最新高中数学高中数学新人教版选修22课时作业第一章导数及其应用1.5.3

1、1.5.3定积分的概念明目标、知重点1了解定积分的概念，会用定义求定积分2理解定积分的几何意义3掌握定积分的基本性质 定积分概念一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<x2<<xi1<xi<<xnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被

2、积式几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b).探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限思考2怎样正确认识定积分f(x)dx?答(1)定积分f(x)dx是一

3、个数值(极限值)它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)定积分就是和的极限(i)·x，而f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”(3)函数f(x)在区间a，b上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例1利用定积分的定义，计算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2

4、，n)，则x3dxsnf()·x ()3·i3·n2(n1)2(1)2.(3)取极限x3dxsn (1)2.反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤(2)从过程来看，当f(x)0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积跟踪训练1用定义计算(1x)dx.解(1)分割：将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和：在上取点i1(i1,2，n)，于是f(i)112，从而得f(i)x(2)·

5、3;n012(n1)2·2.(3)取极限：s 2.因此(1x)dx.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a<b)，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积思考2 当f(x)在区间a，b上连续且恒有f(x)0时，f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答如果在区间a，b上，函数f(x)0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图)由于>0，f(i)0，故f(i)0.从而定积分f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯

6、形面积的相反值，即f(x)dxs.当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)(如图)，即f(x)dxs1s2s3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为s··32.由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方

7、的面积，(3x1)dx×(3)×(3×31)(1)×216.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如图(1)，xdxa1a10.(2)如图(2)，cos xdxa1a2a30.(3)如图(3)，a1a2，|x|dx2a12×1.(a1，a2，a3分别表示图中相应各处面积) 探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广

8、？答定积分的性质的推广f1(x)±f2(x)±±fn(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx±±fn(x)dx；f(x)dxc1af(x)dxc2c1f(x)dxbcnf(x)dx(其中nn*)思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间a，a上的定积分若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续不断，则f(x)dx0.若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续不断，则g(x)dx2g(x)dx.例3计算(x3)dx的值解如图，由定积分的几何意义得dx，x3dx0，由定积分性质得(x3)dxdxx3dx.反思与感悟根据

9、定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算跟踪训练3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3×()12；(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6×()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx3×2×7.1下列结论中成立的个数是()x3dx·；x3dx·；x3dx·.a0 b1

10、c2 d3答案c解析成立2定积分f(x)dx的大小()a与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关b与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关c与f(x)以及i的取法有关，与区间a，b无关d与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关答案a3根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：xdx_x2dx；dx_2dx.答案><4若x2dx9，则常数t的值为_答案3解析令f(x)x2.(1)分割将区间0，tn等分，则x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，sn()2·2(1222n2)·(1)(2)(3)取极限s ×29, t327，t3.呈重点

11、、现规律1定积分f(x)dx是一个和式f(i)的极限，是一个常数2可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分3定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、基础过关1下列命题不正确的是()a若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx0b若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx2f(x)dxc若f(x)在a，b上连续且恒正，则f(x)dx>0d若f(x) 在a，b上连续且f(x)dx>0，则f(x)在a，b上恒正 答案d解析对于a，f(x)f(x)，f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx0，同理b正确；由定积分的几

12、何意义知，当f(x)>0时，f(x)dx>0即c正确；但f(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选d.2已知定积分f(x)dx8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx等于()a0 b16 c12 d8答案b解析偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx2f(x)dx16，故选b.3已知xdx2，则xdx等于()a0 b2 c1 d2答案d解析f(x)x在t，t上是奇函数，xdx0.而xdxxdxxdx，又xdx2，xdx2.故选d.4由曲线yx24，直线x0，x4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()a(x24)dxb.c|x24|dxd(x24)dx(x24)dx答案c5设a

13、xdx，bx2dx，cx3dx，则a，b，c的大小关系是()ac>a>b ba>b>ccab>c da>c>b答案b解析根据定积分的几何意义，易知x3dx<x2dx<xdx，a>b>c，故选b.6若|56x|dx2 016，则正数a的最大值为()a6 b56 c36 d2 016答案a解析由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dx2xdxa236，即0<a6.故正数a的最大值为6.7.ln 等于()aln2xdx b2ln xdxc2ln(1x)dx dln2(1x)dx答案b解析ln ln2

14、2ln xdx(这里f(x)ln x，区间1,2或者2 2ln(1x)dx，区间0,1)二、能力提升8由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是s_.答案sin xdx解析由定积分的意义知，由ysin x，x0，x，y0围成图形的面积为ssin xdx.9计算定积分dx_.答案解析由于dx2dx表示单位圆的面积，所以dx.10设f(x)是连续函数，若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.答案2解析因为f(x)dxf(x)dxf(x)dx，所以f(x)dxf(x)dxf(x)dx2.11利用定积分的定义计算(x22x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么解

15、令f(x)x22x.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分为n个小区间1，1(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i1(i1,2，n)，则snf(1)·x(1)22(1)·(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)(n3)2n·(2)(4)(1)(2)3.(3)取极限(x22x)dxsn(2)(4)(1)(2)3，(x22x)dx的几何意义为由直线x1，x2，y0与曲线f(x)x22x所围成的曲边梯形的面积12用定积分的意义求下列各式的值：(1)(2x1)dx；(2)dx.解(1)在平面上，f(x)2x1为一条直线，(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3与x轴围成的直角梯形oabc的面积，如图(1)所示，其面积为s(17)×312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(2)由y可知，x2y21(y0)图象如