进行Minitab协方差分析表15-19.表15-16中实验的SAS PROC GLM 输出（协方差分析）最后，我们可以考虑第3种做法，假设某些交互项可以忽略。我们考虑允许介于处理和协变交互处理之间的斜率不同的全模型。假设三因素交互作用（ABC和ABCx）不重要，并且使用它们相关的自由度在可以拟合的最一般的效应模型中来估计误差。这通常是

12、一个实际的假设。三因子或者更高阶的交互作用通常在实验设置中都是被忽略的。Minitab的当前版本不能对具有交互处理的协变量进行建模，因此我们使用SAS PROC GLM。第三类的平方和是我们所需的调和平方和。表15-19给出了此模型的SAS结果。 对于一个近似饱和的模型，误差的评估会相当的不精确。即使只有很少的项在水平具有独立意义，总体的感觉是这个模型比前两个更好（基于和误差的均方值）。因为对对模型的处理效应方面更感兴趣，我们依次从模型的协变量部分移除项来增加自由度用于估计误差。如果我们依次移除，则减小到0.7366并且有几项会变得没有意义。依次移除，和最后的模型显示在表15-20上。 这个例

13、子强调了，为了提高在模型有关联项的假设检验的精度，具有可用自由度来估计实验误差的需要。这个程序需要依次进行来避免因为不好的误差估计而移除了重要项。 回顾从这3个方法中得到的结果，我们注意到每种方法都成功地提高了此例中模型的拟合。如果有一个强有力的理由来使我们相信协变量和因子没有交互作用，那么最好在分析开始时给出一个假设。表15-20.表15-16中实验的SAS PROC GLM 输出（简化模型）这个选择也可以由软件制定。尽管实验设计软件包可能只让与处理没有交互作用的协变量模型化，作者可能会合理地识别影响过程的主要因素，即使这里仍有一些与处理交互作用的协变量。我们也注意到用于检测模型妥善性的所有

14、常用方法仍然适用，并强烈推荐其为ANCOVA模型的组建程序。15-4.重复测量 在社会科学、行为科学和一些方面的工程和物理科学的实验工作中，实验单位经常是人。因为经验、训练或背景的不同，在一些实验情景中，不同的人对相同处理作出的不同反应可能会相差巨大。除非是被控制了，否则人与人之间的这种可变性就会变成实验误差的一部分，在某些情况下，它会显著提高误差的均方值，使检测处理间的真正差异更加困难。 通过制定适用于个人（对象）处理方案的设计，控制人与人之间的可变性是有可能的。这种设计叫做重复测量设计。在这一节中我们给出一个关于单因子重复测量实验的简要介绍。表15-21.一个单因子重复设计的数据处理对象处

15、理总和12.n1.2.a.a.对象总和. 假设一个实验有种处理，每种处理针对个对象只使用一次。这个数据显示在表15-21里。注意到观测值表示对象j对处理i的响应，只有n位对象被使用。用于此设计的模型是： (15-45) 其中是第i中处理效应，是与第j个对象有关的参数。我们假设处理时固定的（所以），所用的对象是一个来自较大总的对象的随机样本。于是，这些对象总体上表示了随机效应，因此我们假设的均值是0，的方差是。因为项对同一个对象的所有a次测量时公共的，所以与之间的协变量一般来说不是0。通常假设与之间的协变量对所有的处理和对象都是常数。 考虑总平方和的方差分解的一种分析，例如 (15-46)我们可

16、以看到15-46式右边的第一项作为对象之间不同结果的平方和，第二项作为对象内部的不同的平方和。就是， 平方和 和 是统计独立的，自由度为 对象内部的不同取决于处理效益和不可控变化性（噪声和误差）的不同。因此，我们可以分解对象内部不同的平方和如下： (15-47)15-47式右边的第一项测量处理均值之间差异对的贡献，第二项是误差的残余变化。的两个部分是独立的。于是，表15-22.单因子重复度量设计的方差分析其自由度分别为。为了检测无处理效应的假设，就是，At least one 我们将使用比率 (15-48)如果这个模型误差是正态分布的，那么在零假设下统计量 服从 分布。如果则零假设将被否定。

17、方程程序分析法呗概括在表15-22里，表中还给出了方便计算的平方和公式。将对象看作为区组，读者应该认识到，重复测量的单因子设计的方差分析等价于随机完全区组设计的分析。 15-15 思考题15-1.再考虑5-22题中的实验。使用Box-Cox程序来决定，在对实验数据的分析中，响应的变换是否合适（或者有效）。15-2.在例6-3中，我们选择了对钻头的推进率响应作对数变换。使用Box-Cox程序来证明这是一种合适的数据变换。15-3.再考虑在例8-23中的熔化过程实验，当使用部分因子设计来研究烘烤后吸附在碳阳极上的包装材料的重量。对设计的8个实验每个重复3次，每个实验组合的平均重量与重量范围都被作为

18、响应变量。这里是否有迹象表明需要对响应作变换？15-4.在8-25题中一个重复的部分因子设计用于研究半导体制造的衬底弧度。弧度的平均值和标准偏差用作反应变量。是否有迹象表明需要对各响应变量作变换？15-5.重新考虑8-26题中的光刻胶实验。把每个试验组合的光刻胶厚的方差作为响应变量。是否有迹象表明需要对各响应变量作变换？15-6.在8-30题中描述的烤架缺陷试验中，一个平方根变换的变形被用于分析数据。用Box-Cox方法确定这是否是一个合适的变换。15-7.在12-11题的中心复合设计中，得到了氧化物厚度的均值和方差周这样两个响应。使用Box-Cox方法来研究变换对这两种响应的潜在有用性。该问

19、题c部分提出的对数变换是否合适？15-8.在12-12题因子设计中，响应之一就是标准偏差。使用Box-Cox方法来研究这个变换的有用性。如果使用方差作响应量，结果是否会改变？15-9.12-9题建议使用ln（）作为响应量参考b部分。Box-Cox方法表明此变换是否合适？15-10.Myers, Montgomery, and vining (2002)描述一个研究精子存活的实验。设计因子是柠檬酸钠的用量、丙三醇的用量以及平衡时间，每个因子都有两个水平。响应变量是在各组条件安排50个精子而存活下来的精子数量。数据见下表：柠檬酸钠丙三醇平衡时间存活数量-34+-20-+-8+-21-+30+-+2

20、0-+10+25用logistic回归法分析该实验数据。15-11.一个软饮料经销商研究交货方式的效果。开发了3种不同的手推车，在公司的方法工程实验室进行了一个实验。感兴趣的变量是运输时间（y）；但是运输时间与运输物体积（x）严重相关。每种手推车使用4次，结果如下。分析数据得到合适的结论。取手推车类型123yxyxyx27242526403844403532222633354642535041402625182015-12.对15-11题中的数据，计算调整处理的均值和标准误差。15-13.下面是单因子协方差分析的平方和以及叉积和。完成分析并得出适当的结论。取15-14.在15-5例中，求取调整

21、处理均值的标准误差。15-15.测试一个工业胶水的4种剂型。胶水的粘合部件时的拉力强度和厚度有关。强度y的5个观测值以磅为单位，厚度x以0.01英尺为单位。数据在下表。分析数据得出合适的结论。15-16.用表15-15中的数据计算调整处理均值和标准误差。15-17.一个工程师研究机械操作时的切割速率对切割率的效应。但是，金属的切割效率也和试样的硬度有关。每种切割速度取5个观测值。被切割的金属数量y和试样的硬度x列在15-20表中。用协方差方法分析数据。取。15-18.证明：在有单个协变量的单因子协方差分析中，第i个调整处理均值的置信区间是使用这个公式，计算1-5例中机械1的调整处理均值为95%

22、的置信区间。15-19.证明：在有单个协变量的单因子协方差分析中，任意两个调整处理均值的标准误差是15-20.讨论如何将协方差分析中的操作特性曲线用于协方差分析。参考文献Abraham,B,H.Chipman,and K.Vijavan.(1999). “Some Risks in the Construction and Analysis of Supersaturated Design .” Technometrics,Vol .41，pp.135-141.Addelman,S.(1961). “Irregular Fraction of the Factorial Experiments

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