山东省2013年高考数学第二轮复习专题三三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换及解三角形理

1、专题三三角函数及解三角形第2 讲三角恒等变换及解三角形真题试做1(2012 ·重庆高考，理5) 设 tan ， tan ) 的值为 () A3 B 1 C 1 D 32(20127) 若 ·山东高考，理4 ，2 是方程 x2 3x 2 0 的两根，则tan( 37， sin 2 8，则 sin () 3473A5B 5C4D43(2012 ·天津高考，理6) 在 ABC中，内角 A，B， C所对的边分别是a， b， c. 已知 8b 5c，C 2B，则 cosC() A 7B 7C ±7D 24252525254(2012 ·湖北高考，理11)

2、 设的内角， ，C所对的边分别为，. 若 (abABCA Ba bc c)( a b c) ab，则角 C _.5(2012 ·课标全国高考，理 17) 已知 a， b， c 分别为 ABC三个内角 A， B， C的对边， acos C 3asin C bc 0.(1) 求 A；(2) 若 a 2， ABC的面积为 3，求 b，c.考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识近几年高考题目中每年有 1 2 个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是

3、考向的主要趋势三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计算；有关的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视热点例析热点一三角恒等变换及求值【例 1】(2012 ·山东淄博一模，17) 已知函数f ( x) 2cos 2x3sinx.2(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域；1cos 2 (2)若 为第二象限角，且 f 33，求 1

4、 cos 2 sin 2的值规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键三角恒等变换的常用策略有：(1) 常值代换：特别是“ 1”的代换， 1 sin 2 cos 2 tan 45 °等(2) 项的分拆与角的配凑： 二倍角只是个相对概念，如3 是6 的二倍角， 是2的二倍角等； 2 2 2 ， ( ) 等；熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin 2 sin 2 cos 2 ± 2sin cos (sin ± cos )2，cos sin 2等2sin- 1 -(3)

5、降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂22b(4) 角的合成及三角函数名的统一：asin bcos a b sin( ) tan a .变式训练 1 (2012 ·山东济宁模拟，17) 已知函数f(x) 3sin cos ( R， xx x 0) 的最小正周期为6 .3(1) 求 f 2 的值；106(2) 设 ， 2 ，0 ， f3 2 13， f (3 2) 5，求 cos( ) 的值热点二三角函数、三角形与向量等知识的交会【例 2】(2012 ·山东烟台适用性测试一，理17) 在锐角三角形ABC中， a， b，c 分别是角A， B，C的对边， m (2 b

6、c， cos C) ， n ( a， cos A) ，且 m n.(1) 求角 A 的大小；(2) 求函数 y 2sin 2B cos 2B 的值域3规律方法以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正、余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确( 化角或化边 ) (1) 利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值(2) 求角的大小一定要有两个条件：是角的范围；是角的某一三角函数值用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用(3) 三角形的内角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意

7、两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形 ? 三内角都是锐角? 三内角的余弦值均为正值? 任意两角的和都是钝角? 任意两边的平方和大于第三边的平方变式训练2(2012 ·湖北武汉4 月调研， 18) 在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，11c，已知 B60°， cos( BC) 14.(1) 求 cos C的值；(2) 若 a 5，求 ABC的面积热点三 正、余弦定理的实际应用【例 3】某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心 O点后转向东北方向 OB. 现要修建一条铁路 L， L 在 OA上设一站 A，在 OB上设一站 B，铁路在 AB部分为直线段现要求市

8、中心 O与 AB的距离为 10 km，问把 A，B 分别设在公路上离市中心 O多远处才能使 A， B 之间的距离最短？并求最短距离( 结果保留根号)规律方法(1) 三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度(2) 在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用(3) 在解决与三角形有关的实际问题时， 首先要明确题意， 正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求(4) 在画图

9、和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错(5) 有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、 等腰三角形、 锐角三角形等变式训练3如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M的方位角为北偏东，前进 mkm 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 ，已知该岛周围n km 范围内 ( 包括边界 ) 有- 2 -暗礁，现该船继续东行当 与 满足条件 _时，该船没有触礁危险思想渗透化归转化思想解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1) 变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变

10、换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2) 变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用；(3) 结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等【典型例题】 (2012 ·福建高考，文20) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin 213° cos217° sin 13 °cos 17 °； sin 215° cos215° sin 15 °cos 15 °；sin 218° cos212° sin 18 °

11、;cos 12 °； sin 2( 18°) cos 248° sin( 18°)cos 48 °；sin 2( 25°) cos 255° sin( 25°)cos 55 °.(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2) 根据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解法一： (1) 选择式，计算如下：sin2211315° cos15° sin 15 °cos 15 ° 1 sin 30 ° 1 .244(2) 三

12、角恒等式为 sin 2 cos2(30 ° ) sin cos(30 ° ) 3.4证明如下：sin 2 cos2(30 ° ) sincos(30 ° )sin2 (cos 30° cos sin 30 ° sin ) 2 sin (cos 30 °cos sin 30°sin )sin232312312323 cos sin cos sin sin cos sin sin 442422423cos 4.解法二： (1)同解法一(2) 三角恒等式为 sin 2 cos2(30 ° ) sin cos(3

13、0 ° ) 3.4证明如下：sin 2 cos2(30 ° ) sincos(30 ° )1 cos 2 1 cos( 60° 2 ) (cos 30 °cos sin 30°sin )22 sin111131222cos 2 22(cos 60 °cos 2 sin 60 °sin 2 ) 2 sin cos 2sin 1111331 22cos 2 2 4cos 2 4 sin 2 4 sin 2 4(1 cos 2 )- 3 -111314cos 2 44cos 2 4.1已知63cos x sin x ，则

14、 sin x () 5333A5B 566C5D52在 ABC中，如果0 tanAtanB 1，那么 ABC是 () A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定3(2012 ·山东烟台适用性测试一，5) 已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x2y 20 平行，则 tan 2 的值为 () 44A5B 332C4D 34(2012 ·江西南昌二模，5) 已知cosx 3cosx cos x 63 ，则3 的值是() 2323A 3B ±3C 1D±15(2012 ·山东淄博一模，10) 在 ABC中，已知 bcos C ccosB 3acos

15、B，其中 a， b，c 分别为角 A， B， C的对边，则 cos B 的值为 () 11A3B 322D22C336( 原创题 ) 已知 sin5 1x _.x，则 sin 2427(2012 ·湖南长沙模拟，18) 已知函数 f ( x) 3sin2x 23sinxcosx 5cos2x.(1) 若 f ( ) 5，求 tan 的值；(2) 设 ABC三内角 A， B，C 所对的边分别为a， b，c，且cosBb，求 f ( x) 在 (0 ，cosC2a cB 上的值域8(2012 ·广东广州二模， 16) 已知函数() sin( 0， 0) 在某一个周fx x 3A

16、A期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为5， 2，11.12， 212(1) 求 A 和 的值；4(2) 已知 0， 2 ，且 sin 5，求 f ( ) 的值参考答案命题调研·明晰考向真题试做1A解析： 因为 tan ， tan 是方程 x2 3x2 0 的两根，- 4 -tan tan所以 tan tan 3， tan ·tan 2，而 tan( ) 1 tan ·tan3 3，故选 A.1 22D 解析： 由 ，得 2 ， .422371又 sin 2 8 ，故 cos 2 8.1 cos 2 3故 sin 24.3A解析： 在中，由正弦定理：bc，ABCs

17、inBsinCsinCc sin B b，sin 2 B 84 sin B 5， cos B 5. cos C cos 2 B 2cos2B 1 7 . 2522224 3解析： 由 ( a b c)(a b c) ab，整理可得， a b c ab， cosCa2 b2 c2 ab122 2ab2，C 3 .ab5解： (1) 由 acosC 3asinC b c 0 及正弦定理得sincos 3sinsinsin sin 0.ACACBC因为 B A C，所以3sinAsinCcos Asin C sin C 0.由于 sin10，所以 sin A .C62又 0 A ，故 A 3 .(2

18、) ABC的面积 S 21bcsinA3，故 bc 4.而 a2b2 c2 2bccos A，故 b2 c2 8. 解得 b c2.精要例析·聚焦热点热点例析【例 1】解： (1) f ( x) 1 cos x3sinx 1 2cos x 3 ，函数 f ( x) 的最小正周期为2.又 1cosx 3 1，故函数 f ( x) 的值域为 1,3 1(2) f 3 3， 1 2cos 1，即 cos 1.33- 5 -cos 2 22 cos sin 1 cos 2 sin 22cos 2 2sin cos (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin ) cos

19、 sin ， 2cos 1又 为第二象限角，且cos 3，22sin .3122cos sin 31 223原式2cos 2.2 3【变式训练1】解： (1)f ( x) 3sinx cos x312 x2cos x2 sin 2sin x 6 .函数 f ( x) 的最小正周期为6，21 T 6 ，即 3.1 f ( x) 2sin 3x 6 .31 3f 2 2sin3× 2 62sin3 3.(2) f3 2 2sin 1 3 326 2sin 10， 135sin 13.f (3 2) 2sin13(3 2) 66 2sin 2 2cos 5，3 cos 5. ， 2 ， 0

20、，212cos 1 sin 13，24sin 1 cos 5.1235416cos( ) cos cos sin sin 13× 5 13×5 65.- 6 -【例 2】解： (1) 由 m n，得 (2 bc)cosA acos C0， (2sin Bsin C)cos A sin Acos C0，2sinBcos A sinCcos A sinAcos C sin( A C) sin( B) sin B，在锐角三角形ABC中， sinB 0，1cosA2，故 A3 .(2) 在锐角三角形ABC中， A 3 ，故6 B2 .y2sin2 2B 13B cos31 cos

21、2B2cos 2 B2 sin 2 B 1 3sin 2 B 1cos 2 B22 1 sin 2B 6 . B 2B562，66 6 . 1 sin 2B 1， 3 y2.2622 23函数 y 2sinB cos3B 的值域为， 2.2【变式训练2】解： (1)在 ABC中，由 cos( B C) 11，得 14211 253sin( B C) 1 cos ( B C) 1 14 14，cos C cos(B C) B cos( B C)cosB sin(B C)sin B1115331 14× 2 14 × 2 7.(2) 由 (1)，得 sin1 cos212431

22、，CC77sin sin(53).AB C14ac在 ABC中，由正弦定理sinA sin C，得5 c ， c 8.5343147故 ABC的面积为 S1acsinB1×5×8×310 3.222【例 3】解： 在 AOB中，设 OA a， OBb.因为 OA为正西方向， OB为东北方向，所以 AOB135°.又 O到 AB的距离为10，所以S 2absin 135 °2| AB| ·10，得 | AB| 20 ab. ABO112- 7 -设 OAB ，则 OBA45° .1010因为 a sin ， bsin( 45&

23、#176; ) ，1010所以 ab sin · sin(45° )100sin ·sin ( 45° )10022sin 2cos 2 sin100224 sin 2 4 (1 cos 2 )400400.2sin(2 45° ) 22 2当且仅当 22°30时，“”成立2400所以| AB| 20×2 220( 21)当且仅当 22°30时，“”成立10所以，当 ab sin 22 °30 10 2(2 2) 时，A，B 之间的距离最短，且最短距离为20(2 1)km.即当 A，B 分别在 OA， O

24、B上离市中心 O102(2 2)km 处时，能使A，B 之间的距离最短，最短距离为20(21)km.【变式训练3】 mcos cos nsin( )解析： MAB90° ， MBC90° MAB AMB90° AMB，所以 AMB .由题可知，在 ABM中，根据正弦定理得BMm，解得BMsin( 90° )sin( )mcos sin( ) . 要使船没有触礁危险， 需要 BMsin(90 ° ) 满足 mcos cos nsin( ) 时船没有触礁危险创新模拟·预测演练mcossin( cos ) n，所以 与 3cos x sin x 2311B 解析： 由2 cos x 2sin x2 sin 3 cos x cos 3 sinx 2sin x ， 33可得 sin3 x 5.2C解析： 由题意 0A ，0 B ， tanAtanB 0，则 A，B 两角为锐角，tanA tanB又 tan( A B) 1 tan Atan B 0，则 A B 为锐角，则角 C为钝角，故选 C. 3B 解析： 已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x 2y 2 0 平行，12tan14则 tan 2， tan 2 1