线性代数X23new

1、线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组方程组(1)与向量方程（与向量方程（2）同解）同解2.3 2.3 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnna x a xa xa x a xa xa x a xa x(1)1122 0nnxxx (2)2 21 11 12 22 2 , , , , 0 0, , 0 0. . m mm mm ma ax xx xx xa a x x 1 1向向量量组组 线线性性相相关关就就是是齐齐次次线线性性方方程程组组即即有有非非零零解解 定理定理2.3.12.3.1 齐次线性方程组齐次线性方

2、程组ax=0=0有非零解有非零解的充分必要条件是秩（的充分必要条件是秩（a）小于）小于a的列数。的列数。 121212121 1 , ,0 010102020xxxxa xka xka xa xka xka x设是齐次线性方程组设是齐次线性方程组的任意两个解向量， 是任意常数，则的任意两个解向量， 是任意常数，则（ ）是的解；（ ）是的解；（ ）是的解。（ ）是的解。性质性质2.3.1 2.3.1 n元线性方程组的一个解可以看成一个n元列向量，称为解向量1212 , , , ,0 0t ta xa x 称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组1 12 2( (1 1) ) , , , ,0 0;

3、;t ta a x x 是是的的一一组组线线性性无无关关的的解解1 12 2 ( (2 2) ) 0 0, , , ,. .t ta a x x 的的任任一一解解都都可可由由线线性性表表出出定义定义2.3.12.3.1的的基础解系基础解系，如果，如果 基基础础解解系系就就是是的的所所有有解解向向量量的的极极大大无无关关组组。注注意意：1 12 2, , , , 0 0t ta a x x基础解系包含的解向量基础解系包含的解向量个数唯一确定。个数唯一确定。1 12 2 , , , ,0 0, ,0 0t ta a x xa a x x 如如果果为为齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一组组基基础础

4、解解系系 那那么么的的通通解解可可表表示示为为11221122t tt txkkkxkkk1212, ,., ,.t tk kkk kk其中是任意常数其中是任意常数线性方程组基础解系的求法111,111,1,1,1010010100000000nrnrrr nrrr nrbbbbbbbba a 设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为aaa1 1111,111,2 21,1,101001010 000000000nrnrrr nrrr nrn nx xbbbbx xbbbbx x 1111

5、1,11111,11,11,rnrnrnrnrrrr nrnrrrr nrnxb xbxxb xbxxb xbxxb xbx 0 0a xa x现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn 1 12 2r rr rn nx xx xx x nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分别代入分别代入0 00 0, ,. .1 1 0 01 1, ,0 0 1 10 0, ,0 0 1 11 11 11 11 1, ,0 00 0r rb bb bx x 1 12 22 22 20 0, ,1 10 0r rb bb bx x 1 1, , ,0 0. .0 01

6、1n nr rr r n nr rn nr rb bb bx x 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn 依次得依次得 rxx1.bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111, ,说明说明基础解系不是唯一的基础解系不是唯一的11221122. .nrnrnrnrxk xk xkxxk xk xkx2若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 1212,nrnrxxxxxx0 ax.,21是是任任意意常常数数其其中中rnkkk (1), (1), ().().( ), ( ), r anr an方程组只有零解 故没有基础解方程组只有零解 故没有基础解系

7、此时解空间只含一个零向量系 此时解空间只含一个零向量当时当时定理定理2.3.2 2.3.2 设设a是是mn矩阵。若秩矩阵。若秩( (a)=)=rn则齐次线性方程组存在基础解系，且基础则齐次线性方程组存在基础解系，且基础解系包含解系包含n-r个解向量。个解向量。2 21221222 212221222, ( ),( ), , , , , ,., ,.nrnrnnrnnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrnrxxxxxxxk xk xk xxk xk xk xk kkk kksk xk xkxkkrsk xk xkxkkrrnrnk ka a1 11 11 11111(2) (2) 方程组必有含

8、个向量的基方程组必有含个向量的基础解系,此时 方程组的解可表示为础解系,此时 方程组的解可表示为其中为任意实数 解集合可表示为其中为任意实数 解集合可表示为当时当时nrnrk k例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解102 73 7102 73 7111111112532015 74 7 ,2532015 74 7 ,0000000077317731对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行简化矩作初等行变换，变为行简化矩阵，有阵，有a .7475,7372432431xx

9、xxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对应有对应有xx,107473,01757221 即即得得基基础础解解系系).,( ,10747301757221214321rccccxxxx 并并由由此此得得到到通通解解例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111a对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换10212102120113101131000000000000000000002,5,3,2,5,3,r

10、 annrr annr即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.1 13 34 45 52 23 34 45 52 22 23 3x xx xx xx xx xx xx xx x 代代入入1 11 11 14 43 30 01 11 13 31 10 02 22 26 62 20 02 22 26 62 2 543xxx令令0 01 ,1 ,0 0 1 10 ,0 ,0 0 0 00 .0 .1 1 所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为1 12 21 11 1, ,0 00 0x x故原方程组的通解为故原

11、方程组的通解为1 11 12 22 23 33 3. .x xk k x xk k x xk k x x.k,k,k为为任任意意常常数数其其中中3211 12 22 2, ,1 1x xx x依次得依次得2 2. .1 1 1 1, ,3 32 21 13 30 0, ,1 10 0x x3 32 21 10 0. .0 01 1x x例例2.3.32.3.3 设设a是是mn矩阵且秩矩阵且秩( (a)=)=r n，则齐次线性方程组则齐次线性方程组 的任意的任意n r 个线性无关的解向量均构成一个基础解系。个线性无关的解向量均构成一个基础解系。0 0a a x x=例例2.3.42.3.4 设设

12、 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 的一个基础解系，问下列三组向量的一个基础解系，问下列三组向量 中哪一组也是基础解系？中哪一组也是基础解系？(a) (a) (b) (b) (c) (c) 1 12 23 3, , ,x xx xx x0 0a xa x=1 12 22 23 33 31 1, , ,x xx xx xx xx xx x-1 12 22 23 3, ,x xx xx xx x+-1 12 22 23 33 31 1, , ,x xx xx xx xx xx x+齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法111,111,1,1,1010010100000000nrnrrr nrrr nrbbbbbbbba a 四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为为行简化阶梯矩阵为行简化阶梯矩阵a nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxax11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量r arr arrn 11111 11 11 1, ,